04-05年上学期高三第一轮复习数学数列与极限(附答案)

2004－2005学年度上学期高中学生学科素质训练高三数学同步测试（2）—《数列与极限》一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．在等比数列}{na中，a1+a2=2，a3+a4=50，则公比q的值为（）A．25B．5C．－5D．±52．已知等差数列{an}中，a6=a3＋a8=5，则a9的值是（）A．5B．15C．20D．253．给定正数p,q,a,b,c，其中pq，若p,a,q成等比数列，p,b,c,q成等差数列,则一元二次方程bx2－2ax+c=0（）A．无实数根B．有两个相等的实数根C．有两个同号的相异的实数根D．有两个异号的相异的实数根4．等差数列}{na的前n项和记为nS，若1062aaa为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（）A．6SB．11SC．12SD．13S5．设数列na为等差数列，且65867424,20042aaaaaaa则等于（）A．501B．±501C．2004D．±20046．已知等差数列na的前n项和为Sn，若m1，且38,012211mmmmSaaa，则m等于（）A．38B．20C．10D．97．设等比数列}{na的前n项和为Sn，若2:1:36SS，则39:SS（）A．1:2B．2:3C．3:4D．1:38．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（）A．7)1(paB．8)1(paC．)]1()1[(7pppaD．pppa1189．已知1bxxf为x的一次函数，b为不等于1的常量，且ng)1()],1([)0(1nngfn,设Nnngngan1，则数列na为（）A．等差数列B．等比数列C．递增数列D．递减数列10．已知02log2logab,则nnnnnbabalim的值为（）A．1B．－1C．0D．不存在11．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据1.14=1.461.15=1.61）（）A．10%B．16.4%C．16.8%D．20%12．已知3)(32lim,2)3(,2)3(3xxfxffx则的值为（）A．－4B．8C．0D．不存在二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知等比数列}{na及等差数列}{nb，其中01b，公差d≠0．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为_________________.14．设数列{an}满足a1=6，a2=4，a3=3，且数列{an+1－an}（n∈N*）是等差数列，求数列{an}的通项公式__________________.15．设244xxxf，利用课本中推导等差数列前n项和方法，求112111ff…1110f的值为_________.16．（文）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖____________块.（理）已知nna312，把数列na的各项排成三角形状；1a2a3a4a5a6a7a8a……记A（m,n）表示第m行，第n列的项，则A（10，8）=.三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：17．（本小题满分12分）已知一个数列{an}的各项是1或3．首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…．记数列的前n项的和为Sn．（1）试问第2004个1为该数列的第几项？（2）求a2004；（3）S2004；（4）是否存在正整数m，使得Sm=2004？如果存在,求出m的值；如果不存在,说明理由．18．（本小题满分12分）如图，曲线2(0)yxy上的点iP与x轴的正半轴上的点iQ及原y点O构成一系列正三角形△OP1Q1，△Q1P2Q2，…△Qn-1PnQn…设正三角形1nnnQPQ的边长为na,n∈N﹡(记0Q为O),,0nnQS.（1）求1a的值;（2）求数列{na}的通项公式na;（3）求证:当2n时,有2222122111132nnnnaaaa.19．（本小题满分12分）假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：（Ⅰ）每年年末．．．．加1000元；（Ⅱ）每半年．．．结束时加300元。请你选择。（1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？（2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？20．（本小题满分12分）已知数列na的前n项的“均倒数”为121n，（1）求na的通项公式；（2）设12nacnn，试判断并说明Nnccnn1的符号；（3）（理）设函数124)(2naxxxfn，是否存在最大的实数，当x时，对于一切自然数n，都有0)(xf。（文）已知0ttbnan，数列nb的前n项为nS，求nnnSS1lim的值。21．（本小题满分12分）若Sn和Tn分别表示数列{}na和}{nb的前n项和，对任意正整数)1(2.nann，Tn－3Sn=4n.（Ⅰ）求数列}{nb的通项公式；（Ⅱ）在平面直角坐标系内，直线nl的斜率为nb.且与曲线2xy有且仅一个交点，与y轴交于Dn，记)72(||311nDDdnnn求nd；（Ⅲ）若.1)(lim:)(2211221nxxxNnddddxnnnnnnn求证22．（本小题满分14分）已知数列na中，,11a且点NnaaPnn1,在直线01yx上.（1）求数列na的通项公式；（2）若函数,2,321)(321nNnannananannfn且求函数)(nf的最小值；（3）设nnnSab,1表示数列nb的前项和。试问：是否存在关于n的整式ng，使得ngSSSSSnn11321对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出ng的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。参考答案（二）一、选择题（每小题5分，共60分）：(1).D(2).C(3).A(4).B(5).A(6).C(7).C(8).D(9).B(10).B(11).B(12).B提示（9）B111111,1ngbngngbannbngbbbbngbbngbb1312111212231bngbb……nnnnbbbbgbb1101111二、填空题（每小题4分，共16分）(13).978；(14).21872nnan（n∈N*）；(15).5；(16).（文）42n（理）2·89)31(提示13。设}{na的公比为q，由题知：，，，221102111dqadqaa解得.1211dqa，，则12nna，nbn1．这个新数列的前10项之和为)()()(10102211bababa21(aa9782)]9(0[102121)()10102110bbba14.由已知a2－a1=－2，a3－a2=－1，－1－(－2)=1∴an+1－an=(a2－a1)+(n－1)·1=n－3n≥2时，an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+…+(a3－a2)+(a2－a1)+a1=(n－4)+(n－5)+…+(－1)+(－2)+6=21872nnn=1也合适∴21872nnan（n∈N*）15.12244244244111xxxxxxxfxf设112111ffSn……101110111101110fff5nS三、解答题（共74分，按步骤得分）17.解：将第k个1与第k+1个1前的3记为第k对，即（1，3）为第1对，共1+1=2项；（1，3，3，3）为第2对，共1+（2×2-1）=4项；)3,,3,3,3,1(312个共k为第k对，共1+（2k-1）=2k项；…．故前k对共有项数为2+4+6+…+2k=k(k+1)．…………2分（Ⅰ）第2004个1所在的项为前2003对所在全部项的后1项，即为2003(2003+1)+1=4014013（项）．…………4分（Ⅱ）因44×45=1980，45×46=2070，故第2004项在第45对内，从而a2004=3．…7分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，前2004项中共有45个1，其余1959个数均为3，于是S2004=45+3×1959=5922．…………9分（Ⅳ）前k对所在全部项的和为Sk(k+1)=k+3[k(k+1)-k]=3k2+k．易得，S25(25+1)=3×252+25=1900，S26(26+1)=3×262+26=2054，S651=1901，且自第652项到第702项均为3，而2004-1901=103不能被3整除，故不存在m，使Sm=2004．…………12分18.解（1）由条件可得11113,22Paa,代入曲线2(0)yxy得21111312,0,423aaaa;…………5分(2)12nnSaaa∴点11113(,)22nnnnPSaa代入曲线2(0)yxy并整理得2113142nnnSaa,于是当*2,nnN时,221113131()()4242nnnnnnnaSSaaaa即11113()()()24nnnnnnaaaaaa*1120,(2,)3nnnnaaaannN…………10分又当2122231421,,(4233nSaaa时舍去）2123aa,故*12()3nnaanN所以数列{na}是首项为23、公差为23的等差数列,23nan;…………12分19．解：设方案一第n年年末加薪an，因为每年末加薪1000元，则an=1000n；设方案二第n个半年加薪bn，因为每半年加薪300元，则bn=300n；(1)在该公司干10年(20个半年)，方案1共加薪S10=a1＋a2＋……＋a10=55000元。方案2共加薪T20=b1＋b2＋……＋b20=20×300＋3002)120(20=63000元；……6分(2)设在该公司干n年，两种方案共加薪分别为：Sn=a1＋a2＋……＋an=1000×n＋10002)1(nn=500n2＋500nT2n=b1＋b2＋……＋b2n=2n×300＋3002)12(2nn=600n2＋300n…………10分令T2n≥Sn即：600n2＋300n500n2＋500n，解得：n≥2，当n=2时等号成立。∴如果干3年以上(包括3年)应选择第二方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一方案。…………12分20.解：（1）12121nnaaaann，12)1(121nnaaan两式相减，得214nnan，Nnnaan14,31……4分（2）3232,12321214121ncnnnnacnnn，nnnnccnncc11,0323123即。…………8分