第六次课--等价无穷小

2.4无穷大与无穷小2.7等价无穷小求极限一、无穷小的比较例如,xxx3lim20xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,,,022都是无穷小时当xxxxxx极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.;32要快得多比xx;sin大致相同与xx不可比.,0,1xx1sinlim0.不存在观察各极限型）（00；记作高阶的无穷小是比，就说如果)(,0lim)1(o定义:.0,,且穷小是同一过程中的两个无设;,0lim)3(是同阶的无穷小与就说如果C;~;,1lim记作是等价的无穷小与则称如果特殊地，低阶的无穷小．是比，就说如果２lim)(.,0,0lim)4(无穷小阶的的是就说如果kkCk，03lim20xxx，1sinlim0xxx;302高阶的无穷小是比时，当xxx).0()3(2xxox即．是等价无穷小与时，当xxxsin0).0(~sinxxx即例如，意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．例如,),(sinxoxx).(21cos122xoxx,0时当xxycos1221yx.21~cos1,~sin2xxxx常用等价无穷小:,0时当x)0(~1)1(,21~cos1,1~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin~2aaxxxxexxxxxxxax例1.解)1ln(lim1lim00uuxeuxx.1lim0xexx求,1uex令),1ln(ux即,0,0ux有时则当uuu10)1ln(1limuuu10)1ln(lim1eln1.1.1~),1ln(~0xexxxx时，即，当二、等价无穷小代换定理２(等价无穷小代换定理).limlim,lim~,~则存在且设证lim)lim(limlimlim.lim例2..cos12tanlim20xxx求解.2~2tan,21~cos1,02xxxxx时当22021)2(limxxx原式.8例3..arcsinsin)1(lim0xxxx求解.~arcsin,~sin,0xxxxx时当xxxx)1(lim0原式.1)1(lim0xx乘、除法中可对一个或几个无穷小因子作等价代换．例430tansinlim.sinxxxx求解:.~sin,~tan,0xxxxx时当30lim()xxxx原式.0解:错3333000tansintan(1cos)12limlimlimsinsin2xxxxxxxxxxx注意：加、减法中无穷小不能代换.30sinlimxxxx例5.求30limxxxx解：原式22001limlim(1)(1)xxxxxx1三、小结1、无穷小的比较反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2、等价无穷小的代换:高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.作业：P93：23（4，5），24（7），28（1,2,3）思考题任何两个无穷小都可以比较吗？思考题解答不能．例当时x,1)(xxfxxxgsin)(都是无穷小量但)()(limxfxgxxxsinlim不存在且不为无穷大故当时x)(xf和)(xg不能比较.1.利用连续性求极限00lim()()xxfxfx（前提是函数在0x有定义）00lim(())(lim())xxxxfxfx2.利用无穷小与有界函数的积为无穷小（直接带入）求极限方法小结3.利用左极限、右极限及极限关系求极限00因式分解消去零因子分子或分母有理化消去零因子重要极限一()0sin()lim1()hxhxhx分子，分母同除最高次幂，p69公式等价无穷小代换型：型：0型：化为00型或型(1)1()()0lim(1())hxhxhxe重要极限二0c0,c其他：型:通分化简型：(1)1()()0lim(1())hxhxhxe重要极限二0c0,c其他：练习卷二：1,5,7,8,9,10,11，13型:通分化简型：