直线的方程测试卷

典型例题一例1直线l过点P（－1，3），倾斜角的正弦是54，求直线l的方程．分析：根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切，注意有两解．解：因为倾斜角的范围是：0又由题意：54sin，所以：34tan，直线过点P（－1，3），由直线的点斜式方程得到：1343xy即：01334yx或0534yx．说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在计算中，要注意当不能判断倾斜角的正切时，要保留斜率的两个值，从而满足条件的解有两个．典型例题二例2求经过两点A（2，m）和B（n，3）的直线方程．分析：本题有两种解法，一是利用直线的两点式；二是利用直线的点斜式．在解答中如果选用点斜式，只涉及到n与2的分类；如果选用两点式，还要涉及m与3的分类．解：法一：利用直线的两点式方程∵直线过两点A（2，m）和B（n，3）（1）当3m时，点A的坐标是A（2，3），与点B（n，3）的纵坐标相等，则直线AB的方程是3y；（2）当2n时，点B的坐标是B（2，3）,与点A（2，m）的横坐标相等，则直线AB的方程是2x；（3）当3m，2n时，由直线的两点式方程121121xxxxyyyy得：223nxmmy法二：利用直线的点斜式方程（1）当2n时，点BA,的横坐标相同，直线AB垂直与x轴，则直线AB的2x；（2）当2n时，过点BA,的直线的斜率是23nmk，又∵过点A（2，m）∴由直线的点斜式方程11xxkyy得过点BA,的直线的方程是：223xnmmy说明：本题的目的在于使学生理解点斜式和两点式的限制条件，并体会分类讨论的思想方法．典型例题三例3把直线方程00ABCcByAx化成斜截式______，化成截距式______．分析：因为0ABC，即0A，0B，0C，按斜截式、截距式的形式要求变形即可．解：斜截式为BCxBAy，截距式为ACx+BCY＝1说明：此题考查的是直线方程的两种特殊形式：斜截式和截距式．典型例题四例4直线023cosyx的倾斜角的取值范围是_____________．分析：将直线的方程化为斜截式，得出直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系，得出关于的一个三角不等式即可．解：已知直线的方程为323cosxy，其斜率3cosk．由313cosk，得31tan，即33tan33．由,0，得),65[6,0．说明：解题易得出错误的结果6,6，其原因是没有注意到倾斜角的取值范围．典型例题五例5直线l经过点)2,3(，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．分析：借助点斜式求解，或利用截距式求解．解法一：由于直线l在两轴上有截距，因此直线不与x、y轴垂直，斜率存在，且0k．设直线方程为)3(2xky，令0x，则23ky，令0y，则kx23．由题设可得kk2323，解得1k或32k．所以，l的方程为)3(2xy或)3(322xy．故直线l的方程为05yx或032yx．解法二：由题设，设直线l在x、y轴的截距均为a．若0a，则l过点)0,0(，又过点)2,3(，∴l的方程为xy32，即l：032yx．若0a，则设l为1ayax．由l过点)2,3(，知123aa，故5a．∴l的方程05yx．综上可知，直线l的方程为032yx或05yx．说明：对本例，常见有以下两种误解：误解一：如下图，由于直线l的截距相等，故直线l的斜率的值为1．若1k，则直线方程为32xy；若1k，则直线方程为)3(2xy．故直线方程为01yx或05yx．误解二：由题意，直线在两轴上的截距相等，则可设直线方程为1ayax．由直线过点)2,3(，得123aa，即5a，也即方程为05yx．在上述两种误解中，误解一忽视了截距的意义，截距不是距离，它可正可负，也可以为0．显见，当1k时，直线01yx的两轴上的截距分别为1和－1，它们不相等．另外，这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为0的这种特殊情形．误解二中，没有注意到截距式方程的适用范围，同样也产生了漏解．典型例题六例6已知在第一象限的ABC中，)1,1(A、)1,5(B，3A，4B，求：(1)AB边的方程；(2)AC和BC所在直线的方程．分析：(1)当直线与x轴平行时或垂直时，不能用两点式求直线的方程．(2)由图可知AC、BC的斜率，根据点斜式方程即可得出结果．解：(1)如图，AB的方程为1y)51(x．(2)由AB∥x轴，且ABC在第一象限知AC的斜率33tanACk，BC的斜率1)4tan(BCk．所以，AC边所在直线的方程为)1(31xy，即0313yx．BC边所在直线的方程为)5(11xy，即06yx．说明：(1)AB边是一条线段，要注意变量x的取值范围．(2)解题中，要注意画出图形，便于直观地得到所求直线所具备的条件．典型例题七例7若ABC的顶点)4,3(A，)0,6(B，)2,5(C，求A的平分线AT所在的直线的方程．分析：两个条件确定一条直线．要求AT的方程，已知点A的坐标，只要再找出AT的斜率或点T的坐标就可以了．在三角形中，A的平分线有下列性质：(1)TABCAT；(2)AT上任一点到两边AB、AC的距离相等；(3)ABCATBCT．用其中任何一个性质，都可以确定第二个条件．解法一：∵10)24()53(22AC，54)63(22AB，∴T分BC所成的比为2ABACTBCT．设T的坐标为),(yx，则：3721625x，3221022y，即)32,37(T．由两点式得AT的方程为3733732432xy，即0177yx．解法二：直线AC到AT的角等于AT到AB的角，43)5(3)2(4ACk，346304ABk．设AT的斜率为k(34k或34k)，则有kkkk)43(14343143．解得7k或71k（舍去）．∴直线AT的方程为)3(74xy，即0177yx．解法三：设直线AT上动点),(yxP，则P点到AC、AB的距离相等，即：574352434yxyx，∴037yx或0177yx结合图形分析，知037yx是ABC的角A的外角平分线，舍去．所以所求的方程为0177yx．说明：(1)确定不同条件下的直线方程是高考的重要内容，其方法主要是待定系数法（如解法一、解法二）和轨迹法（如解法三）．要熟练掌握直线方程各种形式间的相互转化．点斜式是直线方程最重要的一种形式，要加强这方面的训练．(2)解法三涉及到后面将要学到的知识．这里先把它列出来，作为方法积累．典型例题八例8求过点)4,5(P且分别满足下列条件的直线方程：(1)与两坐标轴围成的三角形面积为5；(2)与x轴和y轴分别交于A、B两点，且53∶∶BPAP．分析：对于(1)，既可借助于截距式求解，也可以利用点斜式来求解；对于(2)，利用截距式求解较为简便．解法一：设所求的直线方程为1byax．由直线过点)4,5(P，得145ba，即abba54．又521ba，故10ab．联立方程组,10,54ababba解得425ba或25ba．故所求直线方程为1425yx和125yx，即：02058yx和01052yx．解法二：设所求直线方程为)5(4xky，它与两坐轴的交点为)0,54(kk，)45,0(k．由已知，得5544521kkk，即kk10)45(2．当0k时，上述方程可变成01650252kk，解得58k，或52k．由此便得欲求方程为02058yx和01052yx．(2)解：由P是AB的分点，得53PBAP．设点A、B的坐标分别为)0,(a，),0(b．当P是AB的内分点时，53．由定比分点公式得8a，332b．再由截距式可得所求直线方程为03234yx．当点P是AB的外分点时，53．由定比分点公式求得2a，38b．仿上可得欲求直线方程为0834yx．故所求的直线方程为03234yx，或0834yx．说明：对于(1)，应注意对题意的理解，否则，就较易得到abba54，且10ab，从而遗漏了10ab的情形；对于(2)，应当区分内分点与外分点两种不同的情形．必要时，可画出草图直观地加以分析，防止漏解．求直线的方程时，除应注意恰当地选择方程的形式外，还应注意到不同形式的方程的限制条件．如点斜式的限定条件是直线必须存在斜率；截距式的限定条件为两轴上的截距都存在且不为0；两点式的限定条件是直线不与x轴垂直，也不与y轴垂直．除此以外，还应注意直线方程形式之间的相互转化．典型例题九例9已知两直线0111ybxa和0122ybxa的交点为)3,2(P，求过两点),(11baQ、),(22baQ的直线方程．分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答．解法一：∵)3,2(P在已知直线上，∴013201322211baba∴0)(3)(22121bbaa，即322121aabb．故所求直线方程为)(3211axby．∴0)32(3211bayx，即0132yx．解法二：∵点P在已知直线上，∴013201322211baba可见),(111baQ、),(222baQ都满足方程0132yx，∴过1Q、2Q两点的直线方程为0132yx．说明：解法二充分体现了“点在直线上，则点的坐标满足直线方程；反之，若点的坐标满足方程，则直线一定过这个点”．此解法独特，简化了计算量，能培养学生的思维能力．典型例题十例10过点)4,1(P引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，求这条直线方程．分析：利用直线方程的点斜式，通过两截距之和最小求出直线的斜率，从而求出直线方程．或借助直线方程的截距式，通过两截距之和最小，求出直线在两轴上的截距，从而求出直线的方程．解法一：设所求的直线方程为)1(4xky．显见，上述直线在x轴、y轴上的截距分别为k41、k4．由于041k，且04k可得0k．直线在两坐标轴上的截距之和为：945)4()(5)4()41(kkkkS，当且仅当kk4，即2k时，S最小值为9．故所求直线方程为)1(24xy，即062yx．解法二：设欲求的直线方程为1byax(0a，0b)．据题设有141ba，①令baS．②①×②，有94545)41)((baabbabaS．当且仅当baab4时，即ba2，且141ba，也即3a，6b时，取等号．故所求的直线方程为163yx，即062yx．说明：在解法一中，应注意到0k这个隐含条件．否则，由)4(5kkS，将很有可能得出错误的结果．如145)4(5kkS，145)4(5kkS等等．在解法二中，应注意运算过程中的合理性，即讲究算理，不然，将会使运算过程不胜其繁．如采取下述方法：由①，用a来表示b，再代入②中，把S化归成a的函数．从解题思维方法上说无可厚非，但这种方法将使运算难度陡然增加．不如保持本质、顺其自然好．典型例题十一例11已知523ba，其中a、b是实常数，求证：直线010byax必过一定点．分析与解：观察条件与直线方程的相似之处，可把条件变形为