高三3月质检试卷理科

雅礼中学2007届高三3月质检试卷数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．参考公式：正棱锥、圆锥的侧面积公式如果事件A、B互斥，那么clS21锥侧P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么其中，c表示底面周长、l表示斜高或P（A·B）=P（A）·P（B）母线长如果事件A在1次实验中发生的概率是球的体积公式P，那么n次独立重复实验中恰好发生k334RV球次的概率knkknnPPCkP)1()(其中R表示球的半径一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．复数11zbi，22zi，且221zz的实部和虚部互为相反数，则实数b等于()。A．7B．7C．71D．712．22sin2cos1cos2cos2()。A．tanB．tan2C．1D．123．若条件41:xp，条件65:2xxq，则p是q的()条件。A．必要不充分B．充要C．充分不必要D．不充分不必要4．已知平面,,，直线ml,，点A，有下面四个命题：①若Aml,，则l与m必为异面直线；②若//,//llm，则//m；③若,,//,//lmlm，则//；④若,,,mllm，则l。其中正确命题的个数是()。A．0B．1C．2D．35．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，,,0,1abc，已知他投篮一次得分的数学期望为1（不计其它得分情况），则ab的最大值为()。A．148B．124C．112D．166．已知等差数列na的前n项和为nS，若1200OBaOAaOC，且ABC，，三点共线（该直线不过点O），则200S等于()。A.100B.101C.200D.2017．无论m取任何实数值，方程23322xxmx的实根个数都是()。A.1个B.2个C.3个D.不确定8．已知k为实数，若双曲线1||2522kykx的焦距与k的取值无关，则k的取值范围为()。A．]0,2(B．)2,0()0,2(C．)2,0[D．]2,0()0,1[9．函数)(xf对Ryx,都有)()()(yxfyfxf，若21)1(f，)()(*Nnnfan，则数列na的前n项和nS的极限是()。A．0B．1C．21D．210．如图，圆弧型声波DFE从坐标原点O向外传播.若D是DFE弧与x轴的交点，设ODxax0()，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为y(图中阴影部分)，则函数)(xfy的图象大致是()。A．B．C．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上．11．设地球的半径为R，若甲地位于东经120北纬45，乙地位于东经120南纬75，则甲、乙两地的球面距离为。12．已知1),0,0(1212222nymxmnnmnm取得最小值时，椭圆则当的离心率是。13．数列na满足112,02121,12nnnnnaaaaa，135a，则数列的第2007项为。14．已知点,Pxy的坐标满足430352510xyxyx，设(2,0)A，则||cosOPAOP（O为坐标原点）的最大值为。yyyxOxOxOxOyaaaaxOyDEFABCaEOACBFD15．某旅馆有三人间、两人间、单人间三种房间各一间可用，有三个成人带两个小孩来投宿，小孩不宜单住一间（必须有成人陪同）。（1）若三间房都住有人，则不同的安排住宿方法有种；（2）若旅馆将单人间临时改为两人间用，且不要求房里都住有人，则不同的安排住宿方法有种。三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）袋中有分别写着“团团”和“圆圆”的两种玩具共7个且形状完全相同，从中任取2个玩具都是“圆圆”的概率为71，AB、两人不放回从袋中轮流摸取一个玩具，A先取，B后取，然后A再取，……，直到两人中有一人取到“圆圆”时即停止游戏.每个玩具在每一次被取出的机会是均等的，用X表示游戏终止时取玩具的次数。(Ⅰ)求袋中“圆圆”的个数；(Ⅱ)求X的数学期望。17．（本小题满分12分）在棱长为2的斜三棱柱ABCDEF中，已知BFAE，BFCEO，ABAE,连结AO。(Ⅰ)求证：AO⊥平面FEBC；(Ⅱ)求二面角BACE的大小。18．（本小题满分12分）函数2sin2gxax（a是非零常数）的图象按向量(,0)2m，0平移后得到函数yfx的图象，而函数yfx在实数集上的值域为2,2，且在区间5,1212上是单调递减函数。(Ⅰ)求a和的值；(Ⅱ)若角和的终边不共线，fgfg，求tan的值。19．（本小题满分12分）某地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌,现有三种价格模拟函数.①xqpxf)(；②1)(2qxpxxf；③pqxxxf2)()(.（以上三式中qp,均为常数，且1q）。(Ⅰ)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？(Ⅱ)若6)2(,4)0(ff，求出所选函数)(xf的解析式（注：函数的定义域是]5,0[，其中0x表示4月1日，1x表示5月1日，…，以此类推）；（Ⅲ）为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该果品在哪几个月份内价格下跌。20．（本小题满分13分）已知函数)1,)((axRxxf满足()2()axfxbxfx，0a，1)1(f；且使xxf2)(成立的实数x只有一个。（Ⅰ）求函数)(xf的表达式；（Ⅱ）若数列na满足321a，)(1nnafa，11nnab，*Nn，证明数列nb是等比数列，并求出nb的通项公式；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：11221nnababab，*Nn。21．（本小题满分14分）已知点30H，，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足0HPPM,32PMMQ。（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（Ⅱ）过定点(,0)(0)Dmm作直线l交轨迹C于AB、两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，求证：AEDBED；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，是否存在垂直于x轴的直线l被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在求出l的方程；若不存在，请说明理由。PxOyHMQ雅礼中学2007届高三3月质检试卷数学(理工农医类)参考答案1．A2．B3．C4．B5．B6．A7．B8．A9．B10．D11．23R12．3213．2514.515．186016．解：(Ⅰ)设袋中原有玩具“圆圆”n个由题意知：71272CCn……………………………2分所以n(n－1)=6，解得n=3(n=－2舍去).……………………………………………4分(Ⅱ)由题意可知X的可能取值为1，2，3，4，5……………………………………5分34324336(1);(2);(3)776776535PXPXPX43233432131(4);(5)7654357654335PXPX………………………10分32631()12345277353535EX………………………………………12分17．解：（Ⅰ）证明：∵BCFE是菱形,∴BF⊥EC又∵BF⊥AE,且AEECE∴BF⊥平面AEC,……………………3分而AO平面SEC∴BF⊥AO∵AEAB,ABAC∴AEAC∴AO⊥EC,且BFECO∴AO⊥平面BCFE.………………………6分(Ⅱ)取AC的中点H，连结BH、OH∵ABC是等边三角形∴BH⊥AC∵BO⊥平面AEC∴OH是BH在平面AOC上的射影，∴由三垂线定理逆定理可得OHAC∴OHB是二面角BACE的平面角………………………………………………9分RtAOE≌RtAOB，则OEOB，∴四边形BCFE为正方形。在直角三角形BCO中，3BH，2BO∴sinBHO=32=36HOACEBFD∴BHO=arcsin36.（或arctan2，3arccos3）∴二面角BACE的大小是arcsin36…………………………………………12分(Ⅱ)另解：由（Ⅰ）易证RtAOE≌RtAOB，则OEOB，∴四边形BCFE为正方形。以O为原点，EC所在直线为x轴，FB所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系（如图）,则A（0，0，2），B(0,2,0),C(-2,0,0)，AB=（0，2，-2），AC=（-2，0，-2）………………………………………………………………7分设n=（111,,xyz）为平面BAC的法向量，则1111220220yzxz∴1111yzxz，取0n=（-1，1，1）为平面BAC的一个法向量。…………………9分而OB=(0,2,0)为平面ACE的一个法向量。…………………………………10分设为0n与OB的夹角，则00cosnOBnOB=232=33；∴二面角BACE的大小为3arccos3…………………………………………12分18．解：（1）3,1a；…………………………………………………………………6分（2）3.…………………………………………………………………………………12分19．解：(Ⅰ)应选f(x)=x(x-q)2+p.……………………………………………………………1分因为①f(x)=p·qx是单调函数；②f(x)=px2+qx+1的图象不具有先升再降后升特征；③f(x)=x(x-q)2+p中,f′(x)=3x2-4qx+q2,令f′(x)=0，得x=q,x=3q,f(x)有两个零点.可以出现两个递增区间和一个递减区间.……………………………………………………………………………………………4分(Ⅱ)由f(0)=4,f(2)=6得：,)2(26,42pqp解之得,3,4qp（其中q=1舍去）.∴函数f(x)=x(x-3)2+4，即f(x)=x49623xx（0≤x＜5）…………………8分（Ⅲ）由f(x)＜0，解得1＜x＜3,∴函数f(x)=x49623xx在区间（1，3）上单调递减，∴这种果品在5月，6月份价格下跌.………………………………………………12分20．解：（Ⅰ）由()2()axfxbxfx，ax1，0a，得12)(axbxxf.………1分由1)1(f，得12ba.……………………………………………………………2分由xxf2)(只有一解，即xaxbx212，也就是)0(0)1(222axbax只有一解，∴0024)1(42ab∴1b.…………………………………………………………………………………3分∴1a.故12)(xxxf.……………………………………………………………4分（Ⅱ）∵321a，)(1nnafa，∴54)32()(12fafa，98)54()(23fafa，1716)98()(34fafa，……………………………5分猜想，)(122*Nnannn.……………………………………………………………6分下面用数学归纳法证明：10当n=1时，左边=321a，右边=3212211，∴命题成立.……………………7分20假设n=k时，命题成立，即122