高一数学指数与对数函数练习

变式练习四一、选择题1．函数f（x）＝)1(log21－x的定义域是（）A．（1，＋∞）B．（2，＋∞）C．（－∞，2）D．]21(，解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，所以0)1(log0121－＞－xx解得1＜x≤2．答案：D2．函数y＝21log（x2－3x＋2）的单调递减区间是（）A．（－∞，1）B．（2，＋∞）C．（－∞，23）D．（23，＋∞）解析：先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝21log（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减．答案：B3．若2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，则xy的值为（）A．4B．1或41C．1或4D．41错解：由2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y，则有xy＝41或yx＝1．答案：选B正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x－2y＞0，所以x＞2y．所以x＝y舍掉．只有x＝4y．答案：D4．若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝a2log（x＋1）满足f（x）＞0，则a的取值范围为（）A．（0，21）B．（0，21）C．（21，＋∞）D．（0，＋∞）解析：因为x∈（－1，0），所以x＋1∈（0，1）．当f（x）＞0时，根据图象只有0＜2a＜l，解得0＜a＜21（根据本节思维过程中第四条提到的性质）．答案：A5．函数y＝lg（x－12－1）的图象关于（）A．y轴对称B．x轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称解析：y＝lg（x－12－1）＝xx－＋11lg，所以为奇函数．形如y＝xx－＋11lg或y＝xx－＋11lg的函数都为奇函数．答案：C二、填空题已知y＝alog（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是__________．解析：a＞0且a≠1（x）＝2－ax是减函数，要使y＝alog（2－ax）是减函数，则a＞1，又2－ax＞0a＜32（0＜x＜1）a＜2，所以a∈（1，2）．答案：a∈（1，2）7．函数f（x）的图象与g（x）＝（31）x的图象关于直线y＝x对称，则f（2x－x2）的单调递减区间为______．解析：因为f（x）与g（x）互为反函数，所以f（x）＝31logx则f（2x－x2）＝31log（2x－x2），令（x）＝2x－x2＞0，解得0＜x＜2．（x）＝2x－x2在（0，1）上单调递增，则f［（x）］在（0，1）上单调递减；（x）＝2x－x2在（1，2）上单调递减，则f［（x）］在［1，2）上单调递增．所以f（2x－x2）的单调递减区间为（0，1）．答案：（0，1）8．已知定义域为R的偶函数f（x）在［0，＋∞］上是增函数，且f（21）＝0，则不等式f（log4x）的解集是______．解析：因为f（x）是偶函数，所以f（－21）＝f（21）＝0．又f（x）在［0，＋∞］上是增函数，所以f（x）在（－∞，0）上是减函数．所以f（log4x）＞0log4x＞21或log4x＜－21．解得x＞2或0＜x＜21．答案：x＞2或0＜x＜21三、解答题9．求函数y＝31log（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函数的值域是R＋．因为函数y＝31log（x2－5x＋4）是由y＝31log（x）与（x）＝x2－5x＋4复合而成，函数y＝31log（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）＝x2－5x＋4在（－∞，25）上为减函数，在［25，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝31log（x2－5x＋4）的增区间是定义域内使y＝31log（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；y＝31log（x2－5x＋4）的减区间是定义域内使y＝31log（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．10．设函数f（x）＝532＋x＋xx2323lg＋－，（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；（3）已知函数f（x）的反函数f－1（x），问函数y＝f－1（x）的图象与x轴有交点吗?若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．解：（1）由3x＋5≠0且xx2323＋－＞0，解得x≠－35且－23＜x＜23．取交集得－23＜x＜23．（2）令（x）＝3x＋5，随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；xx2323＋－＝－1＋x236＋随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数．又y＝lgx在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y＝xx2323lg＋－是减函数，所以f（x）＝532＋x＋xx2323lg＋－是减函数．（3）因为直接求f（x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．设函数f（x）的反函数f－1（x）与工轴的交点为（x0，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f（x）与y轴的交点是（0，x0），将（0，x0）代入f（x），解得x0＝52．所以函数y＝f－1（x）的图象与x轴有交点，交点为（52，0）。欢迎访问