高三数学第二学期期末考试

高三数学第二学期期末考试数学校名班级姓名___________参考公式：三角函数的积化和差公式sinαcosβ=)]sin()([sin21g球冠面积Ｓ＝2πRhsinαcosβ=)]sin()[sin(21其中Ｒ表示球的半径；cosαcosβ=)]cos()[cos(21h表示球冠的高sinαcosβ=)]cos()[cos(21一、选择题：本大题共14小题；第（１）一（10）题每小题４分，第（11）－（14）题每小题５分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（１）sin15°cos165°的值等于（）（Ａ）41（Ｂ）41（Ｃ）21（Ｄ）21（２）双曲线184)1(22yx的渐近线方程是（）（A）xy2（B）2y（C）)1(2xy（D）)1(2xy（３）设集合032,1142xxxNxxM，那么集合Ｍ与Ｎ之间的关系是（）（Ａ）NM（Ｂ）M=N（Ｃ）NM（Ｄ）NM（４）４名男生２名女生站成一排，要求两名女生分别站在两端，则不同排法的种数为（）（Ａ）48（Ｂ）96（Ｃ）144（Ｄ）288（５）已知复数z=(t+i)2的辐角主值是2，则实数t的值是（）（Ａ）0（Ｂ）-1（Ｃ）1（Ｄ）不能确定（６）函数f(x)=)0(2xx的反函数f—1(x)是图象是（）（７）理料做：在极坐标系中，点Ａ在曲线sin2p上，点Ｂ在曲线1cosp上，则AB的最小值为（）（Ａ）０（Ｂ）21（Ｃ）22（Ｄ）１文科做：已知函数(2)1(2)(2在xaxxf，４]上是减函数，那么实数a的取值范围是（）（Ａ）a≥–3（Ｂ）a≤–3（Ｃ）a≤5（Ｄ）a≥3（８）已知7292222210nnnnnnCCCC，则31nnCC的值等于（）（Ａ）64（Ｂ）32（Ｃ）63（Ｄ）31（９）理科做：直线tytx2322(t为参数)上到点Ａ（－２，３）的距离等于2的一个点的坐标是（）（Ａ）（－２，３）（Ｂ）（－４，５）（Ｃ）（23,22）（Ｄ）（－３，４）文科做：若k可以取任何实数，则方程x2+ky2=1所表示的曲线不可能是（）（Ａ）直线（Ｂ）圆（Ｃ）椭圆或双曲钱（Ｄ）抛物线（10）2x的必要但不充分条件是（）（Ａ）31x（Ｂ）21x（Ｃ）11x（Ｄ）11x（11）已知集合Ryxxyyxp、,25),(2及QPRyxbxyyxQ若、,),(，则实数b的取值范围是（）（Ａ）[–5,5]（Ｂ）)5,25(（Ｃ）]5,25[（Ｄ）]25,25[（12）a、b是异面直线，以下面四个命题：①过a至少有一个平面平行于b②过a至少有一个平面垂直于b③至多有一条直线与a、b都垂直④至少有一个平面分别与a、b都平行其中正确命题的个数是（）（Ａ）０（Ｂ）１（Ｃ）２（Ｄ）３（13）直线y=xcosα+1（Ra）的倾斜角的取值范围是（）（Ａ）]2,0[（Ｂ）[0,π]（Ｃ）]6,4[（Ｄ）],43[]4,0[（14）三棱锥Ｓ－ABC,Ｅ、F、G、Ｈ分别是棱SA、SB、BC、AC的中点，截面EFGH将三棱锥分割为两个几何体：AB－EFGH、SC－EFGH，将其体积分别是V1、V2，则V1∶V2的值是()（Ａ）１∶２（Ｂ）１∶３（Ｃ）２∶３（Ｄ）１∶１二、填空题：本大题共４小题；每小题４分，共16分，把答案填在题中横钱上.（15）设等差数列na共有3n项，它的前2n项之和是100，后2n项之和是200，则该等差数列的中间n项之和等于.（16）以椭圆14922yx的中心Ｏ为顶点，以椭圆的左准线1l为准线的抛物线与椭圆的右准线2l交于Ａ、Ｂ两点，则AB的值为.（17）若2sin1sin1cos1，则的值等于.（18）人造地球同步通讯卫星的运行轨道是圆，卫星距地面高度是19200km地球半径取6400km，若电磁波是直线传播，那么卫星覆盖的地球表面区别（是一个球冠）的面积与地球表面积之比是.三、解答题：本大题共６小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（19）（本小题满分12分）在△ABC中，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对的边分别为a、b、c，且a、b、3c成等比数列，又∠Ａ－∠Ｃ2.试求∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的值.（20）（本小题满分10分）理科作：已知两个复数集合RRmimzzM,,)4(cos2，NMRRmimzzN且,,,)sin(，求实数λ的取值范围.文科作：设函数f(x)的定义域为Ｒ，且在其定义域Ｒ上，总有f(x)=–f(x+2)，又当–1x≤1时，f(x)=x2+2x.（Ⅰ）求当3x≤5是，函数f(x)的解析式.（Ⅱ）试判断函数f(x)在（３，５]上的增减性,并予以证明.（21）（本小题满分14分）如图：矩形ABCD,AB=2AD=2a，E是CD边的中点，以AE为棱，将△DAE向上折起,将D变到D'的位置,使面D'AE与面ABCE成直二面角.（Ⅰ)求直线D'B与平面ABCE所成的角的正切值；（Ⅱ）求证：AD'⊥BE；（Ⅲ）求四棱锥Ｄ'－ABCE的体积；（Ⅳ）求异面直线AD'与BC所成的角.（文科学生只作（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ））（22）（本小题满分12分）无穷等比数列na的首项a1=1，其公比q为实常数，且1q，数列na的前n项和为Sn且其各项和为Ｓ，数列nS的前n项和为Tn.（Ⅰ）求Tn.(将Tn写成关于q的表达式)（Ⅱ）求)(limnSTnn.（写成关于q的表达式）（23）（本小题满分12分）某隧道长a米，最高限速为0米／秒，一个匀速行进的车队有10辆车，每辆车长为l米，相邻两车之间距离m（米）与车速υ（米／秒）的平方成正比,比例系数为k,自第1辆车车头进隧道至第10辆车车尾离开隧道时所用的时间为t秒.（Ⅰ）求出函数t=f(υ)的解析式，并求定义域；（Ⅱ）求车队通过隧道时间t的最小值，并求出t取得最小值时υ的大小.（24）（本小题满分14分）设正方形ABCD的外接圆方程为x2+y2–6x+a=0(a9)，Ｃ、Ｄ点所在直线l的斜率为31.（Ⅰ）求外接圆圆心Ｍ点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率；（Ⅱ）理科作：如果在x轴上方的Ａ、Ｂ两点在一条以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程.文科作：如果ABCD的外接圆半径为52,在x轴上方的Ａ、Ｂ两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程.高三数学期末考试参考答案与评分标准一、选择题：（１）Ｂ（２）Ｄ（３）Ａ（４）Ａ（５）Ｃ（６）Ｃ（７）理Ａ文Ｂ（８）Ｂ（９）Ｄ（10）Ａ（11）Ｃ（12）Ｂ（13）Ｄ（14）Ｄ二、填空题：（15）75（16）5536（17）222（18）3∶8三、解答题：（19）本题满分12分解：由a,b,3c成等比数列，得b2=(3c)·a=3ca…………2分依正弦定理，sin2B=3sinC·sinA…………4分于是)cos()cos()21(3sin2CACAB2cos)cos(23)(sin)(2CACACAB…………６分即)cos(23)(cos12CACA化简得：02)cos(3)(cos22CACA只能21)cos(CA…………８分320CACA…………10分再依条件1231272CBACA，，可知：…………12分（20）本题满分10分理科作：解：由已知，集合Ｍ、Ｎ中至少有一相等元素，可得：imim)sin()4(cos2…………2分由复数相等的定义得：cosθ=m4-m2=λ+sinθ…………4分则：λ=4–cos2θ–sinθ=sin2θ–sinθ+3=411)21(sin2…………7分当sinθ=411)(6)1(21min时，，即ZKkk…………8分另一方面，当sinθ=–1即5)(22max时，ZKk…………９分故：]5,411[…………10分文科作：（Ⅰ）解：∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x)…………2分∵当３＜x≤5即–1x–4≤1时，依已知可得：f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8(3x≤5)…………2分（Ⅱ）函数f(x)在（３，５]上是增函数.…………６分证明如下：任取x1,x2使得3x1x2≤5…………7分f(x1)-f(x2)=x12-6x1+8-x22+6x2-8=(x1-x2)(x1+x1-6)0…………9分这是因为：x1–x20,且依3x1x2≤5可知：x1+x2-60可推得：f(x1)f(x2)因此，函数f(x)在（3,5]上是增函数.…………10分（21）本题满分14分（Ⅰ）解：∵二面角Ｄ'－AE－B是直二面角，∴平面Ｄ'AE⊥平面ABCE作Ｄ'O⊥AE于O,连结OB∴Ｄ'O⊥平面ABCE∴∠Ｄ'BO是直线Ｄ'B与平面ABCE所成的角.…………2分∵Ｄ'A=Ｄ'E=a,且Ｄ'O⊥AE于O,∠AＤ'E=90°∴O是AE的中点,AO=OE=D'O=,45,22BAOAEDa在△OAB中,OB=45cos)()(222ABOAABOA=aaaaa21022)2()22(2)2()22(22在直角△D'OB中,tg(∠D'BO)=55OBOD.………理4分,文5分（Ⅱ）证明：如图，连结BE,∵∠AED=∠BEC=45°,∴∠BEA=90°即BE⊥AE于E………理6分,文8分∵D'O⊥平面ABCE,∴D'O⊥BE,∴BE⊥平面AD'E,BE⊥AD………理8分,文10分（Ⅲ）解,四边形ABCE是直角梯形223)2(21aaaaSABCEaODOD22是四棱锥的高且)4223()22(3132aaaVABCED………理10分,文14分（Ⅳ）作AK∥BC交CE的延长线于K,∴∠D'AK是异面直线AD'与BC所成的角.………理11分∵四边形ABCK是矩形∴AK=BC=EK=a.………理12分连结OK,D'K,∴OK=D'O=aKDDAAKaKDDOKa,,90,22△D'AK是正三角形∴∠D'AK=60°即异面直线AD'与BC成60°角.………理14分（22）本题满分12分（Ⅰ）解：qqqqaSnnn111)1(1………2分)(11132321nnnqqqqqqnSSSST………４分2)1()1(1qqqqnn………６分（Ⅱ）qnqqqqnnSTnnnn1)1()1(1lim)(lim2………８分22)1()1(],)1()1([limqqqqqqnn………12分（23）本题满分12分（Ⅰ）解：m=kv2t=f(v)=vkvla2910………3分(0v≤v0)………4分（Ⅱ）解：)10(92910)(lakkvvlavft仅当klavkvvla910910既时上式中等号成立………６分（１）当klaklavv9100910,时，t取得值最小值，其最小值为：).10(92lak………８分（２）当时0910vkla)910()910()()(000kvvlakvvlavfvf)910()(9000vvklavvvvk………10分0)()(91002000vfvfklavvvvv因此,当v=v0时,t有最小值,其最小值为00910kvvla………12分（24）本题满分14分（Ⅰ）解：由(x–3)2+y2=9-a(a9)可知圆心Ｍ的坐标