空间直线同步练习

高二下9．2空间直线同步练习基础练习1．在正方体ABCD—1111DCBA中，共有12条棱，指出符合条件的棱所在的直线：（1）与直线AB平行的直线有_________；（2）与直线AB相交的直线有_________；（3）与直线AB异面的直线有____________________________________；2．填空：正方体ABCD—1111DCBA各棱长为a，（1）AC与11CA的位置关系是_________，AC与11CB的位置关系是_________，AC与11DB的位置关系是_________；（2）1BC与1AD的位置关系是_________________，BCC1与ADD1的大小关系是_________，△BCC1与△ADD1的关系是_________；图9－9（3）AB与11CB所成的角是_________度，AB与11DB所成的角是_________度，1BC与CD所成的角是_________度．3．指出图9－10中直线a、b的位置关系，其中：（2）中a∥l，且b∥l；（4）中a∥l；（5）中M∈，N∈，M∈b，N∈b．（1）（2）（3）（4）（5）图9－104．判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）空间两条直线可以确定一个平面；（2）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条；（3）垂直于同一条直线的两条直线平行；（4）直线a与b平行，b与c平行，则a与c平行；（5）直线a与b相交，b与c相交，则a与c相交；（6）直线a与b异面，b与c异面，则与c异面；（7）一条直线与两条平行线中的一条垂直，必和另一条也垂直．5．a、b、l是三条直线，、是两个平面，且∩＝l，a，b，则a与b的位置关系是_________．6．直线a和b是平行直线，点A、C在直线a上，点B、D在直线b上，那么直线AB与CD的位置关系是什么?若直线a和b是异面直线呢?7．在正方体ABCD—1111DCBA中，六个面内与BD所成的角为60°的对角线共有多少条?8．A、B、C、D是不在同一个平面内的四点．E是线段AD上一点．证明直线CE和BD是异面直线．9．已知ABCD－1111DCBA为正方体，棱长为a．（1）求异面直线11CD与BB1之间的距离；（2）若E、F分别为棱11BA、AB的中点，求异面直线EF与11DA之间的距离．综合练习1．关于直线a、b有以下三个结论：甲：a、b相交；乙：a、b平行；丙：a、b不是异面直线．那么，下列命题中正确的是（）．A．甲和乙均是丙的充分非必要条件B．甲和乙均是丙的必要非充分条件C．甲是丙的充分非必要条件，且乙是丙的必要非充分条件D．甲是丙的必要非充分条件，且乙是丙的充分非必要条件2．给出以下四个命题：①若两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行②若两条直线和第三条直线都垂直，则这两条直线平行③若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行④若两条直线分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行其中错误命题的个数是（）个．A．1B．2C．3D．43．在正方体ABCD—1111DCBA中，与对角线1BD异面的棱有（）．A．3条B．4条C．6条D．8条4．三条直线共面的条件可以是（）．A．这三条直线两两平行B．这三条直线交于一点C．这三条直线中的一条与另外两条都相交D．这三条直线两两相交，但不交于一点5．已知m、n为异面直线，m平面，n平面，∩＝l，则l（）．A．与m、n都相交B．与m、n中至少一条相交C．与m、n都不相交D．至多与m、n中的一条相交6．如图9－11，在正方体ABCD—1111DCBA中，E、F分别是棱11CD、11CB的中点，求证：EF∥BD，且BDEF21．图9－117．如图9－12，O是平面ABC外一点，1A、1B、1C分别在线段OA、OB、OC上，且满足OBOBOAOA11，OCOCOAOA11．求证：△ABC∽△111CBA．图9－128．如图9－13，P是平面ABC外一点，PA＝4，52BC，D、E分别为PC和AB的中点，且DE＝3．求异面直线PA和BC所成角的大小．图9－139．如图9－14，A是平面BCD外一点，且AB＝AC＝DB＝DC，M、N分别是BC、AD的中点．求证：MN是异面直线AD与BC的公垂线．图9－1410．如图9－15，已知A是平面BCD外一点，满足AC＝BD，M、N、P、Q分别是BC、CD、DA、AB的中点．求证：QN⊥PM．图9－1511．如图9－16，在棱长为a的正方体ABCD—1111DCBA中，求异面直线AC和11DB的距离．图9－1612．在长方体ABCD－1111DCBA中，AB＝2，11BBBC，M、N分别是AD、DC的中点．（1）证明AM∥11CA；（2）求异面直线MN与1BC所成角的余弦值．拓展练习1．在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，得到四边形EFGH．（1）四边形EFGH是______________；（2）当对角线AC＝BD时，四边形EFGH是______________；（3）当对角线满足条件______________时，四边形EFGH是矩形；（4）当对角线AC、BD满足条件_______时，四边形EFGH是正方形．2．借助两支铅笔，试研究以下问题：（1）在平面内，过直线外一点有多少条直线与已知直线平行?在空间呢?图9－17（2）在一个平面内，过一点有多少条直线与已知直线垂直?在空间呢?（3）在一个平面内，与该平面内的已知直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何?在空间，与一条直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何?3．如图9－18，已知P为△ABC所在平面外一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点．（1）求证：EF与PC是异面直线；（2）EF与PC所成的角；（3）线段EF的长．图9－184．如图9－19，在棱长为a的正方体ABCD—111DCBA１中，O是AC、BD的交点，E、F分别是AB与AD的中点．图9－19（1）求异面直线1OD与11CA所成角的大小；（2）求异面直线EF与11CA所成角的大小；（3）求异面直线EF与1OD所成角的正切值；（4）求异面直线EF与1OD的距离．5．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线．②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________．（把符合要求的命题序号都填上）参考答案基础练习1．（1）AB∥DC∥11CD∥11BA；（2）AD、1AA、1BB、BC；（3）1CC、1DD、11CB、11DA．2．（1）平行，异面，异面；（2）平行，相等，全等；（3）90，45，90．3．（1）ba＝P；（2）a∥b（公理4）；（3）a与b是异面直线；（4）a与b是异面直线；（5）a与b是异面直线．4．（1）不正确．两条异面直线不能确定一个平面．（2）不正确．垂直于两条异面直线的直线有无数多条，但公垂线——与两条异面直线垂直相交的直线有且只有一条．（3）不正确．垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面．（4）正确．由公理4可知．（5）不正确．a、c可能平行，还可能异面．（6）不正确．a、c可能异面，但也可能平行或相交．（7）正确．因为直线与两条平行线所成的角相等．5．平行、相交或异面（参看图答9－10）6．若a∥b，则a，b共面于，A、B、C、D均在内，故AB与CD共面于，则AB与CD的位置关系可能是平行或相交．若a、b是异面直线，则AB与CD必是异面直线．假设AB与CD共面于，则AC与BD，即a、b共面．这与已知矛盾．7．参看图答9－10，与BD相交所成角为60°的面对角线1BC、1BA，1DA，1DC四条；与BD异面所成角为60°的面对角线有1AB、CB1、1AD、1CD四条，故一共8条．图答9－108．设CE、BD不是异面直线，那么CE、BD在同一个平面（设为）内．由E、D在平面内，则直线ED在平面内，直线ED上的点A也在平面内，即A、B、C、D都在平面内，这与A、B、C、D不在同一平面内是相矛盾的，因此CE、BD是异面直线．9．（1）a（公垂线段为11CB）；（2）2a（公垂线段为EA1）．综合练习1．A2．C．根据公理4，知③正确，利用正方体判断其余命题均不正确．由1AA与AB所成角90°，BC与AB所成的角90°，但1AA与BC不平行，从而①、②不正确；11BA在平面BABA11内，DC在平面ABCD内，虽平面BABA11与平面ABCD相交，仍有11BA∥DC，从而说明④不正确．3．C．如图答9－10，把正方体的几条棱分为三类，在平面1111DCBA上的四条棱中有11BA、11CB与1BD异面，在平面ABCD上的四条棱中有AD、CD与1BD异面，上下两底面之间的四条棱中，有1AA、1CC与1BD是异面直线，故与1BD异面的棱共6条．4．D．可参看下列图形：图答9－95．B．可参看下列图形：图答9－116．连结11DB．∵1BB∥1DD，∴四边形DDBB11是平面图形，又∵1BB＝1DD，∴四边形DDBB11是平行四边形，∴BD11DB，在△111BDC中，∵E、F分别是11CD与11CB的中点，∴EF1121DB，由公理4有EF∥BD，且有BDEF21．7．∵OBOBOAOA11，OCOCOBOB11，∴OCOCOAOA11.在△AOB中，由OBOBOAOA11，∴11BA∥AB，同理11CB∥BC，∵111CBA与∠ABC方向相同，∴111CBA＝∠ABC，同理111CAB＝∠BAC，∴△111CBA∽△ABC．图答9－128．取AC中点F，连结DF、EF，在△PAC中，∵D是PC中点，F是AC中点，则DF∥PA，同理可得EF∥BC，∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角．在△DEF中，DE＝3，又DF＝21PA＝2，EF＝21BC＝5，∴222EFDFDE，∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°．9．连结AM、DM．在△ABC和△DBC中，∵AB＝DB，AC＝DC，BC＝BC，∴△ABC≌△DBC，∴AM＝DM．在等腰△AMD中，∵N是AD中点，∴MN⊥AD于N，连结BN、CN，同理可证BN＝CN，于是MN⊥BC于M，故MN是直线AD与BC的公垂线．10．在△ABC中，∵Q是AB中点，M是BC中点，∴MQ∥AC，且MQ＝21AC，同理PN∥AC，且PN＝21AC．∴QMPN．∴四边形MNPQ是平行四边形，又∵PQ＝21BD，QM＝21AC，AC＝BD，∴PQ＝QM，∴平行四边形MNPQ是菱形，∴QN⊥PM．11．连结11CA交11DB于1O，连结BD交AC于O，连结1OO，在矩形CACA11中，1O是11CA中点，O是AC中点，则ACOO1于O．同理111DBOO于1O，∴1OO是异面直线AC和11DB的公垂线．∵1OO＝1CC＝a，∴AC与11DB间的距离为a．12．（1）∵1AA∥1BB∥1CC，1AA＝1BB＝1CC，∴CCAA11是平行四边形，∴AC∥11CA，又MN∥AC，因此，MN∥11CA．（2）由（1），11ABC是异面直线MN与1BC所成角．在△11CBA中，21BC，5111CABA．于是有1010cos11ABC．拓展练习1．（1）由三角形中位线定理可知EF21AC，HG21AC，于是EFHG，故四边形EFGH为平行四边形；（2）当AC＝BD时，由EF＝21AC，EH＝21BD，得EF＝EH，即平行四边形EFGH的邻边相等，故平行四边形EFGH为菱形；（3）要使平行四边形EFGH为矩形，需且只须一个角是直角．如需EF⊥FG，则AC⊥BD；（4）要使平行四边形EFGH为正方形，需且只须AC⊥BD，且AC＝BD；2．（1）在一个平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；在空间也如此．（2）在一个平面内，过一点（该点可在直线上，也可在直线外）