平面的基本性质

高二数学下学期期末专题复习12：平面的基本性质【知识网络】直线平面简单几何体空间直线和平面平面直线和平面的位置关系简单多面体平面的基本性质空间两条直线空间直线和平面空间两个平面棱柱棱锥欧拉公式球共面异面相交直线在平面内直线在平面外平行相交平行平行相交垂直二面角垂直空间向量空间向量及其运算空间向量与空间角【学法点拨】1．必须明确本章内容的复习目标：（1）准确理解和系统掌握空间直线和平面的各种位置关系（特别是平行与垂直的位置关系），能够运用概念、公理、定理等进行严密的推理判断和逻辑论证；（2）正确理解空间的各种角和距离的概念，能将其转化为平面角和线段的长度，并能熟练地运用平面几何及三角知识来计算；（3）通过图形能迅速判断几何元素的位置关系，能熟练绘制符合要求的空间图形的直观图、截面图，熟练地处理折叠、截面的问题.但要注意立体几何中的示意图不反映元素关系的真实结构，逻辑论证仍是关键；（4）理解用反证法证明命题的思路，会证一些简单的问题.2．要掌握解题的通法，推理严谨，书写规范（1）转化法是空间直线和平面的位置关系的判断与证明的常用方法，线线关系（主要指平行和垂直）、线面关系、面面关系三者中，每两者都存在着依存关系，充分、合理地运用这些关系是解题的关键；另外，转化法还常常运用在求距离时点的位置的变化，以及线面距、面面距间的转化；（2）求角或距离的步骤是“一作、二证、三计算”，即先作出所求角或表示距离的线段，再证明它就是所要求的角或距离，然后再进行计算，尤其不能忽视第二步的证明.【考点指津】掌握平面基本性质的三条公理及公理3的三条推论，能运用它们证明空间的共点、共线、共面问题.【知识在线】1．如果,,,,ablaAlbB那么下列关系成立的是()A．lB．lC．lAD．lB2．下列四种说法：(1)两个平面可以仅有一个公共点；(2)空间任意四边形一定是平面图形；(3)三条互相平行的直线最多可确定三个平面；(4)有三个不同公共点的两个平面一定重合．其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．33．一条直线和直线外四个不同的点，它们最多能确定平面的个数是()A．6B．7C．8D．94．在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EFGHP，则有()A．PBDB．PACC．PBD或PACD．PBD或PAC【讲练平台】例1如图9-1，在正方体1111ABCDABCD中，E为AB的中点，F为1AA的中点．求证：(1)1,,,ECDF四点共面；图9－1ABCDD1A1B1C1EF··(2)1,,CEDFDA三线共点．分析要证1,,,ECDF四点共面，可由这四点连成两条直线，证明它们平行或相交即可；对于（2）中证三线共点，可证两条直线的交点在第三条直线上．证明(1)如图9-2，分别连结11,,.EFABDC,EF分别是AB和1AA的中点，EF＝∥121AB．又11AD＝∥11BC＝∥BC，11ADCB是平行四边形．1AB＝∥1CD，从而EF∥1CD．根据推论3，EF和1CD确定一个平面，故1,,,ECDF四点共面．(2)EF＝∥121AB，1AB＝∥1CD，∴EF＝∥121CD．∴直线1DF和CE必相交．令1.DFCEP．1DF平面11AADD，1,PDFP平面11AADD．同理P平面ADCB．即P是平面11AADD和平面ADCB的公共点，而平面11AADD平面ADCB=AD，.PAD故1,,CEDFDA三线共点．点评1．本题也可先证明1DF与DA相交，CE与DA相交，且交点重合，从而证得(2)，既然1DF与CE相交，那么(1)自然就成立了．2．证明四点共面的主要方法是四点连成两条直线，证明它们平行或相交．图9－2ABCDD1A1B1C1EF··3．证明三线,,abc共点的主要方法有：①证明a与b相交，b与c相交，再证交点重合；②先证a与b相交于点P，再证Pc．例2已知四条直线,,,abcd两两相交，但不共点，求证：,,,abcd共面．分析四线不共点，三线有可能共点，也可能无三线共点，因而要分类讨论!证明①如图9-3(1)，设,,abc都经过点P．则由条件知此时Pd．于是根据推论1，经过点P与直线d存在一个平面，设该平面为．a与d相交，设交点为A，,,,APAP不是同一点，a．同理,.bc所以,,,abcd共面．②如图9-3(2)，设无三条直线共点，由已知,ab相交，设交点为Q，根据推论2，经过,ab存在一个平面，设该平面为．c与a相交，c与b相交，且c不经过点Q，c与,ab交于不同两点A，B，即c与平面有两个不同的公共点，c．同理d．所以,,,abcd都在平面内，故,,,abcd共面．点评证明共面问题的主要方法有：①先由公理3或其推论证明某些元素确定一个平面，再证其余元素都在此平面内；②指出给定的元素中的某些元素在平面内，某些元素(与前述元素有公共元素，但两部分必须包括所有元素)在平面内，再通过公共元素来证明与重合．如“若一直线与三条平行直线都相交，则这四条直线共面”的证明就用此法．αPabCcAB图9-3(1)dβQabcAB图9-3(2)d以上两例归纳了共线、共点、共面问题的证明思路。例3如图9-4，平行六面体1111ABCDABCD中，111111,ACBDOBD平面11.ABCP求证：(1)1PBO；(2)1BD被平面11ABC截于三等分点．分析（1）要证点P在直线BO1上，可考虑两个相交平面，使点P为这两个平面的公共点，而BO1为这两个平面的交线．（2）会用点、线、面去思维。简证(1)因为点P既在平面11BBDD内，又在平面11ABC内，所以P点必在它们的交线1BO上．从而1PBO．(2)将对角面11DBBD移出(如图9-5)，连1BD（评：多余。其实由21111DBBOPDPB即得结论），则P是△B1D1B的重心．11121.33BPBOBD即1BD被平面11ABC截于三等分点．点评将对角面11BBDD从线条复杂的平行六面体1111ABCDABCD中移出，既使问题简单化，又将图形“恢复”其本来面目（平面图形）．分解和移动图形，“降维”等都是处理立体几何问题的重要思想方法．【知能集成】本课的主要内容是平面的基本性质，它是研究立体几何的理论基础．注意以下几点：1．会用图形语言、文字语言和符号语言准确描述三个公理（推论）；理解它们的基本应PCABDD1A1B1C1O1图9-4B1图9-5BDD1PO1O用（如例1，例2）．2．处理立体几何问题的基本思想是“降维”，把较为复杂的问题化归为平面几何问题（如例3）．要充分利用平面几何中的基本图形解决问题．【训练反馈】1．下列判断正确的是()A．两条直线确定一个平面B．如果平面和有三个公共点，则与重合C．有一个公共点的两个平面交于过这一点的一条直线D．点,Ab且b与平面有公共点，则点A在平面内2．可使平面和重合的条件是它们的公共部分中有()A．三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条不重合，不异面的直线3．两条相交直线,lm都在平面内且都不在平面内．命题甲：l和m中至少有一条与相交；命题乙：平面和相交，则甲是乙的()A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充分且必要条件D．既非充分也非必要条件4．用适当的符号填空：若,,,lPP则Pl．5．不重合的三条直线，若相交于一点，则最多能确定个平面；若共有两个交点，最多能确定个平面；若共有三个交点，最多能确定个平面．6．已知直线l与三条平行直线,,abc都相交，求证：这四条直线共面．7．三个平面两两相交于三条直线，若这三条交线不互相平行，：求证它们必交于一点．8．已知△ABC的三个顶点都不在平面内，它的三边,,ABBCCA延长后分别交平面于,,PQR．求证：,,PQR在同一条直线上．答案【知识在线】1．A2．B3．C4．B【训练反馈】1．C2．D3．C4．5．3，2，16．先由,ab确定一个平面，证b、l；同理可证,,bcl共面于平面．由,bl确定一个平面知,重合．7．设,,abc，abM．由,MaMb得,MM．于是.MMc8．设法证明,,PQR是平面ABC和平面的公共点．