求指数、对数函数的导数例求下列函数的导数:1.1ln2xy;2.)132(log22xxy;3.)sin(baxey;4.).12cos(3xayx分析:对于比较复杂的函数求导,除了利用指数、对数函数求导公式之外,还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行.求导过程中,可以先适当进行变形化简,将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数.解:1.解法一:可看成1,,ln2xvvuuy复合而成..1112)1(2111)2(211222212221xxxxxxxxxvuvuyyxvux解法二:)1(111ln222xxxy.12112111)1()1(211122222122xxxxxxxx解法三:)1ln(211ln22xxy,.1122)1(1121)1ln(2122222xxxxxxxy2.解法一:设132,log22xxuuy,则)34(log12xeuuyyxux.132log)34()34(132log2222xxexxxxe解法二:)132(132log)132(log22222xxxxexxy.132log)34()34(132log2222xxexxxxe3.解法一:设baxvvueyu,sin,,则)sin()cos(cosbaxuxvuxebaxaaveuuyy解法二:)sin()sin()sin(baxeeybaxbax)sin()sin()cos()()cos(baxbaxebaxabaxbaxe4.])12cos([3xayx)].12sin(2)12cos(ln3[)12sin(2)12cos(ln3)12)](12sin([)12cos()3(ln])12[cos()12cos()(3333333xxaaxaxaaxxaxxaaxaxaxxxxxxx说明:深刻理解,掌握指数函数和对数函数的求导公式的结构规律,是解决问题的关键,解答本题所使用的知识,方法都是最基本的,但解法的构思是灵魂,有了它才能运用知识为解题服务,在求导过程中,学生易犯漏掉符合或混淆系数的错误,使解题走入困境.解题时,能认真观察函数的结构特征,积极地进行联想化归,才能抓住问题的本质,把解题思路放开.变形函数解析式求导例求下列函数的导数:(1)12223xxxxy;(2)xxy11ln;(3)xxysin)(tan;(4)62xxy.分析:先将函数适当变形,化为更易于求导的形式,可减少计算量.解:(1).12122223xxxxxxxxy222222)1(11)1()12(11xxxxxxxxxy.(2))]1ln()1[ln(21xxy,.11)1)(1(11211111212xxxxxxxy(3))ln(tansinexxy])ln(tan[sine)ln(tansinxxyxx)(tantan1sin)ln(tancos)(tansinxxxxxxxcossincos)ln(tancos)(tansinxxxxxxxxxxxxxcos)sin(sincos)ln(tan)(tancos2sin.cos1)ln(tan)(tancossinxxxxx(4)].3,2[,6,3,2,622xxxxxxy).,3()2,(,12),3,2(,12xxxxy当3,2x时y不存在.说明:求)()(xQxPy(其中)()(xQxP、为多项式)的导数时,若)(xP的次数不小于)(xQ的次数,则由多项式除法可知,存在)()(xRxS、,使)()()()(xRxSxQxP.从而)()()()()(xQxRxSxRxP,这里)()(xRxS、均为多项式,且)(xR的次数小于)(xQ的次数.再求导可减少计算量.对函数变形要注意定义域.如)1ln()1lg(xxy,则定义域变为),1(x,所以虽然)1ln()1ln(xxy的导数1211112xxxx与xxy11ln的导数12)1()1()1(11111122xxxxxxxxxxx结果相同,但我们还是应避免这种解法.函数求导法则的综合运用例求下列函数的导数:1.21xxy;2.xexxy22)32(;3.3223xxy;4..13xxy分析:式中所给函数是几个因式积、商、幂、开方的关系.对于这种结构形式的函数,可通过两边取对数后再求导,就可以使问题简单化或使无法求导的问题得以解决.但必须注意取寻数时需要满足的条件是真数为正实数,否则将会出现运算失误.解:1.取y的绝对值,得12xxy,两边取寻数,得.1ln21lnln2xxy根据导数的运算法则及复合函数的求导法则,两端对x求导,得)1(12)1(2211222xxxxxxyy,∴.112)1(121)1(122222222xxxxxxxxxxyy2.注意到0y,两端取对数,得.2)32ln(ln)32ln(ln222xxxexxyx∴32)2(223222232)32(122222xxxxxxxxxxxyy∴xexxxxxxyxxxxy222222)32(32)2(232)2(2.)2(222xexx3.两端取对数,得32ln23lnlnxxy,两端对x求导,得.)32)(23(1332223332)32(23)23(1xxxxxxxxyy4.两端取对数,得)1ln(ln31lnxxy,两边对x求导,得.)1(131)111(311xxxxyy∴.1)1(31)1(1313xxxxyxxy说明:对数求导法则实质上是复合函数求导法则的应用.从多角度分析和探索解决问题的途径,能运用恰当合理的思维视力,把问题的隐含挖掘出来加以利用,会使问题的解答避繁就简,化难为易,收到出奇制胜的效果.解决这类问题常见的错误是不注意yln是关于x的复合函数.指对数函数的概念揭示了各自存在的条件、基本性质及其几何特征,恰当地引入对数求导的方法,从不同的侧面分析转化,往往可避免繁琐的推理与运算,使问题得以解决.