集合、子集

集合、子集一、学习目标1.理解集合的概念．2.掌握集合的表示法：列举法、描述法、图示法．3.理解子集的概念，掌握“属于、包含、相等”三种关系的有关术语和符号，形成正确、简明的集合语言．二、例题第一阶梯1.什么是集合、集合的元素？怎样表示元素与集合的关系？集合有哪些基本性质？参考答案：一组对象的全体，就形成一个集合．集合里的各个对象叫做集合的元素．集合用大写拉丁字母表示，如N、Z、Q等．元素用小写拉丁字母表示，如a．集合和元素的关系是“属于”和“不属于”的关系，其符号是“∈”和“”．，如a是集合A的元素，记作a∈A，如果a不是集合B的元素，记作aB．集合的元素有两个基本性质：(1)确定性对于集合A和元素x有明确的关系，是x∈A，还是xA，二者必居其一．(2)互异性在同一集合中，任何两个元素必须是不同的，相同的元素，只能算作一个．例如方程x2＋2x＋1=0有相等二根：x1=－1，x2=－1，但在集合语言，方程x2＋2x＋1=0的解集应是{－1}，而不可写为{－1，－1}．任何集合的元素都有上述两个共性，所以我们把元素的确定性和互异性称为集合的基本性质．说明：集合和元素是最原始的不定义概念，就和“点”、“线”、“面”一样，都是不加定义的．因此，你不要追求集合的严格定义，只能用它的两个基本性质理解它．由元素的确定性和互异性，必然推出集合的元素具有无序性，例如，{1，2，3}={1，3，2}．请记住常用数集的代号：N={自然数}={正整数}，Z={整数}，Q={有理数}，Q＋={正有理数}，R={实数}，R＋={正实数}2.怎样表示集合？参考答案：3.什么叫子集、等集、真子集？什么叫空集？参考答案：任意的xÎAÞÞxÎB，则称A是B的子集，记作AÍB，读作A包含于B，或说B包含A．如果AÍB，且BÍA，则称A=B．如果AÍB，且A≠B，则称A是B的真子集，记作AÌB，不含任何元素的集合叫做空集，记作f．说明：(1)关于子集和真子集有下列推论：①AÍBÞAÌB或A=B，且二者必居其一；②AÌBÞÞAÍB；③AÍA（A是任何集合）；④规定fÍA（A是任何集合）．(2)子集与真子集是集合与集合的包含关系，等集是集合与集合的相等关系．“包含”与“相等”关系都是集合与集合的关系，它们和元素与集合的关系不同，后者是属于（ÎÎ）与不属于（ÏÏ）的关系．“包含”、“相等”、“属于”是重要的三大关系，易错易混，要注意区分．第二阶梯1.化简下列集合：(1){x||x|=x2}；(2){x|)};(3){不超过10的质数}．[提示]用列举法来化简集合．[参考答案](1){x||x|=x2}={－1,0,1}.(2)原集合化简为{－1，}．(3)原集合化简为{2，3，5，7}．[说明]列举法具有化简有限集合的功能．2.已知集合A{x,xy,xy－1},xÎZ,yÎZ,且y≠0.如果0ÎA，求A．[提示]利用集合元素的互异性，分类讨论[参考答案]由0ÎA，y≠0ÞÞx=0，或xy－1=0.若x=0,则xy=0,此时A中的元素x、xy相同，所以x≠0．若xy－1=0，由于x,yÎZ，所以x=y=1，或x=y=－1．当x=y=1时，A={1，1，0}P这与元素互异相矛盾，因此，只能x=y=－1．所以，A={－1，1，0}．3.下列命题中，正确的是（）．(A)R＋ÎR(B)Z＋ÉÉ{x|x≥0,xÎZ}(C)空集是任何集合的真子集(D)fÎ{f}[提示](A)中R＋不是元素，R＋与R的关系是包含关系，不是属于关系.(B)0Î{x|x≥0,xÎZ},但0ÏZ＋.(C)当任何集合为空集时，即为反例.(D){f}表示以空集f为元素的集合，故（D）正确．[参考答案]（D）4.已知A={x|1≤x≤2},B={x|(x－1)(x－a)≤0,aÎR},且AÌB，求实数a的取值集合[提示]用数轴表示数集A，B，比较端点，即可解．[参考答案]A={x|1≤x＜2＝．如图4．对于B：当a=1时，B={1}，此时AÌB无解；当a＜1时，B={x|a≤x≤1}，此时AÌB也无解；当a＞1时，B={x|1≤x≤a}，此时AÌB，得解a≥a，综上，a的取值集合是{a|a≥2}．[说明]用数轴表示集合是集合的一种图示法，属于数形结合法，是解决集合问题的好方法．第三阶梯1.判定下列A和B的关系：（1）（2）（3）（4）[提示]利用子集、真子集和等集的概念解题．[参考答案]（1）因为．（2）因为A=φ，所以A=B．（3）A={x|x≥3}，B={y|y≥1}，所以AÉB．（4）[说明]判定两个集合之间的关系的通法：通过元素与集合的关系（），确定集合与集合的关系（）；数形结合，用图示法．注意集合的列举法、描述法和图示法三法之间的相互转化，其中描述法较难，常将描述法转化为列举法或图示法．2.（1）列出下列集合的所有子集：．（2）试猜想有限集的子集个数[提示]（1）根据子集的定义，一一列举各集合的子集，注意列举和计数的规律．（2）根据（1），用归纳法猜测．[参考答案]（1）A1的子集：φ，A2的子集：φ，，，（2）由（1）可知：A1，A2，A3的子集个数分别为21，22，23．∴猜想An的子集个数为2n．三、练习题1．方程组（）A．B.C.D.2．已知，，．如果a∈M0，b∈M1，c∈M2,那么a+b-c∈A．B．C．D．3．=A．B．C．D．4．集合M={1，2}，P={x|ax－1=0}，若PÌM，则满足条件的实数a的个数是（）A．无穷多B．3C．2D．15．集合{12的正因数}用列举法表示为6．集合{1，2，3}的所有真子集是7.一次函数y=2x－2的图象与坐标轴的交点的集合是8.若{x|(a+1)xa+1,a∈R}={x|x1}，那么a的取值范围是9.已知集合A={x|x2+x－2=0},B={x|(x2+x－2)(x2+ax+4)=0}，如果AÌB，那么实数a的取值集合是10.一次函数y=2x－2的图象与坐标轴的交点的集合是________________11.若{x|(a+1)xa+1,a∈R}={x|x1}，那么a的取值范围是________________12．已知集合A={x|x2+x－2=0},B={x|(x2+x－2)(x2+ax+4)=0)，如果AÌB，那么实数a的取值集合是_______________答案：1---4C，C，D，B5.{1，2，3，4，6，12}6.φ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}7.{（1，0），（0，－2）}8.a－19.{a|a4，或a≤－4}10．{（1，0），（0，－2）}11．a－112．{a|a4，或a≤－4}