苏北四市高三二模数学卷及答案

苏北四市2010届高三第二次调研考试数学I注意事项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题(第1题。第l4题)、解答题(第15题～第20题)两部分。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸的规定位置。3．请在答题纸上按照题号顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。5．请保持答题纸卷面清洁，不要折叠、破损。参考公式：(1)样本数据x1，x2，…，xn的方差s2=n121)(xxnii，其中x=n1niix1(2)锥体的体积公式V=31Sh，其中S为锥体底面积，h为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知集合A={0，2，α²}，B={1，α}，若A∪B={0，1，2,4}，则实数α的值为▲．2．已知复数z=(2-i)i(i是虚数单位)，则|z|=▲．3．已知向量α=(6，2)，b=(一3，k)，若α∥b，则实数k等于▲．4．一个算法的流程图如图所示，则输出的S的值为▲．二、解答题：本大题共6小题．第15题～第17题每题4分，第18题～第20题每题16分，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文宇说明，证明过程或演算步骤。15．(本小题满分14分)16．(本小题满分14分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱BC的中点，求证：(1)AD⊥C1D；(2)A1B∥平面ADC1．17．(本小题满分14分)徐州市2009—2010学年度高三第二次调研考试数学Ⅱ(附加题)注意事项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，均为解答题(第21题～第23题)。试卷满分40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸的规定位置。3．请在答题纸上按照题号顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。5．请保持答题纸卷面清洁，不要折叠、破损。21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题．．．．．．．每小题l0分．共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4-1：几何证明选讲如图，在△ABC中，D是AC中点，E是BD三等分点，AE的延长线交口BC于F，求DEFCBEF四边形SS的值．B．选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M=1210，求矩阵M的特征值及其相应的特征向量．【必做题】第22题、第23题．每题l0分．共计20分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本题满分l0分)某电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关，闯关者闯第一关成功得3分，闯第二关成功得3分，闯第三关成功得4分．现有一位参加游戏者单独面第一关、第二关、第三关成功的概率分别为21，31，41，记该参加者闯三关所得总分为ζ．(1)求该参加者有资格闯第三关的概率；(2)求ζ的分布列和数学期望．23．(本题满分l0分)如图，已知抛物线M：x2=4py(p＞0)的准线为ι，N为ι上的一个动点，过点N作抛物线M的两条切线，切点分别为A，B，再分别过A，B两点作ι的垂线，垂足分别为C，D．(1)求证：直线AB必经过y轴上的一个定点Q，并写出点Q的坐标；(2)若△ACN，△BDN，△ANB的面积依次构成等差数列，求此时点N的坐标．数学I参考答案与评分标准一、填空题1.22.53.14.455.856.237.948.329.２10.3411.(3,1)(1,2)12.513.3314.1(1,)ee二、解答题15.（1）因为12OPOQ，所以2211sincos22，即2211(1cos)cos22，所以22cos3，所以21cos22cos13．…………………………………………………………6分（2）因为22cos3，所以21sin3，所以)32,21(P点，)1,31(Q点，又点12(,)23P在角的终边上，所以54sin，53cos．同理10103sin，1010cos，所以sin()sincoscossin4103310()5105101010．……14分16.（1）因为三棱柱111CBAABC是正三棱柱，所以CC1平面ABC，又AD平面ABC，所以ADCC1，………………………………………………………2分又点D是棱BC的中点，且ABC为正三角形，所以ADBC，因为1BCCCC，所以AD平面11BBCC，………………………………………………4分又因为1DC平面11BBCC，所以DCAD1．………………………………………………6分(2)连接CA1交1AC于点E，再连接DE．因为四边形11ACCA为矩形，所以E为CA1的中点，又因为D为BC的中点，所以1//EDAB.又1AB平面1ADC，ED平面1ADC，所以1//AB平面1ADC．………………14分17.（1）因为数列2nb是首项为2，公比为4的等比数列，所以1212242nnnb，因此21nbn．…………………………………………………………………………………2分设数列nb的前n项和为nT，则2nTn，224nTn，所以24nnTT，因此数列nb为“和等比数列”．………………………………………………………………6分(2)设数列nc的前n项和为nR，且2nnRkR（k为常数，且0k），因为数列nc是等差数列，所以1(1)2nnnRncd，212(21)22nnnRncd，所以1212(21)22(1)2nnnnncdRknnRncd对于*nN都成立，化简得，1(4)(2)(2)0kdnkcd，…………………………………………………10分则1(4)0,(2)(2)0,kdkcd因为0d，所以14,2kdc，因此d与1c之间的等量关系为12dc．…………………………………………………14分18.（1）设抛物线C的方程为22(0)ypxp，因为准线l的方程为2x，所以22p，即4p，因此抛物线C的方程为28yx．…………………………………………………………4分CBAA1B1C1DE（2）由题意可知，1(2,3)Ptt，(0,2)Qt,则直线PQ方程为：12(3)22tttytx，即22(1)240txtyt，………………8分设圆心在x轴上，且与直线PQ相切的圆M的方程为2220()(0)xxyrr，则圆心0(,0)Mx到直线PQ的距离220222(1)4(1)4txtrtt，…………………………………10分即2220(1)4txtrrt①，或2220(1)4txtrrt②，由①可得200(4)0xrtxr对任意,0ttR恒成立，则有0040,0,xrxr，解得02,2,xr（舍去），……………………………………………………14分由②可得200(4)0xrtxr对任意,0ttR恒成立，则有0040,0,xrxr，可解得02,2,xr因此直线PQ恒与一个圆心在x轴上的定圆M相切，圆M的方程为22(2)4xy.…………………………………………………………………………………………………16分19.(1)如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线与于S，并连接PQ，再过N点作TQ的垂线，垂足为W．在RtNWS中，因为2NW，SNW，所以2cosNS．因为MN与圆弧FG切于点P，所以PQMN，在Rt△QPS，因为1PQ，PQS，所以1cosQS，12cosQTQS，①若S在线段TG上，则TSQTQS，在RtSTM中，sinsinTSQTQSMS，因此MNNSMSsinQTQSNS.②若S在线段GT的延长线上，则TSQSQT，在RtSTM中，sinsinTSQSQTMS，因此MNNSMSsinQSQTNSsinQTQSNS.()fMNsinQTQSNS221()cossinsincos2(sincos)1(0)sincos2．………………………………………………………8分（2）设sincos(12)≤tt，则21sincos2t，NMABCDEFGHPS1m1mm1m1mmTQW因此242()()1tfgtt．因为2224(1)()(1)ttgtt，又12≤t，所以()0gt恒成立，因此函数242()1tgtt在(1,2]t是减函数，所以min()(2)422gtg，即min422MN．答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为422．……………………………………………………………………………………16分20.（1）当13a时，()fx=3122bbxx=31)(22bbbx，其对称轴为直线xb，当2,(3)0,≥bf解得2615b，当2,(1)0,bfb无解，所以b的的取值范围为26(,)15．……………………………………………………………4分（2）因为2()32()fxaxbxba，法一：当0a时，21x适合题意.……………………………………………………………6分当0a时，0)1(232abxabx，令abt，则0)1(232ttxx，令2()32(1)hxxtxt，因为11()024h，当1t时，(0)10ht，所以()yhx在1(,0)2内有零点．当1t时，(1)210ht，所以()yhx在（)21,1内有零点．因此，当0a时，()yhx在(1,0)内至少有一个零点．综上可知，函数()yfx在(1,0)内至少有一个零点．…………………………………10分法二：(0)fba，(1)2fab，12()33baf．由于,ab不同时为零，所以1()(1)03ff，故结论成立．(3)因为()fx=32()axbxbax为奇函数，所以0b,所以()fxaxax3，又()fx在1x处的切线垂直于直线230xy，所以1a，即3()fxxx．因为33()3()()33fxxx，所以()fx在33(,),(,)33上是増函数，在33[,]33上是减函数，由()0fx解得1,0xx，如图所示，当313≤t时，1()04≥≥ftt，即34≥ttt，解得3323≤≤t；当303t时，1()04≥ftt，解得033t；当0t时，显然不成立；当303≤t时，1()04≤ftt，即34≤ttt，解得303≤t；yO1x-1当33t时，1()04ftt，故3332t．所以所求t的取值范围是302≤t，或302