普通高等学校招生全国统一考试数学及答案(全国卷Ⅲ.理)

2005年全国高考数学试卷三（四川理）(必修+选修II)第一卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知为第三象限的角，则2所在的象限是()A第一或第二象限B第二或第三象限C第一或第三象限D第二或第四象限2、已知过点2Am，和4Bm，的直线与直线210xy平行，则的值为()A0B8C2D103、若811xx的展开式中5x的系数是()A14B14C28D284、设三棱柱111ABCABC的体积为V，PQ、分别是侧棱1AA、1CC上的点，且1PAQC，则四棱锥BAPQC的体积为()A16VB14VC13VD12V5、22111lim3243xxxxx()A12B12C16D166、若ln2ln3ln5235abc，，，则()AabcBcbaCcabDbac7、设02x，且1sin2sincosxxx，则（）A0xB744xC544xD322x8、22sin2cos1cos2cos2()AtanBtan2C1D129、已知双曲线2212yx的焦点为12FF、，点M在双曲线上且120MFMF，则点M到x轴的距离为（）A43B53C233D310、设椭圆的两个焦点分别为12FF、，过1F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若12FPF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A22B212C22D2111、不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）A3个B4个C6个D7个12、计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制0123456789ABCDEF十进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示：E+D=1B，则AB（）A6EB72C5FDB0二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上。13、已知复数：032zi，复数z满足003zzzz，则复数z14、已知向量12OAk，，45OB，，10OCk，，且A、B、C三点共线，则k15、设l为平面上过点01，的直线，l的斜率等可能地取55223032222，，，，，，，用表示坐标原点到l的距离，则随机变量的数学期望E。16、已知在ABC中，09034ACBBCAC，，，P是AB上的点，则点P到ACBC、的距离乘积的最大值是三、解答题：本大题共6个小题，共74分。17、（本小题满分12分）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小19、（本小题满分12分）ABC中，内角ABC、、的对边分别是abc、、，已知abc、、成等比数列，且3cos4B（Ⅰ）求cotcotAC的值（Ⅱ）设32BABC，求ac的值。20（本小题满分12分）在等差数列na中，公差0d，2a是1a与4a的等比中项，已知数列13aa、、1ka、2......nkkaa、、成等比数列，求数列na的通项nk21、（本小题满分12分）设11Axy，，22Bxy，两点在抛物线22yx上，l是AB的垂直平分线。（Ⅰ）当且仅当12xx取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（Ⅱ）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围。22、（本小题满分14分）已知函数2472xfxx，01x，（Ⅰ）求fx的单调区间和值域；（Ⅱ）设1a，函数223201gxxaxax，，，若对于任意101x，，总存在001x，，使得01gxfx成立，求a的取值范围2005年全国高考数学试卷三（四川理）参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号123456789101112答案DBBCACCBCDDA二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上。13．312i14．2315．4716．3三、解答题：本大题共6个小题，共74分。17．解：（Ⅰ）求已知得0.05PABPAPB0.1PACPAPC0.125PBCPBPC解得：0.2PA，0.25PB，0.5PC所以甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5（Ⅱ）记A的对立事件为A，B的对立事件为B，C的对立事件为C，则：0.8PA，0.75PB，0.5PC于是110.7PABCPABCPAPBPC所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.718．方法一：（Ⅰ）证明：ABADABABABCDADVADABCD平面VAD平面ABCD平面VAD平面平面平面（Ⅱ）解：取VD的中点E，连结AE，BE∵VAD是正三角形∴AE⊥VD，AF=32AD∵AB⊥平面VAD∴AB⊥AE又由三垂线定理知BE⊥VD因此，AEB是所求二面角的平面角于是，23tan3ABAEBAE即得所求二面角的大小为23arctan3方法二：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系。（Ⅰ）证明：不妨设100A，，，则110B，，，13022V，，13010022ABVA，，，，，由0ABVA，得ABVA又ABAD，因而AB与平面VAD内两条相交直线VAVD，都垂直。∴AB平面VAD（Ⅱ）解：设E为DV中点，则13044E，，333313010444422EAEBDV，，，，，，，，由0EBDV，得EBDV，又EADV因此，AEB是所求二面角的平面角。∵21cos7EAEBEAEBEAEB，∴解得所求二面角的大小为21cos7arc19．解：（Ⅰ）由3cos4B得237sin144B由2bac及正弦定理得2sinsinsinBAC于是11cotcottantanACACcoscossinsinACACcossincossinsinsinACCAAC2sinsinACB2sinsinBB1sinB477（Ⅱ）由32BABC得3cos2caB，由3cos4B可得2ca，即22b由余弦定理2222cosbacacB得2222cos5acbacB2222549acacac∴3ac20．解：依题设得11naand，2214aaa∴21113adaad，整理得21dad∵0d∴1da得nand所以，由已知得123nddkdkdkd，，，，...，...是等比数列由0d，所以数列1，123nkkk，，，...，...也是等比数列，首项为1，公比为331q，由此得19k等比数列na的首项19k，公比3q，所以1193123....nnnkqn，，，即得到数列na的通项为13nnk21．解：（Ⅰ）FlFAFBAB、两点到抛物线的准线的距离相等，∵抛物线的准线是x轴的平行线，1200yy，，依题意12yy，不同时为0∴上述条件等价于22121212120yyxxxxxx∵12xx∴上述条件等价于120xx即当且仅当120xx时，l经过抛物线的焦点F。（Ⅱ）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为2yxb；过点AB、的直线方程可写为12yxm，所以12xx、满足方程21202xxm得1214xxAB、为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式1804m，即132m设AB的中点N的坐标为00xy，，则0121128xxx，0011216yxmm由Nl，得11164mb，于是551916163232bm即得l在y轴上截距的取值范围为932，22．解：对函数fx求导，得2241672xxfxx，221272xxx令0fx，解得112x或272x当x变化时，fx，、fx的变化情况如下表：x0102，12112，1fx，0fx7243所以，当102x，时，fx是减函数；当112x，时，fx是增函数；当01x，时，fx的值域为43，（Ⅱ）对函数gx求导，得223gxxa，因此1a，当01x，时，2310gxa，因此当01x，时，gx为减函数，从而当01x，时有10gxgg，又21123gaa，02ga，即当1x0，时有21232gxaaa，任给11x0，，143fx，，存在001x，使得01gxfx，则2123243aaa，，即212341232aaa（）（）解1（）式得1a或53a解2（）式得32a又1a，故：a的取值范围为312a