高三(理科)数学第一学期期末水平测试试题

高三（理科）数学第一学期期末水平测试试题本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡密封线内。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题木指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。参考公式：锥体的体积公式,31ShV其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.柱体的体积公式ShV，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知等差数列{an}是单调数列，且a1,a3,a4,成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则3523SSSS的值为（）A．3B．2C．1D．不能确定2．如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，主视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为（）A．334B．354C．324D．不确定3．已知两向量ba,的夹角为60°，且,2||2||ba在△ABC中，baAB，,aCA则A的值为（）A．120°B．30°C．150°D．60°4．右图是某公交线路收支差额y与乘客量x之间的关系图（收支差额=车票收入+财政补贴-支出费用；假设财政补贴和支出费用与乘客量无关），在这次公交、地铁票价听证会上，有市民代表提出“增加财政补贴，票价实行8折优惠”的建议.则下列四个图像反映了市民代表建议的是（）A．B．C．D．5．设集合},,,)1ln()(|{},11|{为增函数函数AxaxxxfaBxxA则BA（）A．{5.01|xx}B．{11|xx}C．{15.0|xx}D．空集6．定义x⊙,3yyx则a⊙(a⊙a)等于（）A．-aB．a3C．aD．a37．已知)(xf是定义在R上的函数，且满足)1()1(xfxf，则“)(xf为偶函数”是“2为函数)(xf的一个周期”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知双曲线)0,0(12222babyax的右顶点为E，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e是（）A．215B．2C．215或2D．不存在第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13—15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9．已知A（2，1），B（—2，3），以AB为直径的圆的方程为______________.10．如图所示，墙上挂有一块边长为2的正方形木板，上面画有振幅为1的正弦曲线半个周期的图案（阴影部分）．某人向此板投镖，假设每次都能击中木板并且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是_________.11．观察：①tan10°·tan20°+tan20°·tan60°+tan60°·tan10°=1；②tan15°·tan25°+tan25°·tan50°+tan50°·tan15°=1；③tan13°·tan27°+tan27°·tan50°+tan50°·tan13°=1．已知以上三式成立且还有不少类似的等式成立，请你再写出一个这样的式子：______________．12．有一地球同步卫星A与地面四个科研机构B、C、D、E，它们两两之间可以相互接发信息，由于功率有限，卫星及每个科研机构都不能同时向两处发送信息（例如A不能同时给B、C发信息，它可先发给B，再发给C），它们彼此之间一次接发信息的所需时间如右图所示．则一个信息由卫星发出到四个科研机构都接到该信息时所需的最短时间为________．13（选做题）．在极坐标系中，以ρcosθ+1=0为准线，（1，0）为焦点的抛物线的极坐标方程为_______________．14（选做题）．不等式5|33||||12|xaxx的解集非空，则a的取值范围为___________．15（选做题）．在圆内接△ABC中，AB=AC=35，Q为圆上一点，AQ和BC的延长线交于点P（如图），且AQ：QP=1：2，则AP=_________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出相应文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知：函数mxxxf2sin2)sin(3)(2的周期为3，且当],0[x时，函数)(xf的最小值为0．（1）求函数)(xf的表达式；（2）在△ABC中，若.sin),cos(cossin2,1)(2的值求且ACABBCf17．（12分）某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是31，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立．（1）求该学生考上大学的概率．（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．18．（14分）如图，已知几何体ABC-DEF中，△ABC及△DEF都是边长为2的等边三角形，四边形ABEF为矩形，且CD=AF+2，CD∥AF，O为AB中点．（1）求证：AB⊥平面DCO．（2）若M为CD中点，AF=x，则当x取何值时，使AM与平面ABEF所成角为45°？试求相应的x值．（3）求该几何体在（2）的条件下的体积．19．（14分）已知函数23)(nxmxxf（m、n∈R，m≠0）的图像在（2，)2(f）处的切线与x轴平行．（1）求n，m的关系式并求)(xf的单调减区间；（2）证明：对任意实数,1021xx关于x的方程：),(0)()()(211212xxxxxfxfxf在恒有实数解．（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数)(xf是在闭区间[a,b]上连续不断的函数，且在区间（a,b）内导数都存在，则在（a,b）内至少存在一点x0，使得.)()()('0abafbfxf如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：当ba0时，aababbabln（可不用证明函数的连续性和可导性）20．（14分）已知数列}{na的前n项和为nS，且满足114,2nnnaaSa（1）求;,,432aaa（2）求;na（3）若,2)(2211nnnnnnnbaCaCaC求证：nbbb147222221.21．（14分）椭圆G：)0(12222babyax的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为.25（1）求此时椭圆G的方程；（2）设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0，33）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．参考答案1．B2．A3．C4．B5．A6．C7．C8．B9．5)2(22yx10．111．612．tan5°·tan20°+tan20°·tan60°+tan60°·tan5°=113．cos4sin214．13a15．1516．（1）截：mxmxxxf1)6sin(21)cos()sin(3)(3分依题意函数)(xf的周期为3，4分即mxxf1)632sin(2)(,32,325分1)632sin(21656326],,0[xxx)(xf的最小值为m,0m6分即1)632sin(2)(xxf7分（2）1)632sin(11)632sin(2)(CCCf而∠C∈(0，π),∴∠C=29分在Rt△ABC中，)cos(cossin2,22CABBBA251sin0sinsincos22AAAA解得11分.215sin,1sin0AA12分17．（1）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为A，则5415)32()32)(31()(CAP2分243131])32()32)(31([1)(5415CAP4分答：该生考上大学的概率为2431315分（2）参加测试次数ξ的可能取值为2，3，4，5，6分,91)31()2(2P274313231)3(12CP27431)32(31)4(213CP8148)32()32(31)5(4314CP10分故的分布列为：2345P912742748148814388148527442743912E12分18．解：（1）因为△ABC为等边三角形，O为AB的中点，故AB⊥CO，1分又CD∥AF，在矩行ABEF中AB⊥AF，所以AB⊥CD，2分由CD∩CO=C，证得AB⊥平面DCO4分（2）设I为EF中点，连接OI，依题意，四边形OIDC为等腰梯形5分在梯形OIDC中过O作OH⊥CD垂足为H，过M作MG∥OG，则MG⊥OI，由（1）可知：面OIDC⊥面ABEF因为OIDC∩面ABEF=OI，所以MG⊥面ABEF6分连接AC，则∠MAG等于直线AM与平面ABEF所成角7分因为在正三角形ABC中，AO=1，CO=3，在等腰梯形OIDC中，CH=1，OG=0.5x；所以在直角三角形OCH中，213OH，即;2MG在直角三角形AOG中，241422xxAG8分由2,1422tan2xxAGMGMAG10分（3）连接AH、BH，由（1）（2）可知，该几何体的体积等于两个以三角形ABH为底面，CH为高的三棱锥的体积与一个以三角形ABH为底面，AF为高的三棱柱的体积之和12分△ABH=2,1,221AFOHOHAB14分3282212312DEFABCV解二：建坐标系（略）19．解：（1）因为nxmxxf23)('21分由已知mnnmf303,0)2('即所以2分即.0)2(0)(',63)('2xmxxfmxmxxf知由当);2,0()(,200的减区间为或时得xfxxm3分当);,2(),0,()(,200的减区间为时得xfxm4分综上所述：当);2,0()(,0的减区间为时xfm当);,2(),0,()(,0的减区间为时xfm5分（2）)33()()(212122211212xxxxxxmxxxfxf6分0)()()('1212xxxfxfxf可化为,03363212122212xxxxxxxx令2121222123363)(xxxxxxxxxh7分则)32)(()(21211xxxxxh，)32)(()(21122xxxxxh，即)32)(32()()()(212122121xxxxxxxhxh又因为,1021xx所以0)32(,0)32(2121xxxx，即0)()(21xhxh8分故0)(xh在区间),(21xx内必有解，即关于x的方程),(0)()()('211212xxxxxfxfxf在恒有实数解9分（3）令),,(,