江苏省前黄高中2005~2006年度高二年级上学期期末考试数学试题

ABCA1C1FEB1D1D江苏省前黄高中2005~2006年度高二年级上学期期末考试数学试题2006.1.22命题人：张国良李学富本试卷分选择题、填空题及解答题三部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．请考生把选择题的答案填涂到答题卡上，填空题及解答题统一做在答卷纸上。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。1．双曲线221xy的左焦点到其渐近线的距离是A．12B．22C．1D．22．一动圆与圆05622xyx及圆091622xyx都内切，则动圆圆心的轨迹是A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆3．在正方体1111DCBAABCD中，表面的对角线中与1AD成60的有A．4条B．6条C．8条D．10条4．若一个ABC，采用斜二测画法作出其直观图是面积等于1的111CBA，则原ABC的面积是A．21B．2C．2D．225．当17k且8k时，曲线181722kykx与曲线117822yx的A．焦距相等B．准线相同C．焦点相同D．离心率相等6．在平面直角坐标系xoy中，抛物线2xy上异于坐标原点O的两不同点BA,满足OBOA，则直线AB必过定点A．)0,1(B．)1,0(C．)0,2(D．)2,0(7．若实数yx,满足01422xyx，则xy的最小值是A．3B．33C．33D．38．已知点)2,3(A，F是双曲线1322yx的右焦点，若双曲线上有一点P，使PFPA21最小，则点P的坐标为A．)2,321(B．)2,321(C．)62,3(D．)62,3(9．过抛物线xy42的焦点F的直线与抛物线相交于BA,两点，自BA,向准线作垂线，垂足分别为1A、1B，则焦点F与以线段11BA为直径的圆C之间的位置关系是A．焦点F在圆C上B．焦点F在圆C内C．焦点F在圆C外D．随直线AB的位置改变而改变10．已知lm,是直线，,是平面，给出下列四个命题：（1）若l垂直于内的两条直线，则l；（2）若lm,//，则lm；（3）若//l，则l平行于内的所有直线；（4）若lm,且,//则lm//.其中正确命题的个数是A．0B．1C．2D．311．如图，已知1AA与1BB是异面直线，且21AA，11BB，1BBAB，111BBBA，则1AA与1BB所成的角为A．30B．45C．60D．9012．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是A．相交但不垂直B．相交且垂直C．异面D．平行二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。13．已知)2,5,1(A、)1,4,2(B、)2,3,(qpC三点共线，则qp▲．14．若实数yx,满足1255334xyxyx，则yx2的最大值是▲．15．椭圆22142xy中过P（1，1）的弦恰好被P点平分，则此弦所在直线的方程是▲．16．已知平行六面体1111CBAOOABC，且aOA，bOC，c1OO，若点G是侧面BBAA11的中心，OGcbazyx，则zyx▲．17．已知椭圆2212516xy与双曲线22221(0,0)xymnmn具有相同的焦点F1，F2，设两曲线的一个交点为P，9021FPF，则双曲线的离心率为▲．18．若关于x的方程mxx42没有实数解，则实数m的取值范围为▲．A1B1BA江苏省前黄高中2005~2006年度高二年级上学期期末考试数学答卷纸二、填空题13．14．15．16．17．18．三、解答题19．（本小题满分12分，每小题满分6分）已知圆C：25)2()1(22yx，直线l：)(047)1()12(Rmmymxm．（1）求证：不论m取何实数，直线l恒过一个定点；（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时，直线l的方程．20．（本小题满分12分，每小题满分6分）如图，已知边长都为1正方形ABCD与正方形ABEF，90DAF，NM,分别是对角线AC和BF上的点，且)20(aaFNAM．（1）求证：//MN平面BCE；（2）求MN的最小值．21．（本小题满分14分，第一小题满分4分，第二、第三小题满分各5分）如图，在棱长为1的正方体1111DCBAABCD中，GFE,,分别为11BA、11CB、11DC的中点．（1）求异面直线AG与BF所成角的余弦值；（2）求证：//AG平面BEF；（3）试在棱1BB上找一点M，使DM⊥平面BEF，并证明你的结论．AFEBCDMNABEGFCD1A1B1C1D22．（本小题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F，过点F作直线PF垂直于该双曲线的一条渐近线1l于36(,)33P．（1）求该双曲线的方程；（2）过点F作直线2l交该双曲线于NM,两点，如果4MN，求直线2l的方程．23．（本小题满分14分，前三小题满分各4分，第四小题满分2分）如图，在ABCRt中，90CAB，2AB，23AC，一曲线E过点C，且曲线E上任一点到BA,两点的距离之和不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2）设点Q是曲线E上的一动点，求线段QA中点的轨迹方程；（3）设NM,是曲线E上不同的两点，直线CM和CN的倾斜角互补，试判断直线MN的斜率是否为定值。如果是，求这个定值；如果不是，请说明理由．（4）若点D是曲线E上的任一定点（除曲线E与直线AB的交点），NM,是曲线E上不同的两点，直线DM和DN的倾斜角互补，直线MN的斜率是否为定值呢？如果是，请你指出这个定值。（本小题不必写出解答过程）CAB江苏省前黄高中2005~2006年度高二年级上学期期末考试数学参考答案一、选择题（每小题5分）题号123456789101112答案CACDABDBABCD二、填空题（每小题4分）13．514．1215．032yx16．217．3518．)2,0[)2,(三、解答题19．解：（1）把直线l方程整理为：04)72(yxmyx[3分]令1304072yxyxyx故不论m取何实数，直线l过定点P（3，1）[6分]（2）由于直线l过定点P（3，1）在圆C内，故当直线l垂直于PC时，直线l被圆C截得的弦长最小。[8分]∵21PCk，∴2lk[10分]∴直线l的方程是)3(21xy，即52xy[12分]20．（1）证明：过M作ABMP，垂足为P，连结PN。∵PBAPMCAM，又NBFNMCAM∴NBFNPBAP[2分]∴AFPN//∴平面//MPN平面CBE[4分]从而//MN平面BCE[6分]（2）90MPNaPNaMP221,22[8分]由勾股定理知：21)22(1222222aaaPNMPMN[10分]当aa22时，MN的最小值为22。[12分]21．解：（1）以D为坐标原点，1,,DDDCDA分别作为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，则)0,0,1(A，)0,1,1(B，)1,21,1(E，)1,1,21(F，)1,21,0(G[1分]∴)1,21,1(AG，)1,0,21(BF[2分]∴552252323,cosBFAG故异面直线AG与BF所成角的余弦值为552[4分]（2）∵)0,21,21(EF，)1,0,21(BF[5分]而)1,21,1(AG，∴BFEFAG[7分]故AG与平面BEF共面，又AG不在平面BEF内∴//AG平面BEF[9分]（3）设),1,1(mM，则),1,1(mDM由0,0BFDMEFDM[11分]∴21021mm[13分]M为棱1BB的中点时，DM⊥平面BEF。[14分]注：此题直接取11DA的中点也可以较方便地解决前两小题，第三小题可用三垂线定理解决。22．（1）设F（c，0），1:,:()balyxPFyxcab[1分]解方程组()byxaayxcb得2(,)aabPcc[3分]又已知36(,).33P1,2ab[5分]∴双曲线方程为2212yx[6分]AFEBCDMNP（2）若直线2l过右焦点为F（3,0），可设直线2l的方程为3myx代入2212yx，得22(21)4340mymy[8分]设),(),,(2211yxNyxM则121222434,2121myyyymm[9分]∴21224121myym故221224(1)121mMNmyym[11分]∴224(1)421mm解得：0m或2m[13分]∴所求直线2l的方程为3x和2(3).2yx[14分]（若遗漏3x则扣3分）23．解：以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系。∵4CBCA[1分]不难知道：曲线E是以BA,为两焦点、长轴长为4的椭圆。[3分]故曲线E的方程为13422yx[4分]（2）设线段QA的中点为),(yxP，∵)0,1(A，∴)2,12(yxQ[5分]∵点Q在曲线E上，故可得：13)2(4)12(22yx[7分]即线段QA中点的轨迹方程为134)21(22yx[8分]（3）设直线CM和CN的斜率分别为kk,直线CM的直线方程为)1(23xky代入曲线E的方程，得03124)23(8)43(222kkxkkxk[9分]由韦达定理：22433124kkkxxMC，∴22433124kkkxM同理22433124kkkxN[10分]而)1(23MMxky，)1(23NNxky∴2143244312)2(22kkkkxxxxkxxyykNMNMNMNMMN故直线MN的斜率为定值21[12分]（4）设),(baD，则直线MN的斜率为定值ba43[14分]（第四小题可用极限情形来考虑：当直线DM和DN的倾斜角都为90时，直线MN即为),('baD处的切线）命题人：张国良李学富CAByxOMNCAByxO