河南省自然科学基金项目(523021400)

河南省自然科学基金项目（523021400）自适应方法实现混沌系统控制与同步方洁1,崔光照2李俊3(1,2郑州轻工业学院电气工程学院,郑州，450002；3南昌航空工业学院，南昌，330063)摘要:以能大范围实现连续时间混沌系统控制与同步的非线性状态反馈方法为基础，给出了一种可实现两个相同或不同连续时间混沌系统控制与同步的自适应控制策略。当目标和被控系统的状态变量都有界时，被控系统都能大范围同步于给定参考混沌信号。该方法解决了非线性反馈控制器中控制系数的估计问题，并且使同步控制具有一定的鲁棒性。关键词:混沌；自适应控制，鲁棒性中图分类号：TP1文献标识码：AAnAdaptiveApproachToTheControlAndSynchronizationOfChaoticSystemFANGJie1,CUIGuang-zhao2,LIJun3(1,2Collegeofelectricandinformationengineering,ZhengzhouUniversityofLightIndustry,Zhengzhou450002,China;3Nanchanginstituteofaeronauticaltechnology,Nanchang330063,China)Abstract:Basedonthenonlinearstatefeedbackschemeforrezlizinganycontinuoustimechaoticsystemcontrolandsynchronization,wehavedesignedanadaptivefeedbackcontroller.Assumingtheboundednessofchaoticattractorsandlimitcycles,thisapproachnotonlycanadaptivelyestimatethecontrolparameter,butalsohassomerobustnessagainstparametervariationsandexternaldisturbances.Keywords:Chaos;Adaptivecontrol;Robustness1.引言混沌学是80年代初期建立起来的一门新兴学科[1-3]。它揭示了自然界及人类社会的复杂性，有序和无序的统一。自从Pecoar和Carroll提出混沌同步原理以来,混沌控制已迅速发展成非线性科学的一个重要研究领域,取得了很多理论及应用成果。目前有关混沌控制与同步的方法已有很多[5-8]。传统的混沌控制与同步中的控制系统是按和原系统相同的结构复制形成。但当原系统有不确定因素，或系统的模型没完全确定时，则控制系统就不能按与原来相同的结构形式复制。因此设计两个相同或不同混沌系统的控制与同步更具有一般意义。文献[5]在一定的假设前提下,在将连续时间混沌系统的控制与同步问题统一处理的基础上,给出了一种可实现两个相同或不同连续时间混沌系统的控制与同步的非线性状态反馈方法。该方法以著名的Ｌyapunov技术为基础,当目标和被控系统的状态变量都有界时,不论目标系统是处于平衡点、周期、拟周期、混沌或超混沌状态,都可使被控制系统按照目标系统给定的轨道演化,并且是大范围可控和可同步的。本文以文献[5]中非线性状态反馈控制器为基础,引入自适应控制策略,控制系统能根据自适应率自动调整以跟随参数的变化以达到控制目标。该法既解决了非线性反馈控制器中控制系数的估计问题,使同步控制以较小的控制能量实现,又使控制具有一定的鲁棒性[4]。2.混沌控制与同步问题的描述目标系统为：),),((ttxfx=&（1）受控系统为)()),((1tButtyfy+=&（2）其中mnmnnnRtuRtytxRBCffRRRff∈∈∈∈→××)(,)(),(,,,,:,111且B为合适的矩阵，u为要设计的控制器。如果,1ff=两个系统相同；如果,1ff≠两个系统不相同。由（1），（2）可得误差系统为：).()),(()),((1tButtxfttyfe+−=&（3）在B为列满秩的条件下，式（3）可分解为线性部分和非线性部分：)]()),(()),(([)(tuttxlttyhBtLee+−+=&（4）式中)()()(txtyte−=，其中.)(,)(111fBBBlfBBBhTTTT−−==河南省自然科学基金项目（523021400）于是，式（1），（2）的同步控制问题可以化为对误差系统式（4）进行研究，即寻找一个合适的矩阵B和)),(),(()(ttytxtuφ=,使0)()(lim=−∞→tytxt3.自适应控制器设计为实现混沌系统的控制与同步,首先要做的是选择合适的控制矩阵B,使(4)式中的线性部分是可控的，即nBLLBBrankn=−1Λ（5）如果式（4）中的线性部分L是可控的，则存在一个m×n矩阵K，使BKL−的所有特征值都有负实部。那么可选择一个反馈控制律)()(tKetull−=（6）使得闭环系统)()(teBKLell−=&（7）的平衡点是大范围渐进稳定的。引理1：假设BL,满足(5)式,nnRP×∈和mmRQ×∈是正定矩阵,又设未知矩阵nnRM×∈满足01=+−−−−MBMBQMLMLPTT（8）K由下式定义MBQKT1−=（9）那么BKL−的所有特征值都有负实部。显然,论据2中的矩阵M满足Ｌyapunov方程IBKLMMBKLT−=−+−)()(（10）式中的I(ｎ×ｎ)为单位阵。前面仅对(4)式的线性部分通过选择B和K可以实现0)(lim=∞→telt但(4)式中包含有非线性项)),((ttxh和)),((ttyl,甚至)),((),),((ttylttxh中可能有不确定的因素，因此必须在前一部分的基础上确定一个合适的)(tu,使(4)式中的)(te有0)(lim=∞→tet假设1：)),(()),((txttxhβ≤tx,∀)),(()),((tyttylγ≤ty,∀且)(tβ和)(tγ都是连续的。一般情况下,不管系统是处于平衡点、周期或混沌情况下,对所有的时间t均有1)(Mtx≤,),0[∞∈∀t+∈RM1,2)(Mty≤,),0[∞∈∀t+∈RM2.于是,在假设1满足的情况下,分别存在TW,∈+R有,)),((Wttxh≤),0[∞∈∀t（11）Tttyl≤)),((,),0[∞∈∀t（12）结论1：若单输入单输出系统（1）和（2）式满足引理1和假设1，控制器u取如下形式：)sgn()()()(MeBtktKetuT−−=,（13）其中nmRK×∈由（9）式给出，nnRM×∈由(8)式给出，mnRB×∈由（5）式确定，)(tk按下式变化：河南省自然科学基金项目（523021400）)sgn()(MeBMeBtkTT=&（14）则对于所有的初始条件+∈∈RkRen)0(,)0(，都有：0)(lim=∞→tet证明：选择标量函数2)(2121),(kTWMeekeVT−++=（15）由于M是一个正定对称阵,因此),(keV对所有的nRe∈，Rk∈是正定函数。对),(keV沿着(4)(14)式对时间t求导,并把（13）式代入，可得kkTWeMeMeedtdVTT&&&)(][21−+−+=MeMeBkBttyBlttxBheBKLTT)]sgn()),(()),(()[(21−−+−=kkTWMeBkBttyBlttxBheBKLMeTT&)()]sgn()),(()),(()[(21−+−−−+−+MeBttylttxMBheMeBttxheBKLMeMeBKLeTTTTTTTT)),(()),(()),(()()([21−++−+−=kkTWMeBMBkeMeBMeBkttyMBleTTTTTT&)()]sgn()][sgn()),((−+−−−−kkTWMeBMeBkMeBttylMeBttxhIeeTTTTTT&)(]sgn[)),(()),((][21−+−−−+−=]sgn[)()),(()),((]sgn[212MeBMeBkTWMeBttylMeBttxhMeBMeBkeTTTTTTT−+−−+−−=]sgn[)())),(()),(((]sgn[212MeBMeBkTWMeBttylttxhMeBMeBkeTTTTTT−+−++−−≤]sgn[)()(]sgn[212MeBMeBkTWMeBTWMeBMeBkeTTTTTT−+−++−−≤由于MeBMeBMeBTTTT=]sgn[所以221),(edtkedV−≤因此,),(keV为一负定函数,于是得到(4)式的平衡点0=e是大范围渐近稳定的结论。这样就完成了定理的证明。4计算机模拟结果Lorenz系统方程为2131000010xxxxxcbaax−+−−−=&当取a=10,b=28,c=8/3时，系统处于混沌状态，方程中的线性部分的系数阵L不是Ｈurwitz矩阵。为实现两个相同参数系统间的同步控制,选取线性反馈阵),01020(=KTB)101(=容易验证BKL−为Ｈurwitz矩阵,在控制器u的作用下，两个系统的变量误差随归一化时间ｔ的变化情况如图1所示。河南省自然科学基金项目（523021400）图1误差变化图(a)t-e1关系曲线(b)t-e2关系曲线(c)t-e3关系曲线为检验自适应控制器的鲁棒性,在受控系统的参数中引入5%的不确定因素时,模拟结果如图2所示。图2含干扰因素的同步效果图(a)t-e1关系曲线(b)t-e2关系曲线(c)t-e3关系曲线5结论本文在一定的假设条件下，给出了实现两个连续时间混沌系统控制与同步的自适应控制策略。理论分析和仿真实验证明，该控制器可实现两个相同或不同的连续时间混沌系统的控制与同步，且控制是大范围渐进稳定的。该方法既解决了非线性控制器中的控制强度估计问题,又使控制具有一定的鲁棒性。由于所设计的控制策略是针对一般系统进行证明的,因此该控制策略可应用于所有满足假设条件的混沌系统的同步控制。河南省自然科学基金项目（523021400）参考文献：[1]王光瑞,于熙龄,陈式刚,《混沌的控制、同步与利用》,北京：国防工业出版社，2001.[2]W.s.NiandT.F.Qin.Chin.Phys.Lett.,11(1994),325.[3]盛昭瀚，马军海,,非线性动力系统分析引论,科学出版社，北京，2001[4]郭燕，刘玉生，于琨，李春霖，非线性参数化系统的鲁棒自适应控制器的设计和仿真，微机算计信息，2006,01(1)：57-58[5]Jin-fengGao,Xian-jueLuo,Xi-kuiMaetal.,ActaPhysicaSinica,48(1999),1618(inChinese)[高金峰、罗先觉、马西奎物理学报,48(1999),1618].[6]Jin-fengGao,Xian-jueLuo,Xi-kuiMaetal.,ActaPhysicaSinica,49(2000),838(inChinese)[高金峰、罗先觉、马西奎物理学报,49(2000),838].[7]陈启宗,线性系统理论与设计(科学出版社,北京,1988),第140页[ChenChi-tsong,LinearSystemTheoryandDesign(SciencePress,Beijing,1988),p.140(inChinese)].[8]Hsien-KengChen,Globalchaossynchronizationofnewchaoticsystemsvianonlinearcontrol.Chaos,SolitonsandFractals,23(2005),1245-1251基金项目：本课题得到河南省自然科学基金项目（523021400）资助作者简介：方洁（1981－），女，汉族，毕业于郑州大学电气学院电工理论与新技术专业，工学硕士，现为郑州轻工业学院教师，从事非线性系统理论研究。崔光照（1957－），男，汉族，博士研究生，教授，硕士生导师，郑州轻工业学院电气与信息工程学院院长，主要研究方向为：电器控制系统与