双曲线的几何性质

高三双曲线的几何性质1.已知双曲线11442522yx的左右焦点分别为F1、F2，左准线为L，能否在双曲线的左支上求一点P，使|PF1|是P到L的距离d与|PF2|的等比中项？若能，求出P点坐标，若不能，说明理由。解：假定在左支上存在一点P适合题意,则有513||||||112edPFPFPF,∴||513||12PFPF,又|PF2|－|PF1|=10,∴10||||51311PFPF,∴245||||,465||,425||2121PFPFPFPF,又由于|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|=26,上两式矛盾,∴P不存在.2.一双曲线以y轴为右准线,其右支过点M(1,2),且它的虚轴长、实轴长、焦距顺次成等差数列,试求：(1)双曲线右焦点F的轨迹方程;(2)实轴最长的双曲线方程;(3)过点M、F的弦的另一端点N的轨迹方程(不必求出轨迹范围).解：(1)(x-1)2+(y-2)2=1625(x0);(2)9(x+4)2-16(y-2)2=225;(3)9x2-16y2+82x+64y-55=0.3.点P在双曲线2222byax=1上,F1、F2是左右焦点,O为原点,求||||||21OPPFPF的取值范围.解：设点P(x0,y0)在右支上,离心率为e,则有|PF1|=ex0＋a,|PF2|=ex0－a,|OP|=2202202020,byaxyx=1,所以)(2||||22022200202021axabxexyxPFPF2220202baxccx,设t=2220202baxccx,∴t2=222022024baxcxc,解得222222204)t(cbatx这里t2－4＞0,又20x≥a2,∴222222)4(tcbat≥a2∴)4(2222tcbt≥1∴)4()4(222222tctcbt≥0,由此得：040)4(22222tttcbt解得2＜t≤2e当点P在左支上时,同理可以得出此结论.4.已知直线y=x+b与双曲线2x2－y2=2相交于A,B两点,若以AB为直径的圆过原点,求b的值。解：设A(x1,y1),B(x2,y2),则由条件可得：x1+x2=2b,x1x2=－b2－2,y1y2=－x1x2,最后得b=±2.5.已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,离心率3e,一条准线的方程为063x,求此双曲线的标准方程.解：由题设,3632caac解得2,6,2bca.∴双曲线方程为14222yx.6.已知点F与直线l分别是双曲线x2－3y2=3的右焦点与右准线,以F为左焦点,l为左准线的椭圆C的中心为M,又M关于直线y=2x的对称点M′恰好在已知双曲线的左准线上(如图),求椭圆C的方程及其离心率.解：∵F(2,0)23,23:xxl左准线,再设P(x,y)在C上,则由exyx23)2(22,得(1－e2)x2+y2+(3e2－4)x+4－49e2=0,于是中心为),0,)1(243(22eeM由条件得方程为x2+2y2－5x+423=0,即4x2+8y2－20x+23=0,离心率22e7.双曲线中点在原点，准线平行x轴，离心率为25，若点P(0，5)到双曲线上的点的距离的最小值是2时，求双曲线的方程.解：设双曲线方程12222bxay；M(x，y)为双曲线上任意一点.由25e，∴2245ac，∴b2=c2－a2=4a.而|PM|2=x2＋(y－5)2=455104222yyay(y－4)2＋5－a2.以下分a≤4或a＞4讨论，得双曲线方程149449142222xyxy或8.已知P为双曲线3x2－5y2=15上的一点,F1,F2为其两个焦点,且3321PFFS,求∠F1PF2的大小.解：令∠F1PF2=θ,|PF1|=m,|PF2|=n,则由余弦定理可得cos16mn,又由S△=33sin21nm,于是3cos1sin,最后得3.9.求双曲线14922xy的以点P(a,1)为中点的弦所在直线方程,并讨论a取怎样的值时这样的弦才存在.解：y=94ax－94a2＋1.只有当－23＜a＜23或a＞253或a＜－253时,以点P为中点的弦才存在.10.已知双曲线12222byax的离心率45e,半虚轴长为2,求双曲线方程.解：∵45ace,可令a=4k,c=5k,则b2=c2－a2=9k2=4,∴942k.于是9100,96422ca,故双曲线方程为1464922yx.