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第14课时二次函数的图像与性质（二）第14课时┃二次函数的图像与性质（二）冀考解读冀考解读考点聚焦冀考探究考点梳理考纲要求常考题型年份2014热度预测二次函数与一元二次方程的关系理解选择、填空☆二次函数图像的平移掌握选择2013☆☆☆二次函数图像与性质的综合掌握选择、解答20112012☆☆☆☆☆第14课时┃二次函数的图像与性质（二）考点1二次函数与一元二次方程的关系抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数判别式Δ＝b2－4ac的符号方程ax2＋bx＋c＝0的实根个数2个Δ0两个____________的实根1个Δ＝0两个____________的实根没有Δ0____________实根不相等相等没有冀考解读考点聚焦冀考探究考点聚焦第14课时┃二次函数的图像与性质（二）考点2二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像特征与a，b，c及判别式b2－4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图像的特征a0开口向上aa0开口向下b＝0对称轴为y轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴左侧bab0(b与a异号)对称轴在y轴右侧冀考解读考点聚焦冀考探究第14课时┃二次函数的图像与性质（二）c＝0经过原点c0与y轴正半轴相交cc0与y轴负半轴相交b2－4ac＝0与x轴有唯一交点(顶点)b2－4ac0与x轴有两个不同交点b2－4acb2－4ac0与x轴没有交点当x＝1时，y＝a＋b＋c当x＝－1时，y＝a－b＋c若a＋b＋c0，即x＝1时，y0特殊关系若a－b＋c0，即x＝－1时，y0冀考解读考点聚焦冀考探究第14课时┃二次函数的图像与性质（二）考点3二次函数图像的平移将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如图14－1：图14－1[注意]确定抛物线平移后的表达式最好利用顶点式，利用顶点的平移来研究图像的平移．冀考解读考点聚焦冀考探究第14课时┃二次函数的图像与性质（二）探究一二次函数与一元二次方程命题角度：1．二次函数与一元二次方程之间的关系；2．图像法解一元二次方程；3．二次函数与不等式(组)．[2013·苏州]已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图像与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是()A．x1＝1，x2＝－1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3B冀考解读考点聚焦冀考探究冀考探究第14课时┃二次函数的图像与性质（二）解析解法一：把x＝1代入x2－3x＋m＝0，得m＝2.由x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.故选B.解法二：由二次函数y＝x2－3x＋m可知，其图像的对称轴为直线x＝－－32＝32.设二次函数图像与x轴的另一个交点为(n，0)，则12(1＋n)＝32，解得n＝2.故关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是x1＝1，x2＝2，应选B.冀考解读考点聚焦冀考探究函数与方程的联系函数与方程有着广泛的联系，如果把函数中的两个变量视为未知数，那么函数表达式就是一个二元方程；函数图像与横轴的交点横坐标，就是函数值为0时得到的方程的解；两个函数图像的交点坐标，可由两个函数表达式组成的方程组求解；待定系数法求函数表达式，也是通过列方程(组)，确定各项系数的值．冀考解读考点聚焦冀考探究第14课时┃二次函数的图像与性质（二）第14课时┃二次函数的图像与性质（二）探究二二次函数图像的平移命题角度：1．二次函数的图像的平移规律；2．利用平移求二次函数的图像的表达式．[2013·衢州]抛物线y＝x2＋bx＋c的图像先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图像的函数表达式为y＝(x－1)2－4，则b，c的值为()A．b＝2，c＝－6B．b＝2，c＝0C．b＝－6，c＝8D．b＝－6，c＝2B冀考解读考点聚焦冀考探究第14课时┃二次函数的图像与性质（二）解析还原抛物线，需要将y＝(x－1)2－4先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，即得y＝(x－1＋2)2－4＋3＝(x＋1)2－1＝x2＋2x.对照各项系数，可知b＝2，c＝0，故选B.解决抛物线平移的问题，通常要把表达式配方转化为顶点式，遵循“括号内左加右减，括号外上加下减”的平移原则，确定平移后的表达式．冀考解读考点聚焦冀考探究第14课时┃二次函数的图像与性质（二）探究三二次函数图像与系数的关系命题角度：1.二次函数的图像的开口方向，对称轴，顶点坐标，和坐标轴的交点情况与a，b，c的关系；2.图像上的特殊点与a，b，c的关系．如图14－2，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，图像经过点(－1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴．给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b0；③a＋c＝1；④a1.其中正确的结论的序号是________．图14－2②③④冀考解读考点聚焦冀考探究第14课时┃二次函数的图像与性质（二）解析抛物线的开口向上，可知a0；图像与y轴交点在y轴的负半轴上，可知c0；抛物线的对称轴x＝－b2a在y轴右侧，说明a、b异号，则b0，所以abc0，①错误；由抛物线的对称轴位置可知－b2a1，不等式两边都乘2a，由2a0，得－b2a，所以2a＋b0，②正确；由抛物线经过(1，0)得a＋b＋c＝0(*)，由抛物线经过(－1，2)得a－b＋c＝2(**)，将(*)与(**)相加，得2a＋2c＝2，所以a＋c＝1，③正确；将(*)与(**)相减，得b＝－1，所以a＋c＝1，a＝1－c，由c0可知，a1，④正确．因此，正确的结论的序号是②③④.冀考解读考点聚焦冀考探究第14课时┃二次函数的图像与性质（二）探究四二次函数图像与性质的综合运用命题角度：二次函数的图像与性质的综合运用．[2013·内江]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图像与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1x2)两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2＋4x－5＝0的两根．(1)若抛物线的顶点为D，求S△ABC∶S△ACD的值；(2)若∠ADC＝90°，求二次函数的表达式．图14－3冀考解读考点聚焦冀考探究第14课时┃二次函数的图像与性质（二）解(1)因为x2＋4x－5＝0的两根是x1＝－5，x2＝1.所以A，B两点的坐标分别为(－5，0)，(1，0)，所以抛物线的对称轴为x＝－2.依二次函数图像与一元二次方程的解的关系，可设二次函数的表达式为y＝a(x＋5)(x－1)(a0)，则C，D的坐标分别为(0，－5a)，(－2，－9a)，从而可画出大致图像，如图：冀考解读考点聚焦冀考探究第14课时┃二次函数的图像与性质（二）所以S△ABC＝12AB·OC＝15a.设AC与抛物线的对称轴交于点E，则由三角形相似可求得E点的坐标为(－2，－3a)．所以S△ADC＝S△AED＋S△DEC＝12(9a－3a)×3＋12(9a－3a)×2＝15a.所以S△ABC∶S△ACD＝1.(2)当∠ADC＝90°时，△ADC是直角三角形，依勾股定理AC2＝AD2＋DC2.因为AC2＝52＋(5a)2，AD2＝32＋(9a)2，DC2＝22＋(9a－5a)2，所以52＋(5a)2＝32＋(9a)2＋22＋(9a－5a)2.解得a＝±66(负值不合题意，舍去)．所以二次函数的表达式为y＝66(x＋5)(x－1)＝66x2＋263x－566.冀考解读考点聚焦冀考探究