2019年中考数学动点最值问题

第1页共10页2019年中考数学动点最值问题班级姓名一、选择题1.如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为()A.50°B.60°C.70°D.80°2.如图，在矩形ABCD中，AD=4，∠DAC=30°，点P，E分别在AC，AD上，则PE＋PD的最小值是()A.2B.23C.4D.3383.如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内的一个定点，OP=20cm，点C、D分别是OA、OB上的动点，连结CP、DP、CD，则△CPD周长的最小值为()A.10cmB.15cmC.20cmD.40cm4.如图Rt△ABC中,AB=BC=4,D为BC的中点,在AC边上存在一点E,连接ED,EB,则△BDE周长的最小值为（）A.2B.2C.2+2D.2+25.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为（3,4）,D是OA的中点，点E在AB上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为（）第2页共10页A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）6.小明是我校手工社团的一员,他在做折纸手工,如图所示在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC的中点,点F是边CD上的任意一点,△AEF的周长最小时,则DF的长为（）A.1B.2C.3D.47.如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的坐标为（3,），点C的坐标为（0.5,0）,点P为斜边OB上的一个动点,则PA+PC的最小值为（）A.B.C.D.2二、填空题8.如图，圆柱底面周长为4cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为cm.9.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为．10.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆，E是⊙A上一动点，P是BC上的一动点，则PE+PD的最小值是．第3页共10页11.已知∠AOB=30°,点P、Q分别是边OA、OB上的定点,OP=3,OQ=4,点M、N是分别是边OA、OB上的动点,则折线P﹣N﹣M﹣Q长度的最小值是．12.如图，△ABC中，AB=17，BC=10，CA=21，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，则BD＋DE的最小值是．三、综合题:13.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，第4页共10页且A（﹣6，0），D（﹣2，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A、C重合，求过点P作x轴的垂线交于AC于点E，求线段PE的最大值及P点坐标；（3）在抛物线的对称轴上足否存在点M，使得△ACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于点A（-2,0）、B（4,0）两点，与y轴交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动.其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使，求K点坐标.16.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．第5页共10页第6页共10页参考答案1.答案为：D；2.答案为：B;3.C.4.D5.B6.C7.解：8.答案为：159.答案为：610.答案为：4．第7页共10页解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆A′，连接A′D交BC于P，则DE′就是PE+PD最小值；∵矩形ABCD中，AB=2，BC=3，圆A的半径为1，∴A′D′=BC=3，DD′=2DC=4，AE′=1，∴A′D=5，∴DE′=5﹣1=4∴PE+PD=PE′+PD=DE′=4，11.解：作P关于OB的对称点P′，作Q关于OA的对称点Q′，连接P′Q′，即为折线P﹣N﹣M﹣Q长度的最小值．根据轴对称的定义可知：∠NOP′=∠AOB=30°，∠OPP′=60°，∴△OPP′为等边三角形，△OQQ′为等边三角形，∴∠P′OQ′=90°，∴在Rt△P′OQ′中，P′Q′=5．故答案为5．12.答案为：813.解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），把点A（0，4）代入上式得：a=0.8，∴y=0.8（x﹣1）（x﹣5）=0.8x2﹣4.8x+4=0.8（x﹣3）2﹣4.8，∴抛物线的对称轴是：x=3；（2）P点坐标为（3，1.6）．理由如下：∵点A（0，4），抛物线的对称轴是x=3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．设直线BA′的解析式为y=kx+b，把A′（6，4），B（1，0）代入得6k+b=4,k+b=0，解得k=0.8,b=-0.8，∴y=0.8x﹣0.8，∵点P的横坐标为3，∴y=0.8×3﹣0.8=1.6，∴P（3，1.6）．（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，0.8t2﹣4.8t+4）（0＜t＜5），如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣0.8x+4，把x=t代入得：y=﹣0.8t+4，则G（t，﹣0.8t+4），第8页共10页此时：NG=﹣0.8t+4﹣（0.8t2﹣4.8t+4）=﹣0.8t2+4t，∵AD+CF=CO=5，∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=0.5AM×NG+0.5NG×CF=0.5NGOC=0.5×（﹣0.8t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣2.5）2+12.5，∴当t=2.5时，△CAN面积的最大值为12.5，由t=2.5，得：y=0.8t2﹣4.8t+4=﹣3，∴N（2.5，﹣3）．14.解：第9页共10页15.（1）将A（-2，0）,B（4，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx-3(a≠0),即，解得：抛物线的表达式为：（2）设运动时间为t秒，由题意可知:过点Q作QD⊥AB,垂直为D，易证△OCB∽△DQB,OC=3，OB=4，BC=5，AP=3t,PB=6-3t,BQ=t，对称轴当运动1秒时，△PBQ面积最大，，最大为.（3）如图，设K(m,)连接CK、BK，作KL∥y轴交BC与L，由（2）知：,设直线BC的表达式为y=kx+n，解得：直线BC的表达式为y=x-3即：解得：K坐标为(1,)或(3,)16.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．∴，解得，∴这条抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，将B（2，0）、C（0，2）代入得：第10页共10页，解得，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如答图1，连接BC．四边形ABPC由△ABC与△PBC组成，△ABC面积固定，则只需要使得△PBC面积最大即可．设P（x，﹣x2+x+2），过点P作PF∥y轴，交BC于点F，则F（x，﹣x+2）．∴PF=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x．S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF（xF﹣xC）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xC）=PF∴S△PBC=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1∴当x=1时，△PBC面积最大，即四边形ABPC面积最大．此时P（1，2）．∴当点P坐标为（1，2）时，四边形ABPC的面积最大．（3）存在．∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠AED=90°，∴∠ACO=∠AED，又∵∠CAO=∠CAO，∴△AOC∽△ADE，∴=，即=，解得AE=，∴E（，0）．∵DE为线段AC的垂直平分线，∴点D为AC的中点，∴D（﹣，1）．可求得直线DE的解析式为：y=﹣x+①．∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴M（，）．又A（﹣1，0），则可求得直线AM的解析式为：y=x+②．∵DE为线段AC的垂直平分线，∴点A、C关于直线DE对称．如答图2，连接AM，与DE交于点G，此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点G为所求．联立①②式，可求得交点G的坐标为（﹣，）．∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，点G的坐标为（﹣，）．