通州市高中毕业生四月模拟考试数学试题及答案

图2通州市2010届高中毕业生四月模拟考试数学试卷通州市教育科学研究院命制2010年4月注意事项1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目、试卷类型等写在答题纸上，并贴好条形码。2主观题请在规定区域答题。请务必保持答题纸的整洁，不要折叠，考试结束，将答题纸交回。一、填空题：（每小题5分，共70分）1．复数21ii等于▲.2．对于集合M、N，定义,MNxxMxN且，MNMNNM．设23Attxx，lgBxyx，则AB为▲.3．若3sin5，且是第二象限角，则tan▲．4．设0,0,1xyxy且，则xy的最大值为▲．5．在△ABC中，若∠B=120°，AB=1，BC=2，则AC=▲．6．设向量3,2a，1,2b，若ab与a垂直，则实数▲．7．直线20xym与圆225xy相切，则m的值为▲．8．图1是某次歌咏比赛中，七位评委为某参赛选手打出分数的茎叶图．去掉一个最高分，再去掉一个最低分，则所剩数据的平均数和方差分别为▲．9．执行图2所示的程序，输出的结果为20，则判断框中应填入的条件为▲．高三数学试卷第1页（共4页）10.如图所示，墙上挂有一长为2宽为2的矩形木板ABCD，它的阴影部分是由sinyx，5,22x的图象和直线1y围成的图形，某人向此板投飞镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每一点的可能性相同，则他击中阴影部分的概率是▲．11．设na是等差数列，若54a，则其前9项的和9S=▲．12．已知幂函数yfx的图象经过点12,2，则12f的值为▲．13．已知数列na满足11a，1231111231nnaaaaan2,nnN≥，则2010au▲.14．已知221log1axaxfxxxa≥是R上的增函数，则a的取值范围是▲．二、解答题：（共90分）15．(本小题满分14分)已知函数22cos2sincosfxxxx．（Ⅰ）求fx的最小正周期；（Ⅱ）求fx的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图4，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E、F分别是PC、PD的中点，求证：（Ⅰ）EF∥平面PAB；（Ⅱ）平面PAD⊥平面PDC．高三数学试卷第2页（共4页）7984464793图1PABMl··17．(本小题满分15分)已知定点A、B间的距离为2，以B为圆心作半径为22的圆，P为圆上一点，线段AP的垂直平分线l与直线PB交于点M，当P在圆周上运动时，点M的轨迹记为曲线C．(1)建立适当的坐标系，求曲线C的方程，并说明它是什么样的曲线；(2)试判断l与曲线C的位置关系，并加以证明．18.(本小题满分15分)高考资源网数列na的各项均为正数，nS为其前n项和，对于任意*Nn，总有2,,nnnaSa成等差数列．（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb的前n项和为nT，且2lnnnnaxb，求证：对任意实数ex,1（e是常数，e＝2．71828）和任意正整数n，总有nT2；（3）正数数列nc中，)(,*11Nncannn．求数列nc中的最大项．高三数学试卷第3页（共4页）19．(本小题满分16分)时值5月，荔枝上市．某市水果市场由历年的市场行情得知，从5月10日起的60天内，荔枝的售价S(t)(单位：元／kg)与上市时间t(单位：天)的关系大致可用如图1所示的折线ABCD表示，每天的销售量M(t)(单位：吨)与上市时间t(单位：天)的关系大致可用如图2所示的抛物线段OEF表示，其中O为坐标原点，E是抛物线的顶点．（1）请分别写出S(t)，M(t)关于t的函数关系式；（2）在这60天内，该水果市场哪天的销售额最大？20.(本小题满分16分)已知函数22sin221)(xaxxf和函数xxgln)(，记)()()(xgxfxF．（1）当3时，若)(xf在]2,1[上的最大值是)2(f，求实数a的取值范围；（2）当1a时，判断)(xF在其定义域内是否有极值，并予以证明；（3）对任意的)32,6[，若)(xF在其定义域内既有极大值又有极小值，试求实数a的取值范围．高三数学试卷第4页（共4页）S(元)1065O10204060t(天)ABCD图1M(吨)2O104060t(天)10FE图2通州市2010届高中毕业生四月模拟考试数学试题参考答案及评分细则通州市教育科学研究院命制2010年4月一、填空题：（每小题5分，共70分）1.1i2904xxx或≥343441576.13758.85，1.69..a≥410.1211.3612.1213.1005．14.,215.（Ⅰ）xxxxfcossin2cos221cossin21cos22xxx12sin2cosxx2分142sin2x4分∴xf的最小正周期22T．7分（Ⅱ）令224222kxk10分解得，883kxk，13分∴xf的单调增区间Zkkk8,83．14分16．（Ⅰ）∵E、F分别是PC、PD的中点，∴EF∥CD．2分∵底面ABCD是矩形，∴CD∥AB．∴EF∥AB．4分又AB平面PAB，EF平面PAB，∴EF∥平面PAB．7分（Ⅱ）∵ABCDPA底面，ABCDCD底面∴CDPA．8分∵底面ABCD是矩形，CDAD．10分又PADADPADAPAADPA面面,,，∴PADDC平面．12分∵PDCDC平面，∴平面PDCPAD平面．14分17.解(1)以AB中点为坐标原点，直线AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0).设M(x,y),由题意：|MP|=|MA|,|BP|=22，所以|MB|+|MA|=22.故曲线C是以A、B为焦点，长轴长为22的椭圆，其方程为x2+2y2=2.(2)直线l与曲线C的位置关系是相切.高考资源网证法一：由(1)知曲线C方程为x2+2y2=2，设P(m,n)，则P在⊙B上，故(m－1)2+n2=8，即m2+n2=7+2m.当P、A、B共线时，直线l的方程为x=±2，显然结论成立.当P、A、B不共线时，直线l的方程为：11()22nmmyxn,整理得，13.mmyxnn把直线l的方程代入曲线C方程得：22132()2mmxxnn，整理得22222[2(1)]4(1)(3)2(3)20.nmxmmxmn222222222[4(1)(3)]4[2(1)][2(3)2]8[(3)2(1)]mmnmmnnmnm2228[27]0.nmnm∴直线l与曲线C相切.(说明：以A或B为原点建系亦可)证法二：在直线l上任取一点M'，连结M'A,M'B,M'C，由垂直平分线的性质得||||M'AM'P，∴||||||||||22M'AM'BM'PM'BPB(当且仅当M、M'重合时取“=”号)∴直线l与椭圆C有且仅有一个公共点M.结论得证18.（1）解：由已知：对于*Nn，总有22nnnSaa①成立∴21112nnnSaa（n≥2）②①--②得21122nnnnnaaaaa∴111nnnnnnaaaaaa∵1,nnaa均为正数，∴11nnaa（n≥2）∴数列na是公差为1的等差数列又n=1时，21112Saa，解得1a=1高考资源网∴nan．（*Nn）（2）证明：∵对任意实数ex,1和任意正整数n，总有2lnnnnaxb≤21n．∴nnnTn1132121111211122221211131212111nnn（3）解：由已知221212cca，54545434343232355,244,33ccaccacca易得12234,...ccccc猜想n≥2时，nc是递减数列．FEPDABC令22ln1ln1,lnxxxxxxxfxxxf则∵当.00ln1,1ln3xfxxx，即则时，∴在,3内xf为单调递减函数．由11lnln11nnccannnn知．∴n≥2时，ncln是递减数列．即nc是递减数列．又12cc，∴数列nc中的最大项为323c．函数20.(本小题满分16分)解：（1）3时，xaxxf2321)(2．①当0a时，xxf23)(，不合题意；②当0a时，xaxxf2321)(2在]23,(a上递增，在),23[a上递减，而),23[]2,1[a，故不合题意；高考资源网③当0a时，xaxxf2321)(2在]23,(a上递减，在),23[a上递增，)(xf在]2,1[上的最大值是)2()}2(),1(max{fff，所以)2()1(ff，即322321aa，所以1a．综上所述，实数a的取值范围是),1[．（2）1a时，xxxxFlnsin221)(22定义域为),0(，0cos2sin22sin21)(222/xxxF．①当0cos时，0)(/xF，)(xF在),0(上单调递增，从而)(xF在其定义域内没有极值；②当0cos时，xxxxxF2/)1(21)(，令0)(/xF有1x，但是)1,0(x时，0)(/xF，)(xF单调递增，),1(x时，0)(/xF，)(xF也单调递增，所以)(xF在其定义域内也没有极值．综上，)(xF在其定义域内没有极值．（3）据题意可知，令0sin21)(2/xaxxF，即方程01sin222xax在),0(上恒有两个不相等的实数根．即004sin44aa恒成立，因为)32,6[，]1,21[sin，所以1610a．