数学奥林匹克高中训练题(13)及答案

数学奥林匹克高中训练题（13）第一试（总分90分）一、选择题（每小题6分，共36分）1．(训练题18)已知集合,,21aaP…na,,…，且满足11a，141naann1,nNn.又知集合NniinQnn,212则QP,的关系是（A）（A）QP（B）QP（C）QP（D）QP2．(训练题18)若关于x的方程04arccoscosxk有实数解，且x属于第三象限，则（C）（A）k≥―arccos4（B）k＜22（C）k＞arccos4（D）4＜k＜23．(训练题18)两枚红色棋子、两枚白色棋子、两枚绿色棋子摆成一圈．则不同的摆法有（B）种（A）15（B）18（C）24（D）904．(训练题18)方程7321xy的正整数解的组数为（C）（A）4（B）3（C）2（D）15．(训练题18)关于x的方程019971199719961kkkxk的实根的个数为（D）（A）1996（B）4（C）2（D）06．(训练题18)已知yx,都是自然数，且622yx是xy的整数倍．则xyyx622是一个（B）（A）完全平方数（B）完全立方数（C）完全四次方数（D）素数二、填空题（每小题9分，共54分）1．(训练题18)中国足球甲A联赛共有12个足球俱乐部参加，实行主客场双循环赛制，即任何两队分别在主场和客场各比赛一场，胜一场得3分，平一场各得1分，负一场得0分，在联赛结束后按积分的高低排出名次．则在积分榜上位次相邻的两支球队积分差距最多可达46分．2．(训练题18)若log＜2，则使关于x的函数))(cos()sin(Rxxxy为偶函数的的个数是10个．3．(训练题18)在平面上，一条抛物线至多把平面分成两部分，两条抛物线至多把平面分成七部分．则10条抛物线至多把平面分成191部分．4．(训练题18)过双曲线12222yx的右焦点作直线l交该双曲线于BA,两点．如果4AB，则这样的直线的条数为3条．5．(训练题18)设wzyx,,,是不全为零的实数，且满足zwyzxy2≤2222wzyxA，则A的最小值是212．6．(训练题18)一张正方形的纸被一条直线分成两部分，其中一部分再被一条直线分成两部分，再把三分之一被一条直线分成两部分，如此下去，最后得到了19个96边形和其他一些多边形．则至少要切割1766次．第二试（总分120分）一、(训练题18)（25分）在三棱锥BCDA中，90DACBACDAB，90ADCBDCADB试证：二面角DBCA的度数大于70二、(训练题18)（25分）设ia＞0,,2,1i…,nn,≥2，求证：321211753aaaaaa…naaan2112＜niia114三、(训练题18)（35分）给定n个（n≥5）互不相等的实数1a＜2a＜…＜na，所有的2nC个和jiaa（1≤i,j≤n,ji）中互不相同的数恰好有32n个的充分必要条件是naaa,,,21成等差数列．四、(训练题18)（35分）对给定的自然数m与n，m＜n，任意一个由n个连续整数组成的集合都含有两个不同的数，它们的乘积能被mn整除．