立体几何空间直线解答题

空间直线解答题1、在空间四边形ABCD中,各边长和对角线长均为a,点E、F分别是BD、AC的中点,求异面直线AE和BF所成的角.2、如图，空间四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=DC=1，AD和BC成角60o，E、F分别是AB、DC的中点。求：（1）AB和DC成角的度数；（2）EF的长。3、已知棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1，E是AB的中点，求BD与CE所成的角。4、过锐角三角形ABC的垂心H作平面ABC的垂线,P为垂线上一点,APB=90o,那么△BPC和△APC的形状如何?又若APB≠90o,PA与BC是否垂直?为什么?5、夹在两个平行平面和间的异面直线AB和CD所成的角为45o,它们在平面内的射影长分别为12cm和2cm.若AC=6cm,BD=8cm,AB,CD与平面所成的角的差是45o.求异面直线AC和BD间的距离和它们所成角的度数.6、已知：矩形ABCD中,AB=45,直线EF//BC,交AB于E,交CD于F,且EB=28,将矩形AEFD沿直线EF折起,使AD和平面EBCF间的距离为15,求此时AD与BC间的距离.7、a、b是异面直线,它们所成角是60°.AB是a、b的公垂线,Aa,Bb,AB=1,另有C、D两点,Ca,Db,且DB=AC=10,求C、D两点间距离.8、平行四边形ABCD的内角C=60°,CD=2BC,沿对角线BD将平行四边形所在平面折成直二面角;求AC、BD所成的角.9、在边长a为的正方体ABCD－A1B1C1D1中(如图所示),(1)异面直线AB与CC1间的距离为;(2)异面直线A1D1与BC1所成角的度数为;(3)若E,F分别为AA1,AB的中点,则异面直线EF与BC1所成角的大小为;(4)把两两都为异面直线的三条直线称为一组,在正方体ABCD－A1B1C1D1的12条棱所在直线中,满足条件的直线有组.10、已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.11、在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角.12、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求AC1与B1D1所成的角。13、已知AB，BC，CD为不在同一平面内的三条线段，AB，BC，CD的中点，P，Q，R满足PQ=2，5QR，PR=3，求AC与BD所成的角。14、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB=BC=3，A1A=4，求A1B和B1C所成角的余弦值。15、若E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC的中点，求A1C与DE所成角的余弦值。16、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB=a，BC=BB1=b，求AC1与B1C所成的角。17、已知E，F，G，H顺次是空间四边形ABCD各边的中点。（1）求证：EFGH为平行四边形；（2）如果AC=BD，那么EFGH是什么四边形？（3）如果AC⊥BD，那么EFGH是什么四边形？（4）如果AC=BD，且AC⊥BD，那么EFGH是什么四边形？（5）若对角线BD=2，AC=4，求EG2＋HF2的值。18、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E为棱CD的中点，求AE和B1C所成角的余弦值。19、在空间四边形ABCD中，已知AD=1，3BC，且AD⊥BC，对角线213BD，23AC，求AC和BD所成的角。20、在正四面体ABCD中，若E，F分别为棱AB，CD的中点，求AF与CE所成的角的正切值。21、完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，Aa，Da，Bb，Ec求证：BD和AE是异面直线。证明：假设__共面于，则点A、E、B、D都在平面__内。Aa，Da，∴__γ.Pa，∴P__.Pb，Bb，Pc，Ec∴__，__，这与____矛盾。∴BD、AE__________。22、在长方体ABCD－A′B′C′D′中，已知AB=a，BC=b，AA′=c(a＞b)，求异面直线D′B与AC所成角的余弦值。23、已知a、b为异面直线,A、Ba.AA1⊥b,BB1⊥b,A1、B1为垂足,若AB=2,A1B1=1,求异面直线a、b所成的角.24、已知异面直线a，b互相垂直，它们的公垂线段PQ=h，一条长为定值m(m＞h)的线段AB两端分别在a，b上滑动，求AB中点M的轨迹。25、已知两个全等的正方形ABCD和CDEF所在平面互相垂直。（1）求BD与EC所成的角；（2）若P，Q分别为两个正方形的中心，求BQ与EP所成角的余弦值。26、已知ABCD为矩形，E为半圆CED上一点，且平面ABCD⊥平面CDE.（1）求证：DE是AD与BE的公垂线；（2）若AD=DE=AB21，求AD和BE所成角的大小。27、完成下列证明：已知a∥b∥c，a∩d=A，b∩d=B，c∩d=C，求证：a、b、c、d共面。证明：∵a//b，∴___确定一个平面，∵Aa，Bb.∴A__，B__，又∵Ad，Bd，∴___.同理d(b、c确定的平面).∵b、d___，且b、d__，bd=B，∴__与__重合，∴____共面。说明：立几中证n条直线共面，一般可根据条件先确定一个平面(根据公理三及三推论)，然后再证其它直线也在这个平面内；也可先确定n个平面，再证这些平面重合。28、在底半径为r的圆柱中,O、O′分别为上下底面圆的圆心，OM和O′N′分别为上下底面圆的两条半径，若异面直线OM和O′N′的成角为60o.求：异面直线MN′和OO′的距离。空间直线解答题(参考答案)1、arccos322、(1)60o；(2)23.3、提示：在面ABCD中作BP∥CE交DC的延长线于P，连D1P，在BD1P中用余弦定理求得D1BP=arccos1515.4、如图,H是垂心,PH是垂线,AH⊥BC,由三垂线定理得AP⊥BC,又AP⊥PB,故AP⊥平面PBC,从而AP⊥PC,△APC是直角三角形,同理△BPC也是直角三角形.由分析过程知PA⊥BC与否,与∠APB的大小无关,即PA⊥BC成立5、90o,4或6.6、25或397、提示：利用异面直线上两点间距离公式分类讨论：当∠DBE=60°时,CD=101.当∠DBE=120°时,CD=301.8、如图,折起前,∠A=∠C=60°,AD=BC=a,AB=DC=2a.由余弦定理得BD2=a2＋4a2－a·2a=3a2,∴BD=a3.∵AD2＋BD2=AB2,∴△ABD是直角三角形.即∠ADB=90°.同理∠DBC=90°.折起后∠ADB=∠CBD=90°.如图,过A作AEBD,连结AC、CE、BE,四边形AEBD是矩形,BD⊥BE,DB⊥BC.∴∠CBE是二面角A—BD—C的平面角.∴∠CBE=90°,EC2=2a2.∵DB⊥平面EBC,∴DB⊥EC.∵AE⊥EC,AC2=AE2＋EC2=5a2,由AE‖BD得∠CAE即为AC与BD所成的角.在Rt△AEC中,cos∠CAE=51553ACAE.于是AC与BD所成角为arccos515.9、(1)a(2)45o(3)60o(4)810、(1)∵ABCD是空间四边形,∴A点不在平面BCD上,而C平面BCD,∴AC过平面BCD外一点A与平面BCD内一点C,又∵BD平面BCD,且CBD.∴AC与BD是异面直线.(2)解如图,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=21AC.同理HG//AC,且HG=21AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.11、解(1)如图,连结BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60o,∵∠A1BD是锐角,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.∴A1B与B1D1成角为60o.(2)连BD交AC于O,取DD1中点E,连EO,EA,EC.∵O为BD中点,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD成角90o.12、90°13、90°14、251615、151516、90°17、（2）菱形；（3）矩形；（4）正方形；（5）1018、51019、90°20、3221、假设BD、AE共面于，则点A、E、B、D都在平面内。∵Aa，Da，∴a.∵Pa，P.∵Pb，Bb，Pc，Ec.∴b，c，这与a、b、c不共面矛盾。∴BD、AE是异面直线。22、解：在长方体的一旁，补上一个全等的长方体，则BE≠AC，∠D′BE（或其补角）即D′B和CD所的角。∵222cbaBD，22baBE，224caED，∴BEBDEDBEBDBED2cos222＝0))((2222222cbababa∴D′B与AC所成角的余弦值为))((2222222cbababa.23、解(如图)过A作直线b′‖b,在b′上取一点C,使AC=A1B1,则AA1B1C为平行四边形,∵A1B1⊥AA1,∴AA1B1C为矩形,∴AC⊥B1C,又∵AC⊥A1B1,A1B1⊥BB1,∴AC⊥BB1,∴AC⊥平面BB1C,∴AC⊥BC.∴cos∠CAB=21,∴∠CAB=60°,即a、b成60°角.24、M点的轨迹是以PQ为中点T为圆心、半径为2221hm，并位于PQ的垂直平分面上的圆。25、（1）60°；（2）65.26、（1）∵BC⊥面DEC，CE是BE在面DEC上的射影，而CE⊥DE，∴BE⊥DE.又AD⊥面DEC，∴AD⊥DE，故DE是AD与BE的公垂线；（2）60°.27、∵ab，∴a、b确定一个平面，∵Aa，Bb.∴A，B.又∵Ad，Bd，∴d.同理d(b、c确定的平面).∵b、d，且b、d，b∩d=B，∴与重合，∴a、b、c、d共面。28、d=23r