材料力学例题

例题4刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点,B端作用集中力F=25kN,已知CD杆的直径d=20mm,许用应力[]=160MPa，试校核CD杆的强度,并求：（1）结构的许可荷载[F];（2）若F=50kN,设计CD杆的直径.2aaFABDC解：（1）求CD杆的内力2aaFABDCFNCDFACBFRAyFRAxFFMCDA230N//[]N232119MPa4CDFFAd（2）结构的许可荷载[F]][NAFCDCD由[F]=33.5kN2aaFABDCFNCDFACBFRAy23FAFCD][N得（3）若F=50kN，设计CD杆的直径][NAFCDCD由][/][N23FFACD得/[]2324dFd=24.4mm取d=25mmFRAx例题5图示为一变截面圆杆ABCD.已知F1=20kN，F2=35kN，F3=35kN.l1=l3=300mm，l2=400mm.d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm.弹性模量为E=210GPa.试求：（1）Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的轴力并作轴力图（2）杆的最大正应力max（3）B截面的位移及AD杆的变形F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCD解：求支座反力FRD=-50kNF1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD（1）Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的轴力并作轴力图F1FN1)(kN2001N1N1FFFF2F1FN2F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD)(kN1502N2N21FFFFFRDFN3)(kN5003NR3NFFFDFN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）15+-2050F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD（2）杆的最大正应力maxAB段DC段BC段FN2=-15kN(-)FN1=20kN（+）FN3=-50kN(-)F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD)(MPa.N817611AFAB)(MPa.N67422AFBC)(MPa.N511033AFDCmax=176.8MPa发生在AB段.（3）B截面的位移及AD杆的变形F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDm102.53Δ4-N111EAlFlABm101.42Δ4-N222EAlFlBCm101.58Δ4-N333EAlFlCD-0.3mmΔΔBCCDBllu-0.047mmΔΔCDBCABADllll例题6图所示杆系由两根钢杆1和2组成.已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成=30°的角度,长度均为l=2m,直径均为d=25mm,钢的弹性模量为E=210GPa.设在A点处悬挂一重物F=100kN,试求A点的位移A.ABC12ABC12解：（1）列平衡方程,求杆的轴力FyFN1FN2A12x0coscos00sinsin02N1N1N2NFFFFFFFyxcos22N1NFFFA''（2）两杆的变形为变形的几何条件相容是变形后，两杆仍应铰结在一起.ABC12ABC12（伸长）cosΔΔNEAFlEAlFll21121以两杆伸长后的长度BA1和CA2为半径作圆弧相交于A,即为A点的新位置.AA就是A点的位移.A''ABC12A2A1Al112因变形很小,故可过A1，A2分别做两杆的垂线，相交于AA可认为A'AAAA)(mm293.1cos2cosΔΔ21EAFllAAAFAFN1FN2x30°yA1l1例题7图示三角形架AB和AC杆的弹性模量E=200GPaA1=2172mm2，A2=2548mm2.求:F=130kN时节点A的位移.2mABCF30°12解：(1)由平衡方程得两杆的轴力FFFF732.122N1N1杆受拉,2杆受压A2l2mm.Δmm.ΔNN765019712222211111EAlFlAAEAlFlAA（2）两杆的变形30°AA1A2l1l2A'30°AA3为所求A点的位移A1l12mABCF30°12A2l2A330cosΔ1222llAAAAAA30sin30tantan3012232llAAAAmm.)()(7973232223AAAAAA例题8设横梁ABCD为刚梁，钢索的横截面面积为76.36mm²的钢索绕过无摩擦的滑轮。设P=20kN，E=177GPa，试求钢索的应力和C点的垂直位移。60°ABCD60°P400400800钢索ABCDPTT解：能量法：（外力功等于变形能1）求钢索内力：以ABD为对象：06061218060sin...sinTPTmAKNPT55113./MPaAT15110367655119..UWEALTUPWc2212mmPEALTc79036761772061551122....2)钢索的应力为：3)C点的位移为：例题9设1，2，3三杆用铰链连结如图所示，l1=l2=l，A1=A2=A，E1=E2=E，3杆的长度l3,横截面积A3,弹性模量E3。试求在沿铅垂方向的外力F作用下各杆的轴力.三、一般超静定问题举例(Examplesforgeneralstaticallyindeterminateproblem)解：（1）列平衡方程0coscos03N2N1NFFFFFy这是一次超静定问题﹗210NNFFFxCABDF123xyFAFN2FN3FN1（2）变形几何方程由于问题在几何,物理及受力方面都是对称,所以变形后A点将沿铅垂方向下移.变形协调条件是变形后三杆仍铰接在一起﹗CABDF123xyFAFN2FN3FN1CABD123A'3lΔ变形几何方程为A123CABDF123CABD123A'A'1lΔcosΔΔ31ll1111EAlFlNΔ3333AElFlcosΔN（3）补充方程23331cosNNAEEAFF物理方程为（4）联立平衡方程与补充方程求解CABDF1233lΔA123A'1lΔ23321coscos2AEAEFFFNN21NNFF0321FFFFNNNcoscos23331cosNNAEEAFF3333cos21AEEAFFN例题10图示平行杆系1、2、3悬吊着刚性横梁AB，在横梁上作用着荷载F。各杆的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A，l，E.试求三杆的轴力FN1,FN2,FN3.ABCF3aal21ABCF3aal21FABC3aa21FN1FN2FN3Fx解：（1）平衡方程0xF0xF0yF03N2N1NFFFF0BM这是一次超静定问题,且假设均为拉杆.0221aFaFNN（2）变形几何方程物理方程ABCF3aal21ABCl3l2l1ABC3212312lllΔΔΔ1111EAlFlNΔEAlFl33NΔEAlFl22NΔ（3）补充方程2312NNNFFFABCF3aal21ABCl3l2l1ABC321（4）联立平衡方程与补充方程求解N2N3N1FFF20xF0FFFFN3N2N102N2N1aFaF6/53/6/N3N2N1FFFFFF例题11两铸件用两根钢杆1.2连接,其间距为l=200mm.现要将制造得过长了e=0.11mm的铜杆3装入铸件之间,并保持三根杆的轴线平行且等间距a,试计算各杆内的装配应力.已知：钢杆直径d=10mm,铜杆横截面积为2030mm的矩形,钢的弹性模量E=210GPa,铜的弹性模量E3=100GPa.铸件很厚,其变形可略去不计,故可看作刚体.ABC12aaB1A1C1l3C1C'e（1）变形几何方程为l3C1eC''l3ABC12B1C1A1l1l2=ellΔΔΔ31x（3）补充方程（4）平衡方程EAlFl11N1Δ333AElFlN3Δ（2）物理方程AElFeAElFN1N3Δ33C'A'B'FN3FN1FN20N2N1N3FFFN2N1FF联立平衡方程与补充方程求解,即可得装配内力，进而求出装配应力.ABl例题12图示等直杆AB的两端分别与刚性支承连结.设两支承的距离（即杆长）为l,杆的横截面面积为A,材料的弹性模量为E,线膨胀系数为.试求温度升高T时杆内的温度应力.解:这是一次超静定问题变形相容条件是杆的总长度不变.杆的变形为两部分,即由温度升高引起的变形lT以及与轴向压力FR相应的弹性变形lFAB'lTABlB'0lΔABlFFRAFRB（1）变形几何方程（3）补充方程（4）温度内力ABlAB'lT0FTlllΔΔΔEAlFlBFRΔlTllTΔΔ（2）物理方程由此得温度应力EAlFlTBlRΔTEAFlBΔRTEAFlBTΔRB'ABlFFRAFRB解：（1）键的受力分析如图例题13齿轮与轴由平键连接,已知轴的直径d=70mm,键的尺寸为b×h×L=20×12×100mm,传递的扭转力偶矩Me=2kN·m,键的许用切应力为[]=60MPa,许用挤压应力为[bs]=100MPa.试校核键的强度.bhlMedFMehe2MdFkNe5710701022233dMF综上，键满足强度要求.（2）校核剪切强度（3）校核挤压强度MPa.S5281010020105763blFAFFFSbsbsbsMPa951061001057263hlFAFMedFbhlA例题14一销钉连接如图所示，已知外力F=18kN,被连接的构件A和B的厚度分别为d=8mm和d1=5mm,销钉直径d=15mm,销钉材料的许用切应力为[]=60MPa,许用挤压应力为[bs]=200MPa.试校核销钉的强度.d1FFAdd1Bdd1FFAdd1Bd解:（1）销钉受力如图b所示d2F2FF剪切面挤压面d2F2FF挤压面FFSFS（2）校核剪切强度2SFF由截面法得两个面上的剪力剪切面积为24dAMPa51SAF（3）挤压强度校核这两部分的挤压力相等，故应取长度为d的中间段进行挤压强度校核.12ddbsbsbsMPa150ddFAF故销钉是安全的.剪切面DdhF（1）销钉的剪切面面积A（2）销钉的挤压面面积Abs思考题挤压面DdhF挤压面剪切面22bsπ()4DdAddπAdh例15冲床的最大冲压力F=400kN,冲头材料的许用压应力[]=440MPa,钢板的剪切强度极限u=360MPa,试求冲头能冲剪的最小孔径d和最大的钢板厚度d.冲头d钢板冲模FF解：（1）冲头为轴向压缩变形d=34mm冲头d钢板冲模F剪切面F24FFdAF解：（2）由钢板的剪切破坏条件δ=10.4mm冲头d钢板冲模F剪切面FubsdFAFd例题16一铆钉接头用四个铆钉连接两块钢板.钢板与铆钉材料相同.铆钉直径d=16mm,钢板的尺寸为b=100mm,d=10mm,F=90kN,铆钉的许用应力是[]=120MPa,[bs]=160MPa,钢板的许用拉应力[]=160MPa.试校核铆钉接头的强度.FFddFFbFFdd解：（1）校核铆钉的剪切强度每个铆钉受力为F/4每个铆钉受剪面上的剪力为FFbF/4F/4剪切面kN5.224SFFSS2112MPa4FFdA（2）校核铆钉的挤压强度每个铆钉受挤压力为F/4F/4F/4剪切面挤压面bsbsbs4141MPadFFAd（3）校核钢板的拉伸强度FF/4F