利用导数研究函数零点

主题：《利用导数研究函数零点》主讲人：舒大飞1高考分布2例题分析3变式探究4课堂小结目录CONTENTS1高考分布2015年2016年2017年2018年全国1卷第21题全国1卷第21题全国1卷第21题全国2卷第21题02例题分析例1：（1）讨论方程𝐥𝐧𝒙−𝒂𝒙=𝟎实根个数思路解析：1.直接令𝑓𝑥=ln𝑥−𝑎𝑥，求导讨论𝑓𝑥的单调性，画出图像观察2.转化为𝑎=ln⁡𝑥𝑥，令𝑓𝑥=ln⁡𝑥𝑥，求导得𝑓𝑥的单调性，画出图像观察3.转化为𝑦=ln⁡𝑥和𝑦=𝑎𝑥图像交点问题，围绕相切情况讨论例1：（2）若𝒂𝟏，试确定𝒇𝒙=𝒙∙𝒆𝒙−𝒂−𝒙𝟐的零点个数思路解析：注意到𝑓𝑥=𝑥(𝑒𝑥−𝑎−𝑥)，接下来考虑𝑔𝑥=𝑒𝑥−𝑎−𝑥的非零零点个数1.直接求导讨论𝑔𝑥的单调性，画出图像观察2.转化为𝑎=𝑥−ln𝑥，令ℎ𝑥=𝑥−ln𝑥，求导得单调性、图像3.转化为𝑦=𝑒𝑥−𝑎和𝑦=𝑥图像交点问题，围绕相切情况讨论方法总结主线：构造函数—求导数—画出函数草图—数形结合支线：整体构造、参数分离、拆分函数、简化函数主线是通法，支线是技巧；技巧可以做为通法的补充。03变式探究变式探究1：讨论关于𝒙的方程𝐥𝐧𝒙𝒙=𝒙+𝒎的根的个数解：令𝑓𝑥=ln⁡𝑥𝑥−𝑥−𝑚，则𝑓𝑥定义域为(0⁡,+∞)𝑓′𝑥=1−ln𝑥−𝑥2𝑥2方程1−ln𝑥−𝑥2=0求不出根怎么办∴𝑥∈(0⁡,1)时，1−ln𝑥−𝑥2−ln𝑥0，即𝑓′𝑥0，𝑓(𝑥)单调递增𝑥∈(1⁡,+∞)时，1−ln𝑥−𝑥2−ln𝑥0，即𝑓′𝑥0，𝑓(𝑥)单调递减∴𝑓𝑥在𝑥=1处取最大值𝑓1=−𝑚−1如果𝑓10，是不是一定有两个零点？1°⁡𝑚−1时，𝑓𝑥≤𝑓10，∴𝑓(𝑥)无零点，即原方程无根2°⁡𝑚=−1时，𝑓(𝑥)仅在𝑥=1处有唯一零点，即原方程有唯一根3°⁡𝑚−1时，𝑓1=−𝑚−10，且𝑓𝑒𝑚=𝑚𝑒𝑚−𝑒𝑚−𝑚𝑚1𝑒𝑚−10又𝑓𝑥在区间⁡(0⁡,1)内单调递增，∴𝑓𝑥在区间⁡(0⁡,1)内有唯一零点令𝑔𝑥=𝑥−ln⁡𝑥，则𝑔′𝑥=1−1𝑥∴𝑔𝑥在区间⁡(0⁡,1)上单调递减，区间⁡(1⁡,+∞)上单调递增∴𝑔𝑥≥𝑔1=1，∴𝑥ln⁡𝑥，即ln⁡𝑥𝑥1∴𝑓1−𝑚=ln⁡(1−𝑚)1−𝑚−10又𝑓𝑥在区间(1⁡,+∞)内单调递减，∴𝑓𝑥在区间(1⁡,+∞)内有唯一零点综上，𝑚−1时方程无根，𝑚=−1时方程有唯一根，𝑚−1时方程有两根变式探究2：若函数𝑓𝑥=ln𝑥𝑥−2ln𝑥−𝑎有唯一零点，求证：𝑎∈(0⁡,1)解：𝑓𝑥定义域为(0⁡,+∞)，求导得𝑓′𝑥=1−ln𝑥−2𝑥𝑥2方程1−ln𝑥−2𝑥=0实根求不出也看不出令𝑔𝑥=1−ln𝑥−2𝑥，则𝑔𝑥单调递减，且𝑔12=ln⁡20，𝑔1=−10∴存在唯一的𝑥0∈(12⁡,1)，使得𝑔𝑥0=0，即1−ln𝑥0−2𝑥0=0⁡∴𝑥∈(0⁡,𝑥0)时，𝑔𝑥0，即𝑓′𝑥0，𝑓(𝑥)单调递增∴𝑥∈(𝑥0⁡,+∞)时，𝑔𝑥0，即𝑓′𝑥0，𝑓(𝑥)单调递减∴𝑓𝑥在𝑥=𝑥0处取最大值⁡又ln𝑥0=1−2𝑥0，∴𝑓𝑥0=ln𝑥0𝑥0−2ln𝑥0−𝑎=1𝑥0+4𝑥0−4−𝑎1°⁡若𝑎≤0，则𝑓𝑥0=1𝑥0+4𝑥0−4−𝑎−𝑎≥0又𝑓𝑒−𝑎=−𝑎𝑒𝑎−2−𝑎≤−𝑎𝑒0−2−𝑎≤0⁡令𝑥1=min𝑒𝑎⁡,13，则𝑓𝑥1=1𝑥1−2∙ln𝑥1−𝑎≤ln𝑥1−𝑎≤0∴𝑓𝑥在区间[𝑥1⁡,𝑥0)和区间(𝑥0⁡,𝑒−𝑎]各有一个零点，不合题意⁡2°⁡若𝑎≥1，则𝑓𝑥01−𝑎≤0，𝑓(𝑥)无零点，不合题意令𝑔𝑥=1𝑥+4𝑥−4，则𝑔′𝑥=4𝑥2−14𝑥2，∴𝑥∈12⁡,1时𝑔′𝑥0，𝑔(𝑥)递增，∴𝑔(𝑥0)∈(0⁡,1)⁡∴当𝑎=𝑔𝑥0时，𝑓𝑥0=0，此时𝑎∈(0⁡,1)，且𝑓(𝑥)有唯一零点，符合题意综上，当𝑓(𝑥)有唯一零点时，𝑎∈(0⁡,1)变式探究3：当𝒙𝟏时，讨论𝑓𝑥=ln⁡𝑥𝑥−𝑘(𝑥−1)零点个数解：1°⁡当𝑘≥1时，𝑓′𝑥=1−ln⁡𝑥𝑥2−𝑘≤1−ln𝑥−𝑥2𝑥20思路分析：求导后𝑓′(𝑥)含参数且不可解怎么办？∴𝑓(𝑥)单调递减，∴𝑓𝑥𝑓1=0，即𝑓(𝑥)无零点⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡2°⁡当𝑘≤0时，𝑓𝑥=ln⁡𝑥𝑥−𝑘𝑥−1≥ln𝑥𝑥0，即𝑓(𝑥)无零点⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡3°⁡当𝑘∈(0⁡,1)时，𝑓′𝑥=1−ln𝑥−𝑘𝑥2𝑥2⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡令𝑔𝑥=1−ln𝑥−𝑘𝑥2，则𝑔(𝑥)递减⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡又𝑔1=1−𝑘0，𝑔𝑒=−𝑘𝑒20，∴𝑔(𝑥)存在唯一的零点𝑥0∈(1⁡,𝑒)∴𝑥∈(1⁡,𝑥0)时，𝑔𝑥0，即𝑓′𝑥0，𝑓(𝑥)单调递增⁡⁡⁡此时𝑓𝑥𝑓1=0，𝑓(𝑥)无零点⁡⁡⁡𝑥∈(𝑥0⁡,+∞)时，𝑔𝑥0，即𝑓′𝑥0，𝑓(𝑥)单调递减⁡⁡⁡令ℎ𝑥=ln⁡𝑥−⁡𝑥，则𝑥1时，ℎ′𝑥=1𝑥−10，∴ℎ𝑥ℎ10⁡⁡⁡∴𝑓1+1𝑘=ln⁡(1+1𝑘)1+1𝑘−1=ℎ1+1𝑘1+1𝑘0⁡⁡⁡又𝑓𝑥00，∴𝑓(𝑥)在区间𝑥0⁡，1+1𝑘存在唯一零点⁡⁡⁡综上，𝑘≤0或𝑘≥1时𝑓(𝑥)无零点，0𝑘1时𝑓(𝑥)存在唯一零点思考题：已知函数𝑓𝑥=𝑥2−2𝑥ln𝑥−2𝑎𝑥+𝑎2，求证：∃𝑎∈(0⁡,1)，使得𝑓(𝑥)有唯一零点04课堂小结课堂小结主线：构造函数—求导数—画出函数草图—数形结合支线：整体构造、参数分离、拆分函数、简化函数猜根，先猜后证零点存在性定理设而不求，整体代入数形结合找思路