高三第一次调研考试数学试题

得分评卷人一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。高三第一次调研考试数学试题说明：本卷第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。题号一二三总分1~1213~16171819202122得分第Ⅰ卷（选择题共60分）1．集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，映射f:A→B使得B中有且只有一个元素在A中的原象为2个，这样的映射f的个数为（）A．3B．5C．6D．82．已知coscos,31)cos()cos(则的值为（）A．21B．31C．41D．613．下列判断错误的是（）A．命题“若q则p”与命题“若p则q”互为逆否命题B．“am2bm2”是“ab”的充要条件C．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假D．命题“}2,1{4}2,1{或”为真（其中为空集）4．若实数a、b满足ab0，则有（）A．|a－b||a|－|b|B．|a－b||a|+|b|C．|a+b||a－b|D．|a+b||a－b|5．若5)2(x的展开式第二项的值大于1000，则实数x的取值范围为（）A．x－10或x10B．345xC．4625xD．x106．图中阴影部分可用哪一组二元一次不等式表示（）A．0221yxyB．0221yxyC．02210yxyxD．02210yxyx7．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级.在H1→H2→H3这个生物链中，若能使H3获得10kj的能量，则需H1提供的能量为（）A．105kjB．104kjC．103kjD．102kj8．函数y=x3－3x在[－1，2]上的最小值为（）A．2B．－2C．0D．－49．给定两个向量)()(),1,2(),4,3(babxaba若，则x的等于（）A．－3B．23C．3D．－2310．若某等差数列{an}中，a2+a6+a16为一个确定的常数，则其前n项和Sn中也为确定的常数的是（）A．S17B．S15C．S8D．S711．方程0)1lg(122yxx所表示的曲线图形是（）12．将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点（2，0）与点（－2，得分评卷人二、填空题：本大题共4小题，共16分，把答案填在题中横线上.得分评卷人4）重合，若点（7，3）与点（m,n）重合，则m+n的值为A．4B．－4C．10D．－10第Ⅱ卷（非选择题，共90分）13．某校高一、高二、高三三个年级的学生数分别为1500人、1200和1000人，现采用按年级分层抽样法了解学生的视力状况，已知在高一年级抽查了75人，则这次调查三个年级共抽查了人.14．已知)1(),1lg()(12fxxxf则.15．在一个水平放置的底面半径为3的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入下个半径为R的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R，则R=.16．设函数0,10,00,1)(xxxxf，则方程)()12(1xfxx的解为.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率.（1）摸出2个或3个白球（2）至少摸出一个黑球.得分评卷人18．（本小题满分12分）如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=21AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1，B，M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.（Ⅰ）求证：EM∥平面A1B1C1D1；（Ⅱ）求二面角B—A1N—B1的正切值.得分评卷人19．（本小题满分12分）已知函数.3cos33cos3sin)(2xxxxf（Ⅰ）将f(x)写成)sin(xA的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.得分评卷人20．（本小题满分12分）设数列{an}和{bn}满足a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,且数列{an+1－an}（n∈N*）是等差数理，数列{bn－2}(n∈N*)是等比数列.（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）是否存在k∈N*，使ak－bk∈（0，21）？若存在，求出k；若不存在，说明理由.得分评卷人21．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:22221babyaxC的一条准线方程是,425x其左、右顶点分别是A、B；双曲线1:22222byaxC的一条渐近线方程为3x－5y=0.（Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若MPAM.求证：.0ABMN得分评卷人22．（本小题满分14分）已知函数：)(1)(axRaxaaxxf且（Ⅰ）证明：f(x)+2+f(2a－x)=0对定义域内的所有x都成立.（Ⅱ）当f(x)的定义域为[a+21,a+1]时，求证：f(x)的值域为[－3，－2]；（Ⅲ）设函数g(x)=x2+|(x－a)f(x)|,求g(x)的最小值.参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求的。题号123456789101112答案CDBDDCCBABDC第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题4个小题，共16分）13．18514．209915．2316．X=0，2或－4171三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．解：（Ⅰ）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A、B，则73)(,73)(481325482325CCCBPCCCAP∵A、B为两个互斥事件∴P（A+B）=P（A）+P（B）=76即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为76…………6分（Ⅱ）设摸出的4个球中全是白球为事件C，则P（C）=1414845CC至少摸出一个黑球为事件C的对立事件其概率为14131411………………12分18．（A）（Ⅰ）证明：取A1B1的中点F，连EF，C1F∵E为A1B中点∴EF∥21BB1…………2分又∵M为CC1中点∴EF∥C1M∴四边形EFC1M为平行四边形∴EM∥FC1……4分而EM平面A1B1C1D1.FC1平面A1B1C1D1.∴EM∥平面A1B1C1D1………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）EM∥平面A1B1C1D1EM平面A1BMN平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N∴A1N//EM//FC1∴N为C1D1中点过B1作B1H⊥A1N于H，连BH，根据三垂线定理BH⊥A1N∠BHB1即为二面角B—A1N—B1的平面角……8分设AA1=a，则AB=2a，∵A1B1C1D1为正方形∴A1H=a5又∵△A1B1H∽△NA1D1∴B1H=54522aaaa在Rt△BB1H中，tan∠BHB1=455411aaHBBB即二面角B—A1N—B1的正切值为45……12分（B）（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2a，AA1=a(a0)，则A1（2a，0，a），B（2a,2a,0）,C（0，2a，0），C1（0，2a，a）……2分∵E为A1B的中点，M为CC1的中点∴E（2a,a,2a），M（0，2a,2a）∴EM//A1B1C1D1…………6分（Ⅱ）设平面A1BM的法向量为n=（x,y,z）又BA1=（0，2a,－a）)2,0,2(aaBM由BMnBAn,1，得24,02202zyzxazaxazay),2,4(aaan…………9分而平面A1B1C1D1的法向量为)1,0,0(1n.设二面角为，则214||||||cos|11nnnn又：二面角为锐二面角214cos，……11分从而45tan………………12分19．（I）解：23)332sin(2332cos2332sin21)32cos1(2332sin21)(xxxxxxf…3分由)332sin(x=0即zkkxzkkx213)(332得即对称中心的横坐标为zkk213…………6分（Ⅱ）由已知b2=ac231)332sin(31)332sin(3sin|295||23|9533239301cos21212222cos22222xxxxxacacacacaccaacbcax分即)(xf的值域为]231,3(综上所述，]3,0(x)(xf值域为]231,3(…………12分20．解：（I）由已知a2－a1=－2,a3－a2=－1,－1－(－2)=1∴an+1－an=(a2－a1)+(n－1)·1=n－3n≥2时，an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+…+(a3－a2)+(a2－a1)+a1=(n－4)+(n－5)+…+(－1)+(－2)+6=21872nnn=1也合适.∴an=21872nn(n∈N*)……………………3分又b1－2=4、b2－2=2.而2142∴bn－2=（b1－2）·(21)n－1即bn=2+8·(21)n…6分∴数列{an}、{bn}的通项公式为：an=21872nn，bn=2+(21)n－3（II）设kkkkkkkbakf)21(887)27(21)21(872721)(22当k≥4时87)27(212k为k的增函数，－8·(21)k也为k的增函数，而f(4)=21∴当k≥4时ak－bk≥21………………10分又f(1)=f(2)=f(3)=0∴不存在k，使f(k)∈（0，21）…………12分21．（I）由已知435:534252222cbabacabca解之得………………3分∴椭圆的方程为192522yx，双曲线的方程192522yx.又34925C∴双曲线的离心率5342e…………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）A（－5，0），B（5，0）设MMPAMyx则由),(00得m为AP的中点∴P点坐标为)2,52(00yx将m、p坐标代入c1、c2方程得1925)52(19252002020yxyx消去y0得02552020xx解之得)(52500舍或xx由此可得P（10，)33………………9分当P为（10，)33时PB：)5(51033xy即)5(533xy代入)(525025152:1925222舍或得xxxyxMNNxxx25MN⊥x轴即0ABMN…………12分22．（Ⅰ）证明：xaaaxaxaaxxafxf21221)2(2)(01221121xaxaxaaxaxxaxaax∴结论成立……………………………………4分（Ⅱ）证明：xaxaxaxf111)()(当112,211211121xaxaaxaaxa时2113xa即]2,3[)(值域为xf…………9分（Ⅲ）解：)(|1|)(2axaxxxg（1）当axaxxxgaxax43)21(1)(,122时且如果211a即21a时，则函数在),(),1[aaa和上单调递增2min)1()1()(aagxg如果agxgaaa