高等代数二次型单元测验答案

山东理工大学高等代数二次型单元试卷纸（）卷2017-2018学年第1学期班级：姓名：学号：…………………………………装……………………………订…………………………线………….………………………………适用专业数学考核性质考试闭卷命题教师考试时间100分钟题号一二三四五总分得分一、判断题（10分）1、实对称矩阵必合同于对角阵.(正确)2、两个mn矩阵,AB等价的充分必要条件是它们的秩相等.(正确)3、若,AB都是n阶正定矩阵,则,AB必合同.(正确)4、若,AB合同,则,AB必等价.(正确)5、如果A,B都是n阶实对称正定矩阵,则它们合同(正确)6、任一秩为r的复数对称矩阵都合同于000rE的一个矩阵.(正确)7、两个实数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相同.(错)8、非退化线性替换保持二次型的正定性不变.(正确)9、如果,AB是两个实对称矩阵,则它们的乘积AB也是实对称矩阵.(错)10、如果实对称矩阵的各阶顺序主子式都大于或等于零,则该二次型半正定.(错)二、填空题（20分）1、按照合同分类,所有的5阶复对称矩阵共分为6类.2、按照合同分类,所有的5阶实对称矩阵共分为21_______类3、所有的34矩阵按等价分类可分成4类.4、二次型222123122313(,,)()()()fxxxxxxxxx的秩是2.5、若,AB都是n阶正定矩阵,则AB也是正定矩阵的充要条件是ABBA.6、若二次型222123123121323(,,)5224fxxxxxxtxxxxxx是正定二次型,则t应满足405t.7、实二次型TxAx负定的充要条件是矩阵A的奇数阶顺序主子式小于零,偶数阶顺序主子式大于零.8如果矩阵A满足230AAE，则1()AE2AE_______9如果实对称矩阵A与矩阵000012021B合同,则二次型TXAX的规范形是__2212zz_________10.1120034003220010020016005600150011共3页第1页山东理工大学高等代数二次型单元考试试卷纸（A）卷2017-2018学年第1学期班级：姓名：学号：…………………………………装……………………………订…………………………线………….………………………………三、计算题(30分)1、化实二次型123121323(,,)fxxxxxxxxx为标准形，并求正、负惯性指数解:令11221233xyyxyyxy,则2212312121231231213(,,)()()()()=2fxxxyyyyyyyyyyyyyy22222221213331323=2()yyyyyyyyyy令1132233zyyzyzy,则222123fzzz,正惯性指数是1,负惯性指数是2.所用非退化线性替换12131223322xxzxxxzzx2、设矩阵111120101A,求可逆矩阵P,使得TPAP成为对角形.12222221232123121311232331111202222()2101TxfXAXxxxxxxxxxxxxxxxxxx222222211232323231232232()()2()()2xxxxxxxxxxxxxxxx222123233()()xxxxxx令112322333yxxxyxxyx,f化为标准形222123yyy.由此得到1123223332xyyyxyyxy,矩阵112011001P满足1=11TPAP3、已知方阵422242224A，并且3ABAB，求B由3ABAB,推出(3)AEBA,求出14223332421(3)==3333224333BAEAA21312,21224221224221224223212242036606012202221224063660021220rrrrAEA8102422120100333333122422122422242242012202012202010010333333003224224224224001001001333333333共3页第2页山东理工大学高等代数二次型单元考试试卷纸（A）卷2017-2018学年第1学期班级：姓名：学号：…………………………………装……………………………订…………………………线………….………………………………四、证明题（40分）1、设,AB都是n阶矩阵，且0AB，则()()rArBn.设B的列向量组为12,,,nBBB，则1212(,,,)(,,,)0nnABABBBABABAB故有120nABABAB,即方程组0AX有n组解12,,,nBBB.若()rAr，则12,,,nBBB可由0AX的基础解系线性表出，于是()rBnr.因此()()()rArBrnrn2、设A是一个实矩阵，证明：()()TrAArA.(1)由于TrArAA的充分条件是0AX与0TAAX为同解方程组，故只要证明0AX与0TAAX同解即可.(2)事实上0AX的解显然是0TAAX的解.反过来,如果X满足0TAAX,我们有0TTXAAX,从而0TAXAX,又因为AX是一个n维实列向量,推出0AX即证0AX与0TAAX同解，故TrAArA3、设,AB都是n阶正定矩阵，证明：1A，AB都是正定矩阵(1)因为A正定,存在可逆矩阵C,使得TACC,从而111111()()()TTTACCCCCC,推出1A正定(2)任取0X,()0TTTXABXXAXXBX,推出AB是正定矩阵.4、证明：一个实二次型可分解成两个成比例的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是它的秩是1.(1)必要性设1211221122(,,,)()()nnnnnfxxxaxaxaxbxbxbx，其中,(1,2,,)iiabin均为实数．若上式右边的两个一次式系数成比例，即iikab(1,2,,)in，不失一般性，可设01a，则可作非退化线性替换11122,(2,,).nniiyaxaxaxyxin使二次型化为2121(,,,)nfxxxky，故二次型12(,,,)nfxxx的秩为1．(2)充分性若12(,,,)nfxxx的秩为1，则可经非退化线性替换Cxy使二次型化为2121(,,,)nfxxxky，而1Cyx仍为非退化线性替换，故1y为nxxx,,,21的一次齐次式，nnxaxaxay22111，其系数即为1C的第一行元素，且2121122(,,,)()nnnfxxxkaxaxax11221122()()nnnnkaxkaxkaxaxaxax，即二次型分解成两个成比例的一次齐次多项式的乘积.共3页第3页