指数对数的导数复习

求指数、对数函数的导数例求下列函数的导数：1．1ln2xy；2．)132(log22xxy；3．)sin(baxey；4．).12cos(3xayx分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行．求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数．解：1．解法一：可看成1,,ln2xvvuuy复合而成．.1112)1(2111)2(211222212221xxxxxxxxxvuvuyyxvux解法二：)1(111ln222xxxy.12112111)1()1(211122222122xxxxxxxx解法三：)1ln(211ln22xxy，.1122)1(1121)1ln(2122222xxxxxxxy2．解法一：设132,log22xxuuy，则)34(log12xeuuyyxux.132log)34()34(132log2222xxexxxxe解法二：)132(132log)132(log22222xxxxexxy.132log)34()34(132log2222xxexxxxe3．解法一：设baxvvueyu,sin,，则)sin()cos(cosbaxuxvuxebaxaaveuuyy解法二：)sin()sin()sin(baxeeybaxbax)sin()sin()cos()()cos(baxbaxebaxabaxbaxe4．])12cos([3xayx)].12sin(2)12cos(ln3[)12sin(2)12cos(ln3)12)](12sin([)12cos()3(ln])12[cos()12cos()(3333333xxaaxaxaaxxaxxaaxaxaxxxxxxx说明：深刻理解，掌握指数函数和对数函数的求导公式的结构规律，是解决问题的关键，解答本题所使用的知识，方法都是最基本的，但解法的构思是灵魂，有了它才能运用知识为解题服务，在求导过程中，学生易犯漏掉符合或混淆系数的错误，使解题走入困境．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开．变形函数解析式求导例求下列函数的导数：（1）12223xxxxy；（2）xxy11ln；（3）xxysin)(tan；（4）62xxy．分析：先将函数适当变形，化为更易于求导的形式，可减少计算量．解：（1）.12122223xxxxxxxxy222222)1(11)1()12(11xxxxxxxxxy．（2）)]1ln()1[ln(21xxy，.11)1)(1(11211111212xxxxxxxy（3）)ln(tansinexxy])ln(tan[sine)ln(tansinxxyxx)(tantan1sin)ln(tancos)(tansinxxxxxxxcossincos)ln(tancos)(tansinxxxxxxxxxxxxxcos)sin(sincos)ln(tan)(tancos2sin.cos1)ln(tan)(tancossinxxxxx（4）].3,2[,6,3,2,622xxxxxxy).,3()2,(,12),3,2(,12xxxxy当3,2x时y不存在．说明：求)()(xQxPy（其中)()(xQxP、为多项式）的导数时，若)(xP的次数不小于)(xQ的次数，则由多项式除法可知，存在)()(xRxS、，使)()()()(xRxSxQxP．从而)()()()()(xQxRxSxRxP，这里)()(xRxS、均为多项式，且)(xR的次数小于)(xQ的次数．再求导可减少计算量．对函数变形要注意定义域．如)1ln()1lg(xxy，则定义域变为),1(x，所以虽然)1ln()1ln(xxy的导数1211112xxxx与xxy11ln的导数12)1()1()1(11111122xxxxxxxxxxx结果相同，但我们还是应避免这种解法．函数求导法则的综合运用例求下列函数的导数：1．21xxy；2．xexxy22)32(；3．3223xxy；4．.13xxy分析：式中所给函数是几个因式积、商、幂、开方的关系．对于这种结构形式的函数，可通过两边取对数后再求导，就可以使问题简单化或使无法求导的问题得以解决．但必须注意取寻数时需要满足的条件是真数为正实数，否则将会出现运算失误．解：1．取y的绝对值，得12xxy，两边取寻数，得.1ln21lnln2xxy根据导数的运算法则及复合函数的求导法则，两端对x求导，得)1(12)1(2211222xxxxxxyy，∴.112)1(121)1(122222222xxxxxxxxxxyy2．注意到0y，两端取对数，得.2)32ln(ln)32ln(ln222xxxexxyx∴32)2(223222232)32(122222xxxxxxxxxxxyy∴xexxxxxxyxxxxy222222)32(32)2(232)2(2.)2(222xexx3．两端取对数，得32ln23lnlnxxy，两端对x求导，得.)32)(23(1332223332)32(23)23(1xxxxxxxxyy4．两端取对数，得)1ln(ln31lnxxy，两边对x求导，得.)1(131)111(311xxxxyy∴.1)1(31)1(1313xxxxyxxy说明：对数求导法则实质上是复合函数求导法则的应用．从多角度分析和探索解决问题的途径，能运用恰当合理的思维视力，把问题的隐含挖掘出来加以利用，会使问题的解答避繁就简，化难为易，收到出奇制胜的效果．解决这类问题常见的错误是不注意yln是关于x的复合函数．指对数函数的概念揭示了各自存在的条件、基本性质及其几何特征，恰当地引入对数求导的方法，从不同的侧面分析转化，往往可避免繁琐的推理与运算，使问题得以解决．