高三年级数学综合测试题

高三年级数学综合测试题班级姓名学号分数一、填空题：（每题4分，共48分）1．函数)23(log21xy的定义域是2．抛物线xy22与过焦点的直线交于A，B，O是坐标原点，则OBOA=3．已知数列na满足*)(1,2,1221Nnaaaann，则该数列前26项的和为4．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1的侧面AA1B1B是边长为5的正方形，AB⊥BC，AC与BC1成60°角，则AC长为5．以椭圆141622yx内的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为6．函数)(xfy的图象与y=2x的图象关于y轴对称，若)(1xfy是)(xfy的反函数，则)2(21xxfy的单调递增区间是7．定义运算x※y=)()(yxyyxx，若|m－1|※m=|m－1|，则m的取值范围是8．某商场开展促销抽奖活动,让参加抽奖的每位顾客从装有编号为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9的十个小球的袋子中取球,每次取一个,且取出的小球不再放回袋中.连续取5次,如果取出的5个小球中至少有4个编号为奇数(不计顺序)就可以得奖,则每位抽奖顾客中奖的概率为(用数字作答)9．把函数22sin2cos)(xxxf的图象沿x轴向左平移m个单位（m0），所得函数的图象关于直线817x对称，则m的最小值为10．2229189limnnnnn=11．在函数cbacbxaxxf,,,)(2若中成等比数列，且4)0(f，则)(xf有最小值，且该值为.12．设函数knf(其中*Nn)，k是2的小数点后第n位数字74142135623.12，则个2005)]8([ffff的值为二、选择题（每题4分，共16分）13．已知a、b、c满足cba,ac0，则下列选项中一定成立的是（）A．22abcbB．0)(abcC．acabD．0)(caac14．给出下列四个命题：①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是“直线a、b不相交”.②“直线l⊥平面α内的所有直线”的充要条件是“l⊥α”.③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a垂直于b在平面α内的射影”.④设α⊥β，a，则“a//β”的充分非必要条件是“a⊥α”.其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．②④D．②③④15．命题A:3|1|x，命题B:0))(2(axx；若A是B的充分而不必要条件，则a的取值范围是：（）A．)4,(B．),4[C．),4(D．]4,(16．等比数列｛an｝的公比为21，前n项和为nS满足nlimnS=11a，那么a1的值为（）A．3B．23C．2D．26三、解答题(共86分)17．（本题满分12分）已知0a且1a，解关于x的不等式)4(log)1(log142xxaa18．（本题满分12分）已知函数)0(coscossin3)(2xxxxf的周期为,2（1）求ω的值；（2）设△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求此时函数)(xf的值域19．（本题满分14分）如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.（1）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（2）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1—EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）.20．（本题满分14分）某水库年初的存水量为a（a≥10000），其中污染物的含量为P0，该年每月降入水库的水量与月份x的关系是|7|20)(xxf（1≤x≤12，x∈N），且每月流入水库的污水量r，其中污染物的含量为P（P＜r），又每月库水的蒸发量也为r（假设水与污染物能充分混合，且污染物不蒸发，该年水库中的水不作它用）.（1）求第x个月水库含污比g(x)的表达式（含污比库容总量污染物含量）；（2）当P0=0时，求水质最差的月份及此月份的含污比.21．（本题满分16分）已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.（1）求双曲线C的方程；（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程.（3）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M（－2，0）及AB的中点，求直线L在y轴上的截距b的取值范围.22．（本题满分18分）已知)(xf是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x、Ry都满足：)()()(yxfyfxf（1）求)0(f的值，并证明对任意的Rx，都有0)(xf；（2）设当0x时，都有)0()(fxf，证明)(xf在,上是减函数；（3）在（2）的条件下，求集合)lim(,),(,),(),(21nnnSfSfSfSf中的最大元素和最小元素。高三数学参考答案及评分标准一、填空题1.]1,32(2.63.－104.255.x+4y－5=06.)0,(7.21m8.126139.410.2911.312.1二、选择题13.C．14.C．15.A．16.D．三、解答题17.解：471470414)2(404012xxxxxxxaaaaaaa…………6分若，10a则log047xa…………9分若,1a则47log0ax…………12分18．解：（1）21)62sin()12(cos212sin23)(xxxxf…………3分由)(xf的周期2222得T∴21)64sin()(xxf…………6分（2）由题意，得21222cos222acacacacbcax…………8分又∵x0∴30x∴67646x…………10分∴2121)64sin(1,1)64sin(21xx…………12分19．解：解法一：（I）连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影。∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，…………2分于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF.连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影.∴D1E⊥AFDE⊥AF.………4分∵ABCD是正方形，E是BC的中点.∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.…………6分（II）当D1E⊥平面AB1F时，由（I）知点F是CD的中点.又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD.连结AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影.…………8分C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1—EF—C的平面角.…………10分在Rt△C1CH中，∵C1C=1，CH=41AC=42，∴tan∠C1HC=224211CHCC.又因为∠AHC1=∠C1HC，故二面角C1—EF—A的平面角的正切值为22。…………14分解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。（1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E)0,21,1(，F（x，1，0）∴111(1,,1),(1,0,1),(,1,0)2DEABAFx。∴1111110,DEABDEAB即…………4分于是，11111002DEABFDEAFDEAFx平面。即12x，故当F是CD中点时，11DEABF平面。…………6分（2）当D1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD.连结AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF.连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影.∴C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1—EF—A的平面角.…………10分31898983||||cos).0,43,43(),1,41,41(),0,43,43(),1,1,1(11111HCHAHCHAAHCHAHCHC122AHCtan，即二面角C1—EF—A的平面角的正切值为22。…………14分20．解：（1）第x月水库含污染物P0+Px，库容总量=)()2()1(xfffa……2分当,13)(,)(61xxfNxx时此时库容量=a+14+15+…+（13+x）=22272)1314(2axxxxa……4分当,27)(,)(127xxfNxx时此时，库容总量=a+99+20+19+…+（27－x）=2842532axx……6分∴),127(8425322),61(22722)(2020NxxaxxPPNxxaxxPPxgxx…………8分（2）∵P0=0，a≥10000，当1≤x≤6时，2722)(xaxPxg易证)2,0(272axax在上是减函数，且恒大于零，∴]6,1[)(在区间xg上是增函数∴当x=6时，aPxg219812)(max……10分当7≤x≤12时，538422)(xaxPxg易证53842xax在（0，+∞）上是减函数，且恒大于零.∴]12,7[)(在区间xg上是增函数………12分当x=12时，aPxg20412)(max∵a≥10000，aPaP21981220412∴水质量最差的是12月份，其含污比为aP20412…………14分21．解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx－y=0∵该直线与圆1)2(22yx相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为xy…………2分故设双曲线C的方程为12222ayax，又∵双曲线C的一个焦点为)0,2(∴1,2222aa，∴双曲线C的方程为122yx………4分（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|OF1|若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以F2)0,2(为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是)0(4)2(22xyx①…………8分由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（TTyx,）则yyxxyyxxTTTT222,222即代入①并整理得点N的轨迹方程为)22(122xyx……10分（3）由022)1(112222mxxmyxmxy得令22)1()(22mxxmxf直线与双曲线左支交于两点，等价于方程)0,(0)(在xf上有两个不等实根.因此21012012022mmmm解得又AB中点为)11,1(22mmm∴直线L的方程为)2(2212xmmy…………14分令x=0，得817)41(2222222mmmb∵)2,1(m∴)1,22(817)41(22m∴故b的取值范围是),2()22,(…………16分22．解：（1）1)0(,0)0(),0()0()0(fffff0)]2([)2()2()(,0)2(2xfxfxfxfxf…………4分（2）∵当0x时，都有)0()(fxf1…………6分∴当21xx，即021xx时，有)0()(21fxxf1，…………8分即)()(1)(,1)()(22121xfxfxfxfxf1)0()()(22fxfxf∴)(xf在,上是减函数。…………10分（3）∵)(xf在,上是减函数，{