正态分布及其经典习题和答案

4321-1-4-22421专题：正态分布例：（1）已知随机变量X服从二项分布，且E（X）=2.4，V（X）=1.44，则二项分布的参数n，p的值为A．n=4，p=0.6B．n=6,p=0.4C．n=8，p=0.3D．n=24，p=0.1答案：B。解析：4.2npXE，44.1)1(pnpXV。（2）正态曲线下、横轴上，从均数到的面积为()。A．95%B．50%C．97.5%D．不能确定（与标准差的大小有关）答案：B。解析：由正态曲线的特点知。（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是（）A32B16C8D20答案：B。解析:数学成绩是X—N(80,102)，80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010PXPZPZ。（4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________。答案：8.5。解析：设两数之积为X，X23456810121520P0.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1∴E(X)=8.5.（5）如图，两个正态分布曲线图：1为)(1,1x，2为)(22x，则12，12（填大于，小于）答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。【课内练习】1．标准正态分布的均数与标准差分别为()。A．0与1B．1与0C．0与0D．1与1答案：A。解析：由标准正态分布的定义知。2．正态分布有两个参数与，()相应的正态曲线的形状越扁平。A．越大B．越小C．越大D．越小答案：C。解析：由正态密度曲线图象的特征知。3．已在n个数据nxxx,,,21，那么niixxn121是指A．B．C．2D．2（）答案：C。解析：由方差的统计定义知。4．设),(~pnB，12E，4D，则n的值是。答案：4。解析：12npE，(1)4Dnpp5．对某个数学题，甲解出的概率为23，乙解出的概率为34，两人独立解题。记X为解出该题的人数，则E（X）=。答案：1712。解析：11121145(0),(1),3412343412PXPX231(2)342PX。∴15117()012212212EX。6．设随机变量服从正态分布)1,0(N，则下列结论正确的是。(1))0)(|(|)|(|)|(|aaPaPaP(2))0(1)(2)|(|aaPaP(3))0)((21)|(|aaPaP(4))0)(|(|1)|(|aaPaP答案：(1),(2),(4)。解析：(||)0Pa。7．抛掷一颗骰子，设所得点数为X，则D（X）=。答案：3512。解析：1(),1,2,,66PXkk，按定义计算得735(),()212EXVX。【作业本】A组1．袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X表示取出球的最大号码，则E（X）等于（）A、4B、5C、4.5D、4.75答案：C。解析：X的分布列为X345P0.10.30.6故E（X）=30.1+40.3+50.6=4.5。2．下列函数是正态分布密度函数的是（）A．2221)(rxexfB．2222)(xexfC．412221)(xexfD．2221)(xexf答案：B。解析：选项B是标准正态分布密度函数。3．正态总体为1,0概率密度函数)(xf是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数答案：B。解析：221()2xfxe。4．已知正态总体落在区间,2.0的概率是0．5，那么相应的正态曲线在x时达到最高点。答案：0.2。解析：正态曲线关于直线x对称，由题意知0.2。5．一次英语测验由40道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分120分，某学生选对一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望为；方差为。答案：84；75.6。解析：设X为该生选对试题个数，η为成绩，则X～B（50，0.7），η=3X∴E(X)=40×0.7=28V(X)=40×0.7×0.3=8.4故E(η)=E(3X)=3E(X)=84V(η)=V(3X)=9V(X)=75.66．某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为32，求此人试验次数X的分布列及期望和方差。解：X的分布列为X123P232919故22113()1233999EX，22211338()149()399981VX。7．甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s，若他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X，则EX=34，Y为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s的值及Y的分布列及期望.答案：解：由已知可得),2(~sBX，故32,342ssEX所以．有Y的取值可以是0，1，2.甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是361)31()21(22，甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是92)32313132)(21212121(，甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是91)3232)(2121(所以36139192361)0(YP；甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是361)31()21(22，甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是91)3232)(2121(所以36591361)2(YP，故21)2()0(1)1(YPYPYP所以Y的分布列是Y123P361321365所以Y的期望是E（Y）=97。B组1．某产品的废品率为0.05，从中取出10个产品，其中的次品数X的方差是（）A、0.5B、0.475C、0.05D、2.5答案：B。解析：X—B（10，0.05），()100.050.950.475VX。2．若正态分布密度函数2121(),()2xfxexR，下列判断正确的是（）A．有最大值，也有最小值B．有最大值，但没最小值C．有最大值，但没最大值D．无最大值和最小值答案：B。3．在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布)36,100(，那么考试成绩在区间112,88内的概率是A．0．6826B．0．3174C．0．9544D．0．9974答案：C。解析：由已知X—N（100，36），故88100112100(88112)()(22)2(2)10.954466PXPZPZPZ。4．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，若取到一个红球则得2分，用X表示得分数，则E（X）=________；D(X)=_________.答案：149；162165。解析：由题意知，X可取值是0，1，2，3，4。易得其概率分布如下：X01234P1613113616136E(X)=0×16+1×13＋2×1136＋3×16＋4×136＝149V(X)=20×16+21×13＋22×1136＋23×16＋24×136－2914＝162165注：要求次品数的数学期望与方差，应先列出次品数X的分布列。5．若随机变量X的概率分布密度函数是)(,221)(82,2Rxexx，则)12(XE=。答案：-5。解析：2,2,(21)2()12(2)15EXEX。6．一本书有500页，共有100个错字，随机分布在任意一页上，求一页上错字个数X的均值、标准差。解：∵X—B1111(100,),()1000.2,()100(1)0.1996500500500500EXVXX的标准差()0.04468VX。8．一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？答案：解：电池的使用寿命X—N(35.6,4.42)则35.64035.6(40)()(1)1(1)0.15874.44.4XPXPPZPZ即这节电池可持续使用不少于40小时的概率是0.1587。正态分布双基自测1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝18πe－x－28，则这个正态总体的平均数与标准差分别是()．A．10与8B．10与2C．8与10D．2与10解析由18πe－x－28＝12πσe－x－μ22σ2，可知σ＝2，μ＝10.答案B2．(2011·湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)等于()．A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析由P(ξ＜4)＝0.8知P(ξ＞4)＝P(ξ＜0)＝0.2，故P(0＜ξ＜2)＝0.3.故选C.答案C3．(2010·广东)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X＞4)等于()．A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P(X＞4)＝0.5－12P(2≤X≤4)＝0.5－12×0.6826＝0.1587.故选B4．(2010·山东)已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)等于()．A．0.477B．0.628C．0.954D．0.977解析P(－2≤X≤2)＝1－2P(X2)＝0.954.答案C5．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(Xc＋1)＝P(Xc－1)，则c等于()．A．1B．2C．3D．4∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于x＝2对称，于是c＋1＋c－12＝2，∴c＝2.答案B考向一正态曲线的性质【例1】►若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求正态总体在(－4,4]的概率．解(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由12πσ＝12π·4，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝142πe－x232，x∈(－∞，＋∞)．(2)P(－4X≤4)＝P(0－4X≤0＋4)＝P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826.【训练1】设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有()．A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析根据正态分布N(μ，σ2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A.考向二服从正态分布的概率计算【例2】►设X～N(1,22)，试求(1)P(－1X≤3)；(2)P(3X≤5)；(3)P(X≥5)．解∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.(1)P(－1X≤3)＝P(1－2X≤1＋2)＝P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826.(2)∵P(3X≤5)＝P(－3X≤－1)，∴P(3X≤5)＝12[P(－3X≤5)－P(－1X≤3)]＝12[P(1－4X≤1＋4)－P(1－2X≤1＋2)]＝12[P(μ－2σX≤μ＋2σ)－P(μ－σX≤μ＋σ)