圆的方程

学科：数学教学内容：圆的方程【基础知识精讲】1.圆的方程：三个独立条件确定一个圆，根据已知条件可用待定系数法求圆的方程时，如果已知圆心或半径，或圆心到某直线的距离，通常用圆的标准方程，如果已知圆经过某些点，通常可用一般式.学习圆的方程，要正确掌握几何性质.和对应条件：(1)x2+y2+Dx+Fy=0或(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(2)圆心在xx2+y2+Dx+F=0(D2-4F＞0)或(x-a)2+y2=r2(3)圆心在yx2+y2+Ey+F=0(E2-4F＞0)或x2+(y-b)2=r2(4)圆心在x轴上，且与yx2+y2+px=0，或(x-a)2+y2=a2(5)圆心在y轴上，且与xx2+y2+Ey=0或x2+(y-b)2=b22.直线和圆的位置关系直线与圆心位置关系的判断方法有两种：(1)判别式法(代数法)：将直线和圆的方程联立得到一个关于x、y的二元二次方程组，消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程，则△＞0直线和圆相交(有两个公共点)△=0直线和圆相切(有一个公共点)△＜0直线和圆相离(无公共点)若涉及到弦长等问题，则可结合韦达定理进一步解决.(2)几何法：设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r，则d＜r直线与圆相交(有两个公共点)d=r直线与圆相切(有一个公共点)d＞r直线与圆相离(无公共点)若涉及到弦长等问题，则可抓住圆心到直线的距离d、圆的半径r、弦长的一半l三者组成的直角三角形解决.3.圆与圆的位置关系，设两个圆的半径分别为R、r，圆心距为d,则(1)两个圆外离d＞R+r(2)两个圆外切d=R+r(3)两个圆相交｜R-r｜＜d＜R+r(4)两个圆内切d=｜R-r｜(5)两个圆内含0≤d＜｜R-r｜4.圆系方程：(1)过直线l:Ax+By+C=0和圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的公共点的圆的方程可以写作(Ax+By+C)+λ(x2+y2+Dx+Ey+F)=0；(2)过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F2=0和圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的公共点的圆(除C2外)的方程可以写成(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0.特殊地，令λ=-1即得过两个圆的公共点的直线的方程：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.5.圆的参数方程：圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为6.应用代入法、几何法、参数法等方法求与圆有关的轨迹问题.本节学习方法：(1)数形结合的思想方法；(2)充分利用圆的几何性质，简化计算；(3)循序渐近的学习方法.【重点难点解析】同学们现在所学习的圆与初中所学习的圆是一样的，也就是说，圆的几何性质仍然成立.所不同的是现在我们把圆放到平面直角坐标系中去研究.这就需要大家在学习本节时，先复习圆的几何意义，几何性质，要复习曲线与方程的概念，从而学习“圆的方程”这一节内容.例1求经过点A(-2，-4)且与直线l:x+3y-26=0相切于点B(8，6)的圆的方程.分析一设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0则整理得363100682042EDFEDFED解得D=-11,E=3,F=-30分析二设圆心C(a,b)且圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2∵｜CA｜=｜CB｜,CB⊥l解得a=211,b=-23从而r=2125故所求的方程的(x-211)2+(y+23)2=2125分析三设圆心为C，则CB⊥l，∴CB的方程为y-6=3(x-8),即3x-y+18=0，又AB的垂直平分线的方程为x+y-4=0联立04)23,211(0183yxCyx　　　得圆心∴半径r=22)623()8211(=2125∴所求圆的方程为(x-211)2+(y+23)2=2125例2当m为何值时，直线mx-y-m-1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0相交，相切、相离.分析一(判别式法)将y=mx-m-1代入圆的方程化简整理得：(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0∵△=4m(3m+4)当△=0时，得m=0或m=-34时，直线与圆相切.当△＞0时,得m＞0或m＜-34时，直线与圆相交.当△＜0时，得-34＜m＜0时，直线与圆相离.分析二(几何法)由已知得圆心坐标为(2，1)半径r=2，圆心(2，1)到直线mx-y-m-1=0的距离d=21112mmm=212mm当d=2时，即m=0或m=-34时，相切当d＞2时，即-34＜m＜0时，相离当d＜2时，即m＞0或m＜-34时，相交例3已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R)(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交.(2)求直线l被圆C截得的弦长最短的长度及此时的直线方程.分析若按常规思路只须证圆心O(1，2)到直线l的距离恒小于半径即可.但注意到直线l的方程可变形为x+y-4+m(2x+y-7)=0，则可知直线l恒过定点(3，1)，如果该定点在圆内，问题即可解决，事实上(3-1)2+(1-2)2=5＜25∴点(3，1)在圆内这样，不论m为何实数，直线l与圆恒相交.(2)由(1)的结论可知直线l过定点M(3，1)，且与过此点的圆O的半径垂直时，l被圆所截的弦长｜AB｜最短.∵｜MO｜=22)21()13(=5且r=5∴弦长=2·525=45此时kl=-OMk1∴-112mm=-31121=2∴m=-43代入直线l得方程2x-y-5=0例4求两圆C1：x2+y2+2x+6y+9＝0和C2:x2+y2-6x+2y+1=0的公切线方程.分析要确定公切线的条数，应先判断两圆的位置关系，圆C1的圆心O1(-1,-3),半径r1=1，圆C2的圆心O2(3，-1)，半径r2=3∵｜O1O2｜=25＞4=r1+r2∴两圆相离，公切线有四条.设公切线的交点为M(x0,y0)(1)外公切线点M分有向线段O2O1的比为λ=12MOMO=-21rr=-3由定比分点公式得4300yx设两圆外公切线方程为y+4=k(x+3)即kx-y+3k-4=0由圆心O1（-1，-3）到其距离为1得143)3()1(2kkk=1即有k=0或k=34.∴两圆的外公切线方程为y+4=0和4x-3y=0(2)内公切线点M（x0,y0）分有向线段O2O1的比为λ′=12MOMO=21rr=-3由定比分点公式得2531)3(31031)1(3300yx设两圆内公切线方程为y+25=kx即2kx-2y-5=0由点O1(-1，-3)到其距离为1得244562kk=1解得k=-34∴切线方程为3x+4y+10=0但由两圆外离，公切线应为4条，说明另一条公切线斜率不存在，则它的方程为x=0.【难题巧解点拨】例1求过两圆x2+y2+4x-3=0与x2+y2-4y-3=0的交点，且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.分析一般思路是先求出两交点坐标，再结合圆心在直线上，由这三个条件求圆的方程.但计算量较大.可以考虑过两圆交点的圆系方程可设为(x2+y2+4x-3)+λ(x2+y2-4y-3)=0(λ为参数且λ≠-1)整理得圆心坐标为(-12，12)又∵圆心在直线2x-y-4=0上代入得：-14-12-4=0解得λ=-34代入整理即得所求圆的方程为x2+y2-12x-16y-3=0.例2已知定点A(3，0)和B(0，4)，P是△AOB内切圆上的动点(O是原点)，求｜PA｜2+｜PB｜2+｜PO｜2的最大，最小值.解：本题可直接设P点坐标为(x0,y0),先求出内切圆心方程.再结合P点满足圆的方程代入求其最大.最小值.也可采用参数法求解：由已知｜AO｜=3，｜BO｜=4，则｜AB｜=5.设△AOB的内切圆半径为r，则r=25432ABBOAO=1故△AOB的内切圆方程为(x-1)2+(y-1)2=1因此可设P点坐标为(1+cosθ,1+sinθ)，有｜PA｜2+｜PB｜2+｜PO2｜=(2-cosθ)2+(1+sinθ)2+(1+cosθ)2+(3-sinθ)2+(1+cosθ)2+(1+sinθ)2=20-2sinθ∵-1≤sinθ≤1∴18≤20-2sinθ≤22∴｜PA｜2+｜PB｜2+｜PO｜2的最大值是22，最小值是18.例3已知圆O：x2+y2=4，与点A(4，0)，过A点作圆O的割线交圆O于B、C两点，求BC中点M的轨迹方程.解法一：(定义法)因为BC为圆O的弦，M为弦BC的中点，由垂线定理得OM⊥BC，即OM⊥MA.∴M点在以OA为直径的圆上.又OA的中点为(2，0)，｜OA｜=4.所以点M所在圆心方程为(x-2)2+y2=4.因为ABC是割线，故M点的轨迹是此圆在圆O内部的一段弧.将方程x2+y2=4的两边减去方程(x-2)2+y2=4得x=1,∴M点的轨迹方程为(x-2)2+y2=4(0≤x＜1)解法二：(直接法)设M点的坐标为(x,y)(1)当x≠0时，kOM=xy,kBC=kMA=4xy由解法一知DM⊥MA，∴kOM·kBC=-1即xy·4xy=-1，化简得x2-4x+y2=0(2)当x=0时，易知M的坐标为(0，0)，它满足上述方程，∴结合解法一知点M的轨迹方程为x2-4x+y2=0(0≤x＜1＝解法三：(点差法)设M点的坐标为(x,y)，B、C的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则有③-④得x21-x22+y21-y22=0即(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0∵x1≠x2(否则B与C会重合)∴x1+x2+(y1+y2)·2121xxyy=0⑤又∵A、M、B、C共线，∴kBC=kMA=4xy⑥将①②、⑥代入⑤得2x+2y·4xy=0化简得x2+y2-4x=0同法一得0≤x＜1.即所求的轨迹方程为x2+y2-4x=0(0≤x＜1)解法四：(几何法)∵OM⊥MA，∴｜OM｜2+｜MA｜2=｜OA｜2即x2+y2+(x-4)2+y2=16即x2+y2-4x=0同解法一得0≤x＜1∴所求轨迹方程的x2+y2-4x=0(0≤x＜1)例4已知定点A(4，0)和圆x2+y2=4上的动点B，点P分AB之比为2∶1，求点P的轨迹方程.解：(代入法)设动点P(x,y)及圆上点B(x0,y0)∵λ=PBAP=2∴212212300yyxx于是yyxx2344300代入圆方程x2+y2=4，得(243x)2+49y2=4∴P点的轨迹方程为(x-34)2+y2=916【课本难题解答】教材第82页，习题7.79.答：(1)2x-y-7＝0;(2)(x-1)2+(y+1)2＝2510.答：sin22cot2cos2yx(0θπ)，θ为参数【典型热点考题】例1设圆满足①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的方程.分析首先求出满足条件①、②的圆的圆心轨迹方程；然后求出圆心到直线x-2y=0的最小距离，最后列出满足圆心坐标与半径r的方程组，确定圆的方程.解法一：设圆的圆心为P(a,b)，半径为r，则P点到x轴，y轴的距离分别为｜b｜,｜a｜.由条件②知圆P被x轴截得的劣弧所对的圆心角为90°，从而圆P截x轴所得的弦长为2r.∴r2=(2｜b｜)2=2b2又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r=221a,∴r2=a2+1∴圆心P的坐标为(a,b)满足方程2b2-a2=1，又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为d=52ba所以5d2=｜a-2b｜2=a2+4b2-4ab≥(a2+4b2)-2(a2+b2)=2b2-a2=1当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1,从而d取最小值.由此有2222212brabba解