高三数学归纳法、极限、导数测试题

-22xyO1-1-11高三数学归纳法、极限、导数测试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置上.1.下列命题中，正确的是（）①数列13n没有极限；②数列21nn的极限为0；③数列332n的极限为3；④数列23nn没有极限A.①②B.①②③C.②③④D.①②③④2.若)1111(lim,156lim32221nnxaaaaaxxx则的值为（）A．－2B．31C．21D．33.已知曲线24xy的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A.1B.2C.3D.44.若函数324yxax在0,2内单调递减，则实数a的取值范围为（）A.3aB.3aC.3aD.03a5．设函数()()(2)(3)fxxxkxkxk，且'(0)6f，则k（）A．0B．－1C．3D．－66．函数3()1fxaxx有极值的充要条件是（）A．0aB．0aC．0aD．0a7．已知函数()yxfx的图象如右图所示（其中'()fx是函数()fx的导函数），下面四个图象中()yfx的图象大致是（）8．方程x3－6x2+9x－10=0的实根个数是（）A．3B．2C．1D．09．若函数xxxfln2)(2在其定义域的一个子区间1,1kk上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．23kB．21kC．2321kD．231k10．设)(xf、)(xg是定义在R上的恒大于0的可导函数，且0)()()()(xgxfxgxf，则当bxa时有（）A．)()()()(bgbfxgxfB．)()()()(xgafagxfC．)()()()(xgbfbgxfD．)()()()(agafxgxfO-22xy1-1-212Oxy-2-221-112O-24xy1-1-212O-22xy-124ABCD班级学号姓名二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．11．曲线y=x3在点(1，1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为__________．12．若函数202cos0xfxaxx在R上连续，则实数a=______________13．若函数313fxxx在2,10aa上有最大值，则实数a的取值范围为___14．过点2,2P和曲线33yxx相切的直线方程为_______15．向高为8m，底面边长为8m的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟338m，则当水深为5m时，水面上升的速度为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本题满分10分）设函数)0()11()0()0(11122xxxbxaxxxxf(1)若xf在0x处的极限存在，求ba,的值；(2)若xf在0x处连续，求ba,的值。题号12345678910答案17．（本题满分12分）函数32()fxxaxbxc，曲线)(xfy在点))1(,1(f处的切线平行于直线13xy,若函数)(xfy在2x时有极值.(1)求a,b的值；(2)求函数)(xf的单调区间；(3)若函数)(xf在区间3,1上的的最大值为10，求)(xf在该区间上的最小值.18．（本题满分14分）已知数列na满足212nnnaaanN，且101a（1）用数学归纳法证明：01na；（2）若lg1nnba，且1910a，求无穷数列1nb所有项的和19．（本题满分12分）已知函数1)3ln()(axxxf（I）若函数)(xf在[0，2]上是单调递增函数，求a的取值范围；（II）求函数)(xf在[0，2]上的最大值.20．（本题满分12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080yxxx．已知甲、乙两地相距100千米（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？21．（本小题满分14分）设函数f（x）=xaxxln1在[1，+∞)上为增函数。（1）求正实数a的取值范围.（2）若a=1，求证：11111111ln2342341nnnn（n∈N*且n≥2）宜昌市一中2008届高三《数学归纳法、极限、导数》测试题答案DBAABCCCDC11.8/312.413.2,114.9160xy或2y15.8/7516.（1）2,bRa（2）2,1ba17．(1)a=2，,b=-4(2)函数)(xf的单调增区间为：（-∞，-2）（23，+∞）单调增区间为：（-2，23）(3)由函数)(xf在区间3,1上的的最大值为10，得c=2)(xf在该区间上的最小值为：214()327f18．19．解：（1）20031)(xaxxf对恒成立.2031xxa对恒成立1a（2）①若1)3ln()(,0axxxfa则在[0，2]上是减函数，13ln)0()(maxfxf②若0a，则由（1）得：当0)(,13,0)(,13xfaxxfax时当时013,310aa时当，此时)(xf在[0，2]上是减函数，13ln)0()(maxfxf当1a时，)(xf在[0，2]上是单调增函数，12)2()(maxafxf12)2()(,1;ln3)(,131;13ln)0()(,31ln31)13(ln)13()(,131maxmaxmaxmaxafxfaaaxfafxfaaaaaaafxfa时时当时综上时当20．解：（I）当40x时，汽车从甲地到乙地行驶了1002.540小时，要耗没313(40408)2.517.512800080（升）。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为()hx升，依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804hxxxxxxx332280080'()[phone]xxhxxxx令'()0,hx得80.x当(0,80)x时，'()0,()hxhx是减函数；当(80,120)x时，'()0,()hxhx是增函数。当80x时，()hx取到极小值(80)11.25.h因为()hx在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。答汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。21．解:（1）由已知：)(xf=012aaxax依题意得：21axax≥0对x∈[1，+∞)恒成立∴ax－1≥0对x∈[1，+∞)恒成立∴a－1≥0即：a≥1（2）∵a=1∴由（1）知：f（x）=xlnxx1在[1，+∞)上为增函数，∴n≥2时：f（1nn）=01111111fnnnlnnnlnnnnn即：11nnlnn…9分∴nnnnlnlnlnn1123121413121设g（x）=lnx－xx∈[1，+∞)，则011)(xxg对),1[x恒成立，∴g′（x）在[1+∞)为减函数∴n≥2时：g（1nn）=ln1nn－1nng（1）=－10即：ln1nn1nn=1+1nn（n≥2）∴113121)111()211()111(1ln34ln23ln12lnnnnnnn综上所证：11312113121nnnlnn（n∈N*且≥2）成立.