古代希腊数学

数学史2、古代希腊数学2、古代希腊数学希腊数学一般是指从公元前600年至公元600年间，活动于希腊半岛、爱琴海地区、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。古希腊人也叫海仑人(Hellene)，其历史可以追溯到公元前2000年。当时，作为希腊先民的一些原始部落由北向南挺进，在希腊半岛定居，后来又逐步向爱琴海诸岛和小亚细亚扩张。到公元前600年左右，希腊人已散布于地中海与黑海沿岸的大部分地区，正是在这一带掀起了新的数学浪潮。•这些海滨移民具有两大优势：•●他们具有典型的开拓精神，不愿因袭传统；•●他们身处与两大河谷地区毗邻之地，易于汲取那里的文化。2.1论证数学的发端•2.1.1、爱奥尼亚学派和演绎证明最早的希腊数学家是泰勒斯(ThalesofMiletus,约公元前625-前547)。泰勒斯出生于小亚细亚（今土耳其）西部爱奥尼亚地方的米利都城，他领导的爱奥尼亚学派开创了希腊命题证明之先河。•泰勒斯在数学上的贡献的最可靠的证据是来自公元5世纪新柏拉图学派哲学家普罗克鲁斯(Proclus,410-485)所著《欧几里得原本第一卷评注》一书:•……（泰勒斯）首先来到埃及，然后将几何研究引进希腊。他本人发现了许多命题，并指导学生研究那些可以推出其他命题的基本原理”。普罗克鲁斯在《评注》中介绍说泰勒斯曾证明了下列四条定理：◇圆的直径将圆分为两个相等的部分；◇等腰三角形两底角相等；◇两相交的直线形成的对顶角相等；◇如果一三角形有两角、一边分别与另一三角形的对应角、对应边相等，那么这两个三角形全等。◇半圆上的圆周角是直角.(泰勒斯定理)上述间接的记载流传至今，使泰勒斯获得了第一位数学家和论证几何学鼻祖的美名。•关于泰勒斯，还有一些其他的零星传说：•▽泰勒斯早年经商，因进行橄榄轧油机生意而发了大财；•▽在埃及，泰勒斯测量过金字塔的高；•▽在巴比伦，预报了公元前585年的一次日蚀，等等。•希腊人为什么认为几何事实需要证明？•1、古典时期希腊人对哲学研究具有特殊的兴趣。在哲学中，人们关心的是可以从假设的前提推出必然的结论。•2、另一种原因在于希腊人对美的追求。演绎论证中所体现的条理性、一致性、完备性和确定性，都是令人神往的。•3、还有一种原因在于古希腊的奴隶制度。这种制度促进了理论与实践的分离，特权阶层偏爱理论轻视实践。•2.1.2、毕达哥拉斯学派•希腊论证数学的另一位祖师是毕达哥拉斯(PythagorasofSamos,约公元前580-前500)。今人对毕达哥拉斯生平与工作的了解，主要也是通过普罗克鲁斯等人关于希腊数学著作的评注，另外还有如柏拉图、希罗多德的著述也提供了一些信息。毕达哥拉斯生于靠近小亚细亚西部海岸的萨摩斯岛，曾游历埃及和巴比伦，可能还到过印度，回希腊后定居于当时的大希腊(MagnaGraecia)，即今意大利东南沿海的克洛托内(Crotone)，并在那里建立了一个秘密会社，也就是今天所称的毕达哥拉斯学派。这是一个宗教式的组织。虽然泰勒斯沿着论证数学的方向迈出了第一步，但希腊数学著作的评注者们主要是将数学中这一新方向的成长归功于毕达哥拉斯学派。一般认为，欧几里得《原本》前二卷的大部分材料来源于毕达哥拉斯学派，包括西方文献中一直以毕达哥拉斯的名字命名勾股定理。但迄今并没有毕达哥拉斯发现和证明了勾股定理的直接证据。人们对毕达哥拉斯证明勾股定理的方法给出了种种猜测，其中最著名的是普鲁塔克（Plutarch,约46-120）的面积剖分法。毕达哥拉斯学派另一项几何成就就是正多面体作图，他们称正多面体为“宇宙形”.我们今天知道在三维空间中正多面体仅有五种—正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。欧几里得《原本》第8卷的附注指出：“其中三个（正四、六、八面题）应归功于毕达哥拉斯学派，而十二面体和二十面体应归功于蒂奥泰德(Theaetetus)”。蒂奥泰德（约公元前417-前369）是晚期毕达哥拉斯学派成员希奥多罗斯（约公元前465-前399）的学生，深受毕达哥拉斯学派思想的影响。因此，一般认为所有正多面体的作图都与毕达哥拉斯学派有关。在所有的正多面体中，正十二面体的作图是最为诱人的问题，因为它是由正五边形围成，而其他正多面体都是以三角形或正方形为界面，正五边形的作图则与著名的“黄金分割”问题有关.正五边形ABCDE的五条对角线分别相交于点、、、、，这些交点以一些特殊的方式分割对角线：每条对角线都被交点分成两条不相等的线段，使该对角线的整体与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比。这就是所谓“黄金分割”。'A'B'C'D'E柏拉图宇宙的象征这是达芬奇在帕乔利的著作《神圣的比例》（1509）中所画的尽管人们将许多几何成就归功于毕达哥拉斯学派，但这个学派基本的信条却是：“万物皆数”。该学派晚期的一位成员费洛罗斯（Philolaus,约卒于公元前390年）确曾明确地宣称：人们所知道的一切事物都包含数；因此没有数就既不可能表达、也不可能理解任何事物。•毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数，分数是被看成两个整数之比的关系。他们认为：•▲数1生成所有的数，并命之为“原因数”(Numberofreason)。•▲一切数中最神圣的是10，它是完美、和谐的标志。•定义了完全数、亏数、盈数、亲和数。一般地由公式2)1(321nnnN给出的数称为“三角形数”，它们可以用某种三角点式来表示；由序列)12(7531nN形成一系列“正方形数”。毕达哥拉斯学派关于“形数”研究，强烈地反映了它们将数作为几何思维元素的精神。五边形数和六边形数分别由序列2)13()23(741nnnNnnnN22)34(951和得到，这是一些高阶等差序列。用同样的方式可以定义所有的多边形数。“形数”体现了形与数的结合。数形结合的另一个典型例子是由21,,2122mmm给出的毕达哥拉斯三元数组，它们分别表示一个直角三角形的两条直角边和斜边，与勾股定理密切相关。（m为整数）◇“万物皆数”的信念，使毕达格拉斯学派成为相信自然现象可以通过数学来理解的先驱。毕达哥拉斯相信任何量都可以表示成两个整数之比（即某个有理量）。在几何上这相当于说：对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。希腊人称这样两条给定线段为“可公度量”，意即有公共的度量单位。然而毕达哥拉斯学派后来却发现：并不是任意两条线段都是可公度的，存在着不可公度的线段，例如正方形的对角线和其一边就构成不可公度线段。这一事实的证明最早出现在亚里士多德的著作中：根据勾股定理，如正方形对角线与其一边之比为︰（互素），则有。这里为偶数，则也必为偶数，设，于是，即为偶数，则也必为偶数，这与互素的假设相矛盾，因此正方形对角线与其一边不可公度。,2222222224222,2,毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信条，由于不可公度量的发现而受到了动摇。这些“怪物”深深地困惑着古希腊的数学家，希腊数学中出现的这一逻辑困难，有时也被称为“第一次数学危机”。大约一个世纪后，这一“危机”才由于欧多克斯(Eudoxus)提出的新比例理论而暂时消除。2.1.3伊利亚学派与诡辩学派希腊波斯战争（公元前492-前449）以后，雅典成为希腊民主政治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁荣，学派林立。●伊利亚学派以居住在意大利南部依利亚(Eles)地方的芝诺（Zeno,约公元前490-前430）为代表。芝诺提出了四个著名的悖论，将无限性所遭遇的困难揭示无遗。这四个悖论中的两个如下:▼阿基里斯追龟：阿基里斯(Achilles,希腊名将，善跑)永远追不上一只乌龟，因为若乌龟的起跑点领先一段距离，阿基里斯必须首先跑到乌龟的出发点，而在这段时间里乌龟又向前爬过一段距离，如此直至无穷。▼飞箭不动：飞着的箭是静止的，因为任何事物当它是在一个和自己大小相同的空间里时，它是静止的，而飞箭在飞行过程中的每一“瞬间”都是如此。•芝诺悖论的前两个，是针对事物无限可分的观点，而后两个则矛头直指不可分无穷小量的思想。要澄清这些悖论需要极限、连续及无穷集合等抽象概念，当时的希腊数学家尚不可能给予清晰的解答。但芝诺悖论与不可公度的困难一起，成为希腊数学追求逻辑精确性的强力激素。•诡辩学派•提出了“三大作图问题”2.1.4柏拉图学派•柏拉图（Plato,公元前427-前347）曾师从毕达哥拉斯学派的学者，约公元前387年在雅典创办学院，讲授哲学与数学，形成了自己的学派。雅典时期，数学中的演绎化倾向有了实质性的进展，这主要应归功于柏拉图、亚里士多德和他们的学派。柏拉图与亚里士多德（拉斐尔名画《雅典学派局部》）柏拉图认为数学是一切学问的基础，据说柏拉图学院的大门上写着“不懂几何者莫入”。柏拉图本人虽未得到很多具体的数学成就，但对数学研究的方法却颇多贡献。普罗克鲁斯将分析法和归缪法归功于柏拉图。从学术上讲，柏拉图不是数学家，但人们称他为“数学家的创造者”。无可否认的是，他确实刺激了许多比他高明得多的数学家去创造一些真实的数学。柏拉图给出了许多几何定义，并坚持对数学知识作演绎整理，这在他的代表著作《理想国》中有明确的陈述。柏拉图的思想在他的学生与同事亚里士多德那里得到了极大的发展和完善。亚里士多德对定义作了更精密的讨论，并指出需要有未加定义的名词。他也深入研究了作为数学推理的出发点的基本原理，并将它们区分为公理和公设（他认为公理是一切科学所公有的真理，而公设则是为某一门科学所接受的第一性原理）。三大几何作图问题古希腊三大著名几何作图问题是：⊙化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形。⊙倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。⊙三等分角，即分任意角为三等分。三大几何问题的起源涉及一些古老的传说。如倍立方体问题：说神话中的米诺斯王(KingMinos)嫌儿子格劳卡斯(Glaucus)为他建造的坟墓太小，命令将其扩大一倍。这类问题激发了古希腊时代许多数学家的研究兴趣，其中贡献最多的是诡辩学派。由于希腊人限制了作图工具只能是圆规和（不带刻度的）直尺，使这些问题变得难以解决并富有理论魅力。最早研究化圆为方问题的是安纳萨哥拉斯（Anaxagoras,约公元前500–前428），但详情不得而知。公元5世纪下半叶，开奥斯的希波克拉底（HippociatesofChios）解决了与化圆为方有关的化月牙形为方。但单个圆的化圆为方问题没有解决。（课本P20）•关于倍立方体问题，一个关键的进展是希波克拉底对这一问题的“简化”。希波克拉底指出了倍立方体问题可以化为求一线段与它的二倍长线段之间的双重比例中项问题：a:x=x:y=y:2a•这样求出的必须满足，即为倍立方问题的解。332axx希波克拉底并没有能从几何上作出这样的比例中项线段。比他稍晚的柏拉图学派的梅内赫莫斯（Menaechmus,公元前360）为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线。事实上，前述的比例中项关系等价于方程：2222,2,axyaxyayx因此,量应为两条抛物线的交点或一条抛物线与一条双曲线的交点之坐标。yx,希腊人还利用其它多种曲线来解决三大作图问题，例如，据说巧辩学派的希比阿斯为了三等分任意角而发明了“割圆曲线”（quadratrix）。在正方形中，令平行于自身匀速下降直至与重合。与此同时DA顺时针匀速转动直至与DC重合。若ABCDABDC''BA''DA用和分别表示这两条移动线段在任一时刻的位置，那么他们的交点P产生的曲线就是割圆曲线。如果这曲线能够作出，那么三等分一个角就容易做到。如是需要三等分得角。将和三等分，分点为设和分别交割圆曲线于和，则根据该曲线的性质，线段就将角分成三个相等的部分。PDCCB'DA'.,,,UTSRTRUSVWDWDV,PDC希腊人对三大几何问题的所有解答都无法严格遵守尺规（称为欧几里得工具）作图的限制。直到19世纪，数学家们才利用现代数学知识弄清了这三大问题实际上是不可解的。不过，如我们