高三数学教学质量抽测

高三数学教学质量抽测本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第I卷（选择题共60分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P（A+B）＝P（A）+P（B）S＝4πR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P（A·B）＝P（A）·P（B）球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P.334RV那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概其中R表示球的半径率knkknnPPCkP)1()(一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）不等式011xx的解集是（A）}1|{xx（B）}1,1|{xxx（C）}1|{}1|{xxxx（D）}1|{}1|{xxxx（2）若是第二象限的角，且2sin3，则cos（A）13（B）13（C）53（D）53（3）圆的一条直径的端点是A（2，0），B（2，－2），则圆的方程是（A）042422yxyx（B）042422yxyx（C）224240xyxy（D）042422yxyx（4）三棱锥D—ABC的三个侧面分别与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与BCA为面的二面角的大小为（A）300（B）450（C）600（D）900（5）下列各式中，对任何实数x都成立的一个是（A）1112x（B）xx2lg)1lg(2（C）12xx2（D）21xx（6）等差数列na中，12010S，那么29aa的值是（A）12（B）24（C）16（D）48（7）下列命题中，正确的是（A）平行于同一平面的两条直线平行（B）与同一平面成等角的两条直线平行（C）与同一半平面成相等二面角的两个半平面平行（D）若平行平面与同一平面相交，则交线平行（8）二项式6)13(xx的展开式的常数项是（A）20（B）20（C）540（D）540（9）电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为（A）0.384（B）13（C）0.128（D）0.104（10）已知目标函数z＝2x＋y，且变量x、y满足下列条件：4335251xyxyx，则（A）z最大值＝12，z无最小值（B）z最小值＝3，z无最大值（C）z最大值＝12，z最小值＝3（D）z最小值＝265，z无最大值（11）探索以下规律：则根据规律，从2002到2004，箭头的方向依次是（A）（B）（C）（D）（12）已知点M（－3，0），N（3，0），B（1，0），圆C与直线MN切于点B，过M、N与1256791011……，0348圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（A）221(1)8yxx（B）)1(1822xyx（C）1822yx（x0）（D）221(1)10yxx高三教学质量抽测数学第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：⒈第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．⒉答卷前将密封线内的项目填写清楚．题号二三总分171819202122分数二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上。（13）由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的5位数，其中奇数有个．（14）一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为.（15）曲线xy5上与直线2x－y－4＝0平行的切线的纵截距是．（16）设函数)212,0)(sin()(xxf,给出以下四个论断：①()fx的周期为π；②()fx在区间（6,0③()fx的图象关于点（3,0④()fx的图象关于直线12x对称.（只需将命题的序号填在横线上）．三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题12分）已知|a|＝1，|b|＝2，（I）若a//b，求ab；（II）若a，b的夹角为135°，求|a＋b|．（18）（本小题12分）袋中装有3个白球和4个黑球，现从袋中任取3个球，设ξ为所取出的3个球中白球的个数．（I）求ξ的概率分布；（II）求Eξ．（19）（本小题12分）如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AA1、BB1的中点，求：（I）CM与D1N所成角的余弦值；（II）异面直线CM与D1N的距离．（20）（本小题12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|＝3米，|AD|＝2米，（I）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？（II）若AN的长度不少于6米，则当AM、AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．ABCDMNP（21）（本小题12分）如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且0ACBC，|BC|＝2|AC|．（I）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（II）如果椭圆上有两点P、Q，使∠PCQ的平分线垂直于AO，证明：存在实数λ，使PQAB．（22）（本小题14分）已知数列{an}是首项为3，公比为21的等比数列，Sn是其前n项和．（Ⅰ）试用Sn表示Sn＋1；（Ⅱ）是否存在自然数c、k，使得1kkScSc＞3成立？证明你的论断.AOBC高三教学质量抽测数学参考答案及评分标准一、CDADABDDABCB二、（13）36（14）9π（15）258（16）①④②③或①③②④三、（17）解：（I）∵a//b，①若a，b共向，则ab＝|a|•|b|＝2…………………3′②若a，b异向，则ab＝－|a|•|b|＝－2………………6′（II）∵a，b的夹角为135°，∴ab＝|a|•|b|•cos135°＝－1……8′∴|a＋b|2＝（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝1＋2－2＝1…………11′∴||1ab……………………………………12′（18）解：（I）ξ的可能取值为0，1，2，3.……………………………………1′∵P（ξ＝0）＝3437CC＝435；P（ξ＝1）＝123437CCC＝1835；P（ξ＝2）＝213437CCC＝1235；P（ξ＝3）＝303437CCC＝135.…………5′∴ξ的分布列为：ξ0123P43518351235135（II）Eξ＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×135＝97.…………………………………12′（19）解：（I）如图，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，……………1′则C（0，2，0）、D1（0，0，2）、M（2，0，1）、N（2，2，1），∴CM＝（2，－2，1），1DM＝（2，2，－1），……3′设CM与D1N所成的角为α，则cosα＝11CM22(2)21(1)33|CM|||DNDN＝－19＜0∴α为钝角，∴CM与D1N所成的角为θ＝π－α，即cosθ＝19…………7′xzyNMC1D1B1A1CDAB（解法2：设CM与D1N所成的角为θ，则cosθ＝11|CM||22(2)21(1)|33|CM|||DNDN＝19）………………………………6′（II）取DD1的中点E，分别连接EM、EB，则EM∥BC，EB∥D1N，∴B、C、E、M共面且D1N∥平面BCEM，∴D1到平面BCEM的距离d等于异面直线CM与D1N的距离，……………………8、∵11111DBCEMBAACDDBAMCDEBNADVVVV＝（21―41―112）·23＝34…………10、即31SBCEM·d＝34而SBCEM＝BM·BC＝25∴d＝255………………………………………………………………………………12、解法2：设CM，1DN的法向量为n＝（x，y，z）则220220xyzxyz02xzy，取n＝（0，1，2）………………………………8′∴异面直线CM与D1N的距离d＝1||2255||5DMnn………12′（20）解：设AN的长为x米（x2）∵|DN||DC||AN||AM|，∴|AM|＝32xx∴SAMPN＝|AN|•|AM|＝232xx………3′（I）由SAMPN32得232xx32，∵x2，∴2332640xx，即（3x－8）（x－8）0∴8283xx或即AN长的取值范围是8(2)(8)3，，+………6′（II）令y＝232xx，则y′＝2226(2)334)(2)(2)xxxxxxx（………8′ABCDMNP∴当x4，y′0，即函数y＝232xx在),4(上单调递增，∴函数y＝232xx在),6[上也单调递增。………10′∴当x＝6时y＝232xx取得最小值即SAMPN取得最小值27（平方米）此时|AN|＝6米，|AM|＝4.5米………………12′（21）解：（I）以O为原点，OA为X轴建立直角坐标系，设A（2，0），则椭圆方程为22214xyb………………………………………………2′∵O为椭圆中心，∴由对称性知|OC|＝|OB|又∵0ACBC，∴AC⊥BC又∵|BC|＝2|AC|∴|OC|＝|AC|∴△AOC为等腰直角三角形∴点C的坐标为（1，1）∴点B的坐标为（－1，－1）……………………4′将C的坐标（1，1）代入椭圆方程得243b，则求得椭圆方程为223144xy……………………………………6′（II）由于∠PCQ的平分线垂直于OA（即垂直于x轴），不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为－k，因此PC、QC的直线方程分别为y＝k（x－1）+1，y＝－k（x－1）+1由22(1)13144ykxxy得（1＋3k2）x2－6k（k－1）x＋3k2－6k－1＝0（*）……8′∵点C（1，1）在椭圆上，∴x＝1是方程（*）的一个根，∴xP•1＝2236131kkk即xP＝2236131kkk同理xQ＝2236131kkk………………………………………………………9′∴直线PQ的斜率为2222(31)2()213112331PQPQPQPQkkkyykxxkkkxxxxk（定值）…………………………………………………………………………11′又∠ACB的平分线也垂直于OA∴直线PQ与AB的斜率相等（∵kAB=13）∴向量//PQAB，即总存在实数，使PQAB成立．…………………12′（22）解：（I）∵a1＝3，q＝21，∴Sn＝6(1－12n)，Sn＋1＝6(1－112n)……………………………………………2′∴Sn＋1＝21Sn＋3…………………………………………4′（II）∵1kkScSc＞353()420kkcScS…………（*）…………………………………6′而Sk＝6(1－12k)＜6，∴Sk－（54Sk－23）＞0即Sk＞（54Sk－23）………………………………………………………………7′由（*）得（54Sk－23）＜c＜Sk…………①…………………………………8′∵Sk＋1＞Sk，故54Sk－23≥54S1－23＝94……………………………………………9′又Sk＜6，∴94＜c＜6故要使①成立，c只能取3、4或5…………………………………………………10′当c＝3时，由①式得2＜2k＜25，显然k