数学奥林匹克高中训练题(21)及答案

数学奥林匹克高中训练题（21）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题26)1211cossincossin,1cossin1sin1cossin1cossiniizzicosiii的关系为(B)．(A)12zz(B)12zz(C)12zz(D)不能比较大小2．(训练题26)已知函数22yx在[,]ab()ab上的值域为[0,2]，则点(,)ab的轨迹为图中的(A)．(A)线段,ABBC(B)线段,ABOC(C)线段,OABC(D)线段,OAOC3．(训练题26)设三角形三个内角的对边分别为,,abc，如果22(),()abbcbcca，那么，下列等式中不成立的是(D)．(A)24ABC(B)111abc(C)1coscoscos2CBA(D)222sinsinsin2ABC4．(训练题26)与三角式112(cos2cos)(cos4cos3cos)22恒等的是(A)．(A)1cos6cos32(B)1cos6cos32(C)1cos5cos42(D)1cos5cos425．(训练题26)给定四棱锥SABCD，其中底面四边形ABCD不是平行四边形，用平面截四棱锥得四边形1111ABCD（1111,,,ABCD分别在侧棱,,,SASBSCSD上），记集合M{四边形1111ABCD为平行四边形}，则有(B)．(A)M为空集(B)M为无穷集合(C)M为单元集合(D)M的元素与底面形状有关，不能确定6．(训练题26)红，黄，蓝变色灯的拉线开关是这样设计的：接上电源即出红色，拉第一次开关时灯色由红变黄，拉第二次时灯色由黄变蓝，拉第三次开关时灯色由蓝变红，如此循环往复．现对编号为1,2,3,,1997的1997盏变色灯通上电源，先将编号为2的倍数的灯线拉一下，然后将编号为3的倍数的灯拉一下，最后将编号为5的倍数的灯拉一下后，拉完后黄色灯的盏数为(C)．(A)1530(B)1464(C)932(D)866二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题26)已知(1)2(mod9),08nnnnbb，则nb的值域为1．2．(训练题26)如图，三棱柱上有一个空间五边形,ABCDEAB的中点为1,ABC的中点为2,ACD的中OxyABC-11点为3,ADE的中点为4A，连1324,,AAAAM是13AA的中点，N是24AA的中点，则MNAE14．3．(训练题26)双曲线221yx与422xyx的交点为31421234225,0,225,22,1;3;210;210.xxxxyyyy．4．(训练题26)对{1,2,,}nSn的每一个非空子集A，我们将A中每一个元素(1)kkn都乘以(1)k然后求和．则所有的这此和的总和为21(1)(1)[]22nnnn．5．(训练题26)不等式lglg4lg2xxx的解集为21{|}42xx．6．(训练题26)有(6)nn名乒乓球选手进行单循环赛（无和局），比赛结果显示：任意5人中既有1人胜于其余4人，又有1人负于其余4人.则恰胜两场的人数为1个．三、(训练题26)(本题满分20分)对于曲线222221:3(2)2(4)Cxyxy上原点之外的每一点P，求证存在过P的直线与椭圆222:22Cxy相交于两点,AB，使AOPBOP与均为等腰三角形．四、(训练题26)(本题满分20分)已知直线123,,lll两两成异面直线，问是否存在直线l同时与123,,lll相交？证明你的结论．五、(训练题26)(本题满分20分)某县位于沙漠地带，人与自然长期进行顽强的斗争，到1996年底全县的绿化率已达到30%（成为绿洲），从1997年开始，每年将出现这样的局面，原有沙漠面积的16%被栽上树，改造为绿洲，而同时，原有绿洲的面积的4%又被侵蚀，变为沙漠．(1)设全县面积为1，1996年底绿洲面积为1310a，经过n年绿洲面积为1na，求证：144525nnaa.(2)至少需经过多少年的努力才能使全县的绿化率超过60%(年取整数)？5第二试AA1EDCBNA4A3A2M一、(训练题26)(本题满分50分)在锐角ABC中，BD是AC上的高，E是AB边上一点，满足45,2AECBDCE，求证：//DEBC的充要条件是CEACAD．二、(训练题26)(本题满分50分)已知复数z的模为1，求22(4)(4)4zzui的最大值．三、(训练题26)(本题满分50分)将直线上的a点染成红色，b点染成黄色，c点染成蓝色，使同色点互不相邻，其染色方法的种数记为(,,)Fabc，显然有(1,1,1)6;F;0,2,1,1,1,0)0,,(时当时当时当babababaF;1,1,1,0)0,0,(时当时当aaaF(1)证明：对不全为1的自然数,,abc有(,,)(1,1,)(1,,1)(,1,1)2(1,1,1)FabcFabcFabcFabcFabc(2)利用上述递推关系求解下题：书架上有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，全部竖起排成一行，如果要求同类书本身互不相邻邦，共有多少种排法？