黄冈中学高考数学第三轮综合能力测试题(五)

黄冈中学高考数学第三轮综合能力测试题(五)一、选择题：1．已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋3)＝f(x＋1)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，则y＝f(x)与y＝log5x的图象交点的个数是()A．3B．4C．5D．62．已知△ABC中，若AB2→＝AB→·AC→＋BA→·BC→＋CA→·CB→，则△ABC是()A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形3．已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(－34,0)对称，且满足f(x)＝－f(x＋32)，f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2005)的值为()A．－2B．－1C．0D．14．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S1＝1，点(n,sn)在曲线C上，C和直线x－y＋1＝0交于A、B两点，且|AB|＝6，则此数列的通项公式为()A．an＝2n－1B．an＝3n－2C．an＝4n－3D．an＝5n－45．做一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，用下列四种长度的铁管，最合理(够用，且浪费最少)的是()A．4.6mB．4.8mC．5mD．5.2m6．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{－1,0,1}，满足条件f(3)＝f(1)＋f(2)的映射f：A→B的个数是()A．7B．6C．4D．27．若不等式4≤3sin2x－cos2x＋4cosx＋a2≤20对一切x都成立，则a的取值范围是()A．[―5,―3]∪[3,5]B．[－4,4]C．[－3,3]D．[―4,―3]∪[3,4]8．正三棱锥的侧棱长为m，底面边长为a，则ma的取值范围是()A．[36,＋∞)B．(36,＋∞)C．[33,＋∞)D．(33,＋∞)9．若复数Z＋i在映射f下的象为Z－·i，则－1＋2i的原象为()A．2B．2－iC．－2＋iD．－1＋3i10．一同学投篮的命中率为23，他连续投篮3次，其中恰有2次命中的概率为()A．23B．427C．29D．4911．已知数列{an}对任意的n∈N＋，满足a2n＋2＝an·an＋4，且a3＝2，a7＝4，则a15的值是()A．8B．12C．16D．3212．已知二项式(tanθx－x)6展开式中不含x的项为160，则tanθ值为()A．2B．－2C．43D．－43题号123456789101112答案二、填空题：13．定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，则集合{1,3,5,7,9}的“孙集”的个数有＿＿＿＿＿个．14．已知数列{an}满足a1＝1，an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n―1)an―1(n≥2)．则其通项an＝＿＿＿＿＿＿＿＿15．已知函数f(x)＝Log12(x2―ax―a)的值域为R，且f(x)在(1＋3,＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿16．有两个向量e1→＝(1,0)，e2→＝(0,1)，今有动点P，从P0(－1,2)开始沿着与向量e1→＋e2→相同的方向作匀速直线运动，速度为|e1→＋e2→|，另一动点Q，从Q0(―2,―1)开始沿着与向量3e1→＋2e2→相同的方向作匀速直线运动，速度为|3e1→＋2e2→|，设P、Q在时刻t＝0时分别在P0、Q0处，则当PQ→⊥P0Q0→时，t＝＿＿＿＿＿＿秒．三、解答题：17．设函数f(x)＝4sinx·sin2(π4＋x2)＋cos2x，条件P：π6≤x≤2π3；条件q：|f(x)－m|＜2，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．18．甲、乙、丙三人分别独立解一道数学题,已知甲做对这道题的概率是34，甲、丙两人都做错的概率是112，乙、丙两人都做对的概率是14．(1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率．19．已知三棱锥P－ABC中，PC⊥底面ABC，AB＝BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．(1)求证：AP⊥平面BDE．(2)若AE∶EP＝1∶2，求截面BEF分三棱锥P－ABC所成的上、下两部分的体积比．20．已知f(x)在(－1,1)上有定义，f(12)＝－1，且满足x,y∈(－1,1)有f(x)＋f(y)＝f(x＋y1＋xy)，(1)判断f(x)在(－1,1)上的奇偶性；ABCEPFD(2)对数列x1＝12，xn＋1＝2xn1＋x2n，求f(xn)．(3)求证：1f(x1)＋1f(x2)＋…＋1f(xn)＞－2n＋5n＋2．21．将一块圆心角为120°，半径为20cm的扇形铁片截成一块矩形，如图，有2种截法：让矩形一边在扇形的一半径OA上或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值．22．已知双曲线c的中心在原点，抛物线y2＝8x的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线c过点(2,3)．(1)求双曲线C的方程；(2)设双曲线C的实轴左顶点为A，右焦点为F，在第一象限内任取双曲线C上一点P，试问是否存在常数λ(λ＞0)使得∠PFA＝λ∠PAF恒成立？并证明你的结论．ACMBONθ(甲)ACMBODα(乙)N2006届高三数学第三轮复习训练题(五)参考答案1．B2．C3．D解：点(x，y)关于(－34，0)对称点为(－32－x，－y)，∴－y＝f(－32－x)＝－f(－x)．即f(－x)＝f(x)，f(x)偶，∴f(1)＝f(－1)＝1，又f(x)＝－f(x＋32)＝f(x＋3)，∴T＝3，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2005)＝668·[f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(1)＝668·[1＋1－2]＋1＝1．4．C解：令y＝d2n2＋(1－d2)n＝n＋1n2－n－2d＝0，|AB|＝2|n1－n2|＝2·1＋8d＝6．∴d＝4，故an＝a1＋(n－1)·d＝4n－3．5．C6．A解：f(3)＝f(1)＋f(2)－1－100－100－1101－1共7个101107．D解：4(cosx－12)2≤a2≤4(cos－12)2＋169≤a2≤16．8．D解：设侧面顶角为θ，则3θ＜360°，θ2＜60°，sinθ2＝a2m＜32ma＞33．9．A解：z－·i＝－1＋2i＝i(2＋i)，∴z＝2－i，∴z＋i＝2．10．D解：P＝C23·(23)2·(1－23)＝49．11．C解：∴q4＝a7a3＝2，∴a15＝a7·q8＝4×22＝16．12．B13．26解：φ，单元数集5个．2元素集C25＝10个，3元素集＝C35＝10个，共26个．14．1，(n＝1)12n，(n≥2)解：an＋1－an＝nan∴an＋1an＝n＋1(n≥2)．又a1＝1，a2＝1．∴an＝a1·a2a1·a3a2·a4a3…anan－1＝1·1·3·4·5…n＝n！2(n≥2)15．(―∞,―4]∪[0,2]解：令g(x)＝x2―ax―a，则g(x)＝0有解△≥0a≤－4或a≥0且g(1＋3)≥0轴a2≤1＋3a≤2a≤2＋23a≤2．16．2解：P0P→＝t(e1→＋e2→)＝(t,t)，∴P(t－1,t＋2)，Q0Q→＝t(3e1→＋2e2→)＝(3t,2t)，∴Q(3t―2,2t―1)．∴P0Q0→＝(―1,―3)．PQ→＝(2t―1,t―3)．当P0Q0→·PQ→＝0时，t＝2．17．解：f(x)＝2sinx[1－cos(π2＋x)]＋cos2x＝2sinx(1＋sinx)＋1－2sin2x＝2sinx＋1∵P∶π6≤x≤2π3，∴2≤f(x)≤3．由Pq．∴m－2＜f(x)＜m＋2．∴m－2＜2m＋2＞3m∈(1,4)．18．解：(1)记甲、乙、丙三人独立做对这道题的事件分别为A、B、C，依题得：P(A)＝34．P(A－·C－)＝[1―P(A)][1―P(C)]＝112．P(B·C)＝P(B)·P(C)＝14．P(A)＝34，P(B)＝38，P(C)＝23．故乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为38，23．(2)甲、乙、丙三人中恰好有两人做对这道题的概率为P(ABC－＋AB－C＋A－BC)＝P(A)·P(B)·P(C－)＋P(A)·P(B－)·P(C)＋P(A－)·P(B)·P(C)＝34×38×13＋34×58×23＋14×38×23＝332＋1032＋232＝1532．甲、乙、丙都做对这道题的概率为P(ABC)＝34×38×23＝632．故甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率为2132．19．(1)证明：∵PC⊥底面ABC．∴PC⊥BD．由AB＝BC，D为AC中点．∴BD⊥AC．∴BD⊥面PACBD⊥PA．又DE⊥PA．∴PA⊥面BDE．(2)解：设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2，则h1∶h2＝EP∶AP＝2∶3a∈(―∞,―4]∪[0,2]xm－2m＋223oo∴VE－PBFVA－PBC＝13h1·S△PBF13h2·S△PBC＝23·12＝13．20．解：(1)令x＝y＝0．得f(0)＝0．令y＝－x．f(x)＋f(－x)＝0．∴f(x)奇；(2)f(x1)＝f(12)＝－1，f(xn＋1)＝f(2xn1＋x2n)＝f(xn＋xn1＋xn·xn)＝f(xn)＋f(xn)＝2f(xn)，∴f(xn)是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴f(xn)＝―2n―1．(3)1f(x1)＋1f(x2)＋…＋1f(xn)＝－(1＋12＋122＋…＋12n－1)＝－2＋12n－1＞－2．又－2n＋5n＋2＝―2―1n＋2＜－2．∴原不等式成立．21．解：在甲中，连OM，设∠MOA＝θ，θ∈(0,π2)，则S矩＝200sin2θ．∴当θ＝π4时，S甲矩max＝200cm2．在乙中，连OM，设∠MOA＝α,α∈(0,π3)．∵∠DOC＝120°．∴∠DCO＝30°．∠OCM＝30°＋90°＝120°．∴∠OMC＝180°―α―120°＝60°－α．在△OMC中，OCsin[180°－α－120°]＝MCsinα＝OMsin120°∴MC＝403sinα．同理OC＝403sin(60°－α)．又在△OCD中，CD＝2·CE＝2·OC·sin60°＝3·OC＝40sin(60°－α)．∴S乙矩＝CD·MC＝16003sinα·sin(60°－α)＝80033[cos(2α－60°)－12]．∴当α＝30°时，S乙矩max＝40033＞200．故乙方案裁法得到最大面积矩形，最大值为40033cm2．22．解：(1)依题设双曲线C方程：x2a2－y2b2＝1(a＞0,b＞0)．将(2,3)代入得2a2－3b2＝1．①又抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)∴C的一个焦点为(2,0)．故c2＝a2＋b2＝4．②由①②解得：a2＝1，b2＝3，故所求双曲线C的方程为x2－y23＝1．(2)假设存在适合题意的常数λ(λ＞0)此时F(2,0)，A(－1,0)．①当PF⊥x轴时，可得P(2,3)，|PF|＝|AF|＝3．△PFA为等腰rt△，∠PFA＝90°，∠PAF＝45°．此时λ＝2．②当PF⊥x轴时，设∠PFA＝2∠PAF恒成立．设P(x1,y1)(x1＞0,y1＞0)，KPA＝y1x1＋1．KPF＝y1x1－2，tan2∠PAF＝2tan∠PAF1－(tan∠PAF)2＝2KPA1－K2PA＝2(x1＋1)·y1(x1＋1)2－y21．又x21－y213＝1．y21＝3(x21－1)＝3(x1＋1)(x1－1)代入③得：tan2∠PAF＝2y1(x1＋1)－3(x1－1)＝－y1x1－2③又∵tan∠PFA＝－KPF＝－y1x1－2．即tan2∠PAF＝tan∠PFA．易知2∠PAF∈(0,π)，∠PFA(0,π)．∴∠PFA＝2∠PAF恒成立．综合①②知：存在常数λ＝2．满足题设要求．AFpyxo··