高三第一次调研考试数学

江苏省南通市2007年高三第一次调研考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则UABðA．{4，5}B．{2，3}C．{1}D．{2}2．1225151124C24C…5050515124C+24除以9的余数是A．1B．4C．7D．83．函数log(1)(01)ayxaa，的定义域和值域均为[0，1]，则a等于A．12B．2C．22D．24．双曲线的一条渐近线与实轴的夹角为α，则双曲线的离心率为A．sinαB．1sinαC．cosαD．1cosα5．对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如右图，由图可知一批电子元件中寿命在100~300小时的电子元件的数量与寿命在300~600小时的电子元件的数量的比是A．12B．13C．14D．166．函数|sinπ|yx的单调递增区间是A．1[2,2]()2kkkZB．1[,]()2kkkZC．11[22]()22kkkZ，D．11[]()22kkkZ，7．箱内有大小相同的6个红球和4个黑球，从中每次取1个球记下颜色后再放回箱中，则前3次恰有1次取到黑球的概率为A．12B．36125C．310D．541258．空间四条直线a，b，c，d，满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，d⊥a，则必有125014003200012000频率组距100400200300寿命（h）500600（第5题）A．a⊥cB．b⊥dC．b∥d或a∥cD．b∥d且a∥c9．若a＞0，b＞0，a3＋b3＜2a2b，则ba的取值范围是A．51(0)2，B．51(1)2，C．(021)，D．(211)，10．△ABC的外接圆圆心为O，且345OAOBOC0，则∠C等于A．45°B．60°C．75°D．90°二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．已知向量a＝（－1，1），b＝(62,62)，则a与b的夹角α＝▲．12．垂直于直线x－3y＝0且与曲线323yxx相切的直线方程为▲．13．椭圆2221(1)xyaa的一个焦点为F，点P在椭圆上，且||||OPOF（O为坐标原点），则△OPF的面积S＝▲．14．数列{an}中，11a，545a，且1(1)nnnanat，则常数t＝▲．15．一排7个座位，让甲、乙、丙三人就坐，要求甲与乙之间至少有一个空位，且甲与丙之间也至少有一个空位，则不同的坐法有▲种．16．已知函数()|21|xfx，当abc时，有()()()fafcfb．给出以下命题：（1）0ac；（2）0bc；（3）222ac；（4）222bc．则所有正确命题的序号是▲．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，且过点P（2，2），过F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）求抛物线的方程；（2）设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与直线l相切．18．（本题满分14分）在同一平面内，Rt△ABC和Rt△ACD拼接如图所示，现将△ACD绕A点顺时针旋转α角（0＜α＜π3）后得△D1ADBEFC1C（第18题）ααAC1D1，AD1交DC于点E，AC1交BC于点F．∠BAC＝∠ACD＝π2，∠ACB＝∠ADC＝π6，AC＝3．（1）当AF＝1时，求α；（2）求证：对任意的α∈（0，π3），BEAC为定值．19．（本题满分14分）正四棱锥S－ABCD中，O为底面中心，E为SA的中点，AB＝1，直线AD到平面SBC的距离等于63．（1）求斜高SM的长；（2）求平面EBC与侧面SAD所成锐二面角的大小；（3）在SM上是否存在点P，使得OP⊥平面EBC？并证明你的结论．20．（本题满分15分）（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：2()(1)nnnaaaa≥；（2）等比数列{an}中，112a，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设21nnnaba，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜13．21．（本题满分15分）已知函数32()38fxxbxcx和32()gxxbxcx（其中302b），()()5()Fxfxgx，(1)()0fgm．（1）求m的取值范围；SABCDOEM·（第19题）（2）方程()0Fx有几个实根？为什么？数学参考答案和评分标准1．C2．A3．B4．D5．C6．B7．D8．C9．B10．A11．120°12．3x＋y－1＝013．1214．1015．10016．（1），（4）17．解：（1）设抛物线22(0)ypxp，将（2，2）代入，得p＝1．…………4分∴y2=2x为所求的抛物线的方程．………………………………………………………5分（2）联立2212yxxty，，消去y，得到221(12)04xtx．………………………………7分设AB的中点为00(,)Mxy，则20122tx．∴点M到准线l的距离22121()122tdt．…………………………………9分而22212221111(12)12(1)ABxxtttt，…………………………11分12dAB，故以AB为直径的圆与准线l相切．……………………12分（注：本题第（2）也可用抛物线的定义法证明）18．解：（1）在△ACF中，πsinsin6ACAFAFC，即31π1sin()62．………………………………5分∴π3sin()62．又π03，∴π6．……………………7分（2）BEACBAAEAC（）BAACAEAC0||||cosACAEEAC2||3AC．……………………………14分（注：用坐标法证明，同样给分）19．解法一：（1）连OM，作OH⊥SM于H．∵SM为斜高，∴M为BC的中点，∴BC⊥OM．∵BC⊥SM，∴BC⊥平面SMO．又OH⊥SM，∴OH⊥平面SBC．………2分由题意，得166236OH．设SM＝x，则22611()622xx，解之32x，即32SM．…………………5分（2）设面EBC∩SD＝F，取AD中点N，连SN，设SN∩EF＝Q．∵AD∥BC，∴AD∥面BEFC．而面SAD∩面BEFC＝EF，∴AD∥EF．又AD⊥SN，AD⊥NM，AD⊥面SMN．从而EF⊥面SMN，∴EF⊥QS，且EF⊥QM．∴∠SQM为所求二面角的平面角，记为α．………7分由平几知识，得2222(2)2()QMSNMNMS．∴23342(1)44QM，∴114QM．∴221133()()1444cos11333244，即所求二面角为1arccos33．………………10分（3）存在一点P，使得OP⊥平面EBC．取SD的中点F，连FC，可得梯形EFCB，取AD的中点G，连SG，GM，得等腰三角形SGM，O为GM的中点，设SG∩EF＝H，则H是EF的中点．连HM，则HM为平面EFCB与平面SGM的交线．又∵BC⊥SO，BC⊥GM，∴平面EFCB⊥平面SGM．……………12分在平面SGM中，过O作OQ⊥HM，由两平面垂直的性质，可知OQ⊥平面EFCB．而OQ平面SOM，在平面SOM中，延长OQ必与SM相交于一点，故存在一点P，使得OP⊥平面EBC．………………………14分SABCDOEM·（第19题）QHFN解法二：（1）建立空间坐标系（如图）∵底面边长为1，∴11(0)22A，，，11(0)22B，，，11(0)22C，，，1(00)2M，，．………………1分设(00)Sh，，，平面SBC的一个法向量(1)xy，，n，则1(0)2SMh，，，(100)CB，，．∴0CBxn，102SMyhn．∴y＝2h，n＝（0，2h，1）．…3分而AB＝（0，1，0），由题意，得26||23||41ABhhnn．解得22h．∴斜高223||2SMSOOM．……………………………………………………5分（2）n＝（0，2h，1）＝(021)，，，由对称性，面SAD的一个法向量为n1＝(021)，，．………………………………6分设平面EBC的一个法向量n2=（x，y，1），由112()444E，，，1321()(132)4444EB，，，，，得22010(32).4CBxEBxy，nn解得02.3xy，∴21(023)3，，n．…………………8分设所求的锐二面角为α，则121212||1cos|cos|||||33，nnnnnn，∴1arccos33．……………10分（3）存在满足题意的P点．证明如下：SABCDOEMxyz（第19题）λ(0λ1)OPOMMPOMMS1121(00)(0)(012)2222，，，，，，．…………………………11分又21(023)3，，n，令OP与n2共线，则2λ31λ2．………………13分3λ5．故存在P∈SM，使OP⊥面EBC．………………………14分20.解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，2()nnaa＝(1)nnaa(1)naa≥．………………3分当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是2()nnaa＝2nnaa＝(1)nnaa2(1)naa≥=(1)(1)naaa≥(1)naa．…………6分（2）∵9789AAaa，899AAa，899aaa，∴公比9812aqa．……9分∴1()2nna．…………………………………………10分（注：如用求和公式，漏掉q=1的讨论，扣1分）11414(2)1()2nnnnnb132n≤．……………12分∴123nBbbb…23111323232nb≤…132n11321312．……15分21．解：（1）∵2()323fxxbxc，(1)0f，∴3230bc，∴233bc．1分2()320gmmbmc，即2233203bmbm，∴2(26)93mbm．…3分①当260m，即13m时，上式不成立．………………………………………………4分②当260m，即13m时，29326mbm．由条件302b，得到23930226mm．由2933262mm，解得0m或113m．……………………………………………5分由293026mm，解得3133m或33m．…………………………………………6分m的取值范围是303m或313m．………………………………………7分（2）有一个实根．………………………………………………………………………………9分()0Fx，即3233440xbxcx．记32()3344Qxxbxcx，则2()964Qxxbxc．∵302b，233bc，10c．………………………10分△＞0，故()0Qx有相异两实根1212()xxxx，．121224,39xxbxxc，∴12120140.9xxxx，显然120xx，1249xx，∴1222419xxxx，∴2229940xx，∴2403x．…………12分于是22222218()()433QxxQxbxcx2228043bxcx1632499bc8(24)49bc