地图的数学基础

地图的数学基础§1地球体§2地球坐标系与大地定位§3地图投影§4地图投影的应用§1地球体1.1地球的自然表面——为了了解地球的形状，让我们由远及近地观察一下地球的自然表面。浩瀚宇宙之中:地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体。机舱窗口俯视大地:地表是一个有些微起伏、极其复杂的表面。——珠穆朗玛峰与太平洋的马里亚纳海沟之间高差近20km。事实是：地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。1.2地球的物理表面当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂线）成正交，这个面叫水准面。在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面，这就是大地水准面。它实际是一个起伏不平的重力等位面——地球物理表面。它所包围的形体称为大地体。大地水准面的意义1.地球形体的一级逼近：对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当。2.起伏波动在制图学中可忽略：对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图业务中，均把地球当作正球体。3.重力等位面：可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面的高度）。1.2地球的数学表面在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为地球椭球体，简称椭球体。它是一个规则的数学表面，所以人们视其为地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。椭球体三要素:长轴a（赤道半径）、短轴b（极半径）和椭球的扁率fEquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorabWGS[worldgeodeticsystem]84ellipsoid:a=6378137mb=6356752.3mequatorialdiameter=12756.3kmpolardiameter=12713.5kmequatorialcircumference=40075.1kmsurfacearea=510064500km2a-b6378137-6356752.3f=——=————————a63781371—=298.257f对a，b，f的具体测定就是近代大地测量的一项重要工作。对地球形状a，b，f测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体——参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。通过数学方法将地球椭球体摆到与大地水准面最贴近的位置上，并求出两者各点间的偏差，从数学上给出对地球形状的三级逼近。由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故地球椭球体的元素值有很多种。中国1952年前采用海福特（Hayford）椭球体；1953—1980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台）；自1980年开始采用GRS1975（国际大地测量与地球物理学联合会IUGG1975推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点。陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点——大地原点。地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就是球面坐标系统的建立。§2地球坐标系与大地定位2.1地理坐标——用经纬度表示地面点位的球面坐标。①天文经纬度②大地经纬度③地心经纬度①天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。2.1地理坐标天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角。天文纬度：在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。②大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度l、大地纬度和大地高h表示。2.1地理坐标大地经度l：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负。大地纬度：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。③地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度l，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y。2.1地理坐标在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度。2.2中国的大地坐标系统1.中国的大地坐标系1980年以前：参见电子教案本章第十三页；1980年选用1975年国际大地测量协会推荐的参考椭球：ICA-75椭球参数a=6378140mb=6356755mf=1/298.2572.中国的大地控制网平面控制网:按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成，由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为四等。2.2中国的大地坐标系统由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国各地。高程控制网:按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水准测量或三角高程测量完成。依精度不同，分为四等。中国高程起算面是黄海平均海水面。1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程均是据此推算，称为1956年黄海高程系。1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均海水面》其比《黄海平均海水面》上升29毫米。青岛观象山水准原点2.2中国的大地坐标系统绝对高程相对高程国家水准原点国家测绘局平面控制网国家测绘局高程控制网国家测绘局水准面示意图国家测绘局GPS控制网国家测绘局2.3全球定位系统-GPS授时与测距导航系统/全球定位系统(NavigationSatelliteTimingandRanging/GlobalPositioningSystem--GPS)：是以人造卫星为基础的无线电导航系统，可提供高精度、全天候、实时动态定位、定时及导航服务。1.GPS系统由三个独立的部分组成空间部分：21颗工作卫星，3颗备用卫星（白色）。它们在高度20200km的近圆形轨道上运行，分布在六个轨道面上，轨道倾角55°，两个轨道面之间在经度上相隔60°，每个轨道面上布放四颗卫星。卫星在空间的这种配置，保障了在地球上任意地点，任意时刻，至少同时可见到四颗卫星。地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站。它向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数；监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间系统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。用户设备部分：GPS接收机——接收卫星信号，经数据处理得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示出用户的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如到航路点的距离和航向或提供图示。2.GPS系统定位原理数据，组成3个方程式，就可以解出观测点的位置（X,Y,Z）。考虑到卫星的时钟与接收机时钟之间的误差，实际上有4个未知数，X、Y、Z和钟差，因而需要引入第4颗卫星，形成4个方程式以求解，从而得到观测点经纬度和高程。通过测量卫星信号到达接收机的时间延迟，即可算出用户到卫星的距离。再根据三维坐标中的距离公式，利用3颗卫星的3.常用GPS测量模式常规静态测量：采用两台(或两台以上)GPS接收机，分别安置在一条或数条基线的两端，同步观测4颗以上卫星，每时段根据基线长度和测量等级观测45分钟以上的时间。常用于建立全球性或国家级大地控制网、地壳运动监测网。快速静态测量：这种模式是在一个已知测站上安置一台GPS接收机作为基准站，连续跟踪所有可见卫星。移动站接收机依次到各待测测站，每测站观测数分钟。这种模式常用于控制网的建立及其加密、工程测量、地籍测量等。这种方法要求在观测时段内确保有5颗以上卫星可供观测；流动点与基准点相距应不超过20km。静态测量模式准动态测量在一已知测站上安置一台GPS接收机作为基准站，连续跟踪所有可见卫星。移动站接收机在进行初始化后依次到各待测测站，每测站观测几个历元数据。这种方法不同于快速静态，除观测时间不一样外，它要求移动站在搬站过程中不能失锁，并且需要先在已知点或用其它方式进行初始化（采用有OTF功能的软件处理时例外）。这种模式可用于开阔地区的加密控制测量、工程定位及碎部测量、剖面测量及线路测量等。要求在观测时段内确保有5颗以上卫星可供观测；流动点与基准点相距应不超过20km。动态测量模式实时动态测量：DGPS和RTK在一个已知测站上架设GPS基准站接收机和数据链，连续跟踪所有可见卫星，并通过数据链向移动站发送数据。移动站接收机通过移动站数据链接收基准站发射来的数据，并在机进行处理，从而实时得到移动站的高精度位置。DGPS通常叫做实时差分测量，精度为亚米级到米级，这种方式是基准站将基准站上测量得到的RTCM数据通过数据链传输到移动站，移动站接收到RTCM数据后，自动进行解算，得到经差分改正以后的坐标。RTK则是以载波相位观测量为根据的实时差分GPS测量，它是GPS测量技术发展中的一个新突破。它的工作思路与DGPS相似，只不过是基准站将观测数据发送到移动站（而不是发射RTCM数据），移动站接收机再采用更先进的在机处理方法进行处理，从而得到精度比DGPS高得多的实时测量结果。这种方法的精度一般为2cm左右。§3地图投影3.1地图投影的意义地球椭球体表面是不可展曲面，要将曲面上的客观事物表示在有限的平面图纸上，必须经过由曲面到平面的转换。地图投影：在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。地图投影的实质：是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上。x=f1(,l)y=f2(,l)3.2地图的比例尺1.地图比例尺的含义地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投影长度之比。可表达为（d为图上距离，D为实地距离）根据地图投影变形情况，地图比例尺分为：主比例尺：在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。局部比例尺：在投影面上有变形处的比例尺。1dDM2.地图比例尺的表示①数字式比例尺如1:10000②文字式比例尺如百万分之一③图解式比例尺直线比例尺斜分比例尺复式比例尺④特殊比例尺变比例尺无级别比例尺3.3地图投影变形1.投影变形的概念把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较，可以发现变形表现在长度、面积和角度三个方面。2.变形椭圆取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。'XmX为经线长度比；为纬线长度比'YnY微小圆→变形椭圆该方程证明:地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆，即：以O'为原点，以相交成q角的两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。代入：X2+Y2=1，得'XmX'YnY2222''1XYmn特别方向：变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向长轴方向（极大值）a短轴方向（极小值）b经线方向m；纬线方向n统称主方向据阿波隆尼定理，有m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b3.投影变形的性质和大小长度比和长度变形：投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规定的比例缩小）之比。m表示长度比，Vm表示长度变形长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。d'dssm1Vmm=0不变0变大0变小面积比和面积变形：投影平面上微小面积（变形椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF之比。P表示面积比Vp表示面积变形P=a·b=m·n(q=90)P=m·n·sinq(q≠90)面积比是变量，随位置的不同而变化。2d'πdπFabPabFl1pVp=0不变0变大0变小角度变形：投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以ω表示角度最大变形。设A点的坐标为（x、y），A′点的坐标为(x′、y′)，则tanyx'tan''yx'xax'ybytan'tanbybaxatantan'tantan(1)tanbbaatantan'tantan(1)tanbbaa