解三角形-PPT课件

专题探究精讲本章优化总结知识体系网络本章优化总结知识体系网络专题探究精讲判断三角形形状判断三角形的形状，一般有以下两种途径：(1)将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；(2)将已知条件统一化成角的关系，用三角方法求解．在解三角形时的常用结论有：(1)在△ABC中，∠A∠B⇔ab⇔sinAsinB⇔cosAcosB.(2)在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝π，∠A＋∠B＝π－∠C，∠A＋∠B2＝π2－∠C2，则cos(A＋B)＝－cosC，sin(A＋B)＝sinC，sinA＋B2＝cosC2.(3)在△ABC中，a2＋b2c2⇔π2Cπ，a2＋b2＝c2⇔cosC＝0⇔∠C＝π2，a2＋b2c2⇔cosC0⇔0∠Cπ2.在△ABC中，若bcosCccosB＝1＋cos2C1＋cos2B，试判断三角形的形状．例1【解】由已知1＋cos2C1＋cos2B＝2cos2C2cos2B＝bcosCccosB，∴cosCcosB＝bc.以下可有两种解法．法一：(利用正弦定理边化角)：由正弦定理得bc＝sinBsinC.∴cosCcosB＝sinBsinC，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B，∵B，C均为△ABC的内角，∴2C＝2B，或2C＋2B＝180°，∴B＝C，或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．法二：(利用余弦定理角化边)：∵bc＝cosCcosB.再由余弦定理得a2＋b2－c22aba2＋c2－b22ac＝bc，即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)，∴a2c2－c4＝a2b2－b4，即a2b2－a2c2＋c4－b4＝0，∴a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0，即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0，∴b2＝c2，或a2－b2－c2＝0，即b＝c，或a2＝b2＋c2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．正、余弦定理的综合应用(1)在解三角形时，常常将正弦定理与余弦定理结合使用，要注意恰当地选择定理，简化运算过程，提高解题速度，同时，要注意与平面几何中的有关性质、定理结合起来，挖掘题目中的隐含条件．(2)利用正弦、余弦定理证明有关三角形的三角函数恒等式和判定三角形的类型，主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系．一般地，利用公式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC可将边的关系转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等式进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A＋B＋C＝π.利用公式cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab，可将有关三角形中的角的关系化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题．在三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C对边的长，且满足cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的值；(2)若b＝19，a＋c＝5，求a、c的值．例2【思路点拨】(1)cosBcosC＝－b2a＋c三角函数关系cosB的值―→B的值．(2)利用余弦定理找出a、c的关系．【解】(1)由正弦定理有：asinA＝bsinB＝csinC＝2R⇒a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入cosBcosC＝－b2a＋c，得cosBcosC＝－sinB2sinA＋sinC，即：2sinAcosB＋sinCcosB＋sinBcosC＝0，2sinAcosB＋sin(C＋B)＝0.在△ABC中，有A＋B＋C＝π，即：sinA＝sin(B＋C)，∴2sinAcosB＋sinA＝0.∵sinA≠0，∴cosB＝－12⇒B＝2π3.(2)由余弦定理有：b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，19＝52－2ac(1－12)⇒ac＝6.由ac＝6a＋c＝5⇒a＝2c＝3或a＝3，c＝2.【名师点评】易误点：(1)中考生盲目地利用余弦定理把角的三角函数转化为边，导致计算量加大；(2)中不能利用(1)中所求的值寻找等式关系．求三角形面积求三角形的面积常与正弦定理、余弦定理、三角函数、函数的有关知识紧密地联系在一起，是高考中的常见题型．常用三角形面积公式：(1)S△ABC＝12aha＝12bhb＝12chc.(2)S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.在△ABC中，sinA＋cosA＝22，AC＝2，AB＝3，求tanA的值和△ABC的面积．例3【思路点拨】由已知可把角A算出来，再求tanA，并求出sinA，直接代入面积公式即可.【解】∵sinA＋cosA＝2cos(A－45°)＝22，∴cos(A－45°)＝12.又∵0°A180°，∴A＝105°.∴tanA＝tan(45°＋60°)＝tan45°＋tan60°1－tan45°tan60°＝－2－3，sinA＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝2＋64.又AC＝2，AB＝3，∴S△ABC＝12AC·AB·sinA＝12×2×3×2＋64＝34(2＋6)．解三角形在实际问题中的应用(1)三角形中的边角关系是最基本的数量关系，而正、余弦定理又是反映三角形这种数量关系最重要的两个定理，它们在天文测量、航海和地理测量等问题中有着广泛的应用．(2)解决实际问题时，先将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用已学过的几何图形的性质，作必要的辅助线，将已知元素、未知元素集中到同一个三角形中，正确地选择正弦定理、余弦定理，使解题过程简洁，按照题目中已有的精确度进行计算，并注明单位．例4如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点,另两个监测点B、C分别在A的正东方向20km处和54km处，某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A、20s后监测点C相继收到这一信号，在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.(1)设A到P的距离为xkm，用x表示B、C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离．(结果精确到0.01km)【思路点拨】(1)PA、PB、PC长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间建立起来；(2)作PD⊥a，垂足为D，要求PD的长，只需要求出PA的长和cos∠APD，即cos∠PAB的值．由题意，PA－PB，PC－PB都是定值，因此，只需要分别在△PAB和△PAC中，求出cos∠PAB，cos∠PAC的表达式，建立方程即可.【解】(1)依题意，PA－PB＝1.5×8＝12(km)，PC－PB＝1.5×20＝30(km)．因此PB＝(x－12)km，PC＝(18＋x)km.在△PAB中，AB＝20km，cos∠PAB＝PA2＋AB2－PB22PA·AB＝x2＋202－x－1222x·20＝3x＋325x.同理，cos∠PAC＝72－x3x，由于cos∠PAB＝cos∠PAC，即3x＋325x＝72－x3x，解得x＝1327(km)．(2)作PD⊥a，垂足为D.在Rt△PDA中，PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB＝x·3x＋325x＝3×1327＋325≈17.71(km)．即静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71km.【名师点评】由实际出发，构建数学模型是解应用题的基本思路．如果涉及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题，进行解答,之后再还原成实际问题，即