高考数学普通高等学校招生全国统一考试113

高考数学普通高等学校招生全国统一考试113理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果时间A、B互斥，那么()()()PABPAPB如果时间A、B相互独立，那么()()()PABPAPB如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率1nkkknnPkCPP球的表面积公式24SR，其中R表示球的半径球的体积公式343VR，其中R表示球的半径一、选择题⑴、设集合20Mxxx，2Nxx，则A．MNB．MNMC．MNMD．MNR⑵、已知函数xye的图象与函数yfx的图象关于直线yx对称，则A．22()xfxexRB．2ln2ln(0)fxxxC．22()xfxexRD．2lnln2(0)fxxx⑶、双曲线221mxy的虚轴长是实轴长的2倍，则mA．14B．4C．4D．14⑷、如果复数2()(1)mimi是实数，则实数mA．1B．1C．2D．2⑸、函数tan4fxx的单调增区间为A．,,22kkkZB．,1,kkkZC．3,,44kkkZD．3,,44kkkZ⑹、ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且2ca，则cosBA．14B．34C．24D．23⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A．16B．20C．24D．32⑻、抛物线2yx上的点到直线4380xy距离的最小值是A．43B．75C．85D．3⑼、设平面向量1a、2a、3a的和1230aaa。如果向量1b、2b、3b，满足2iiba，且ia顺时针旋转30o后与ib同向，其中1,2,3i，则A．1230bbbB．1230bbbC．1230bbbD．1230bbb⑽、设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380aaa，则111213aaaA．120B．105C．90D．75⑾、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为A．285cmB．2610cmC．2355cmD．220cm⑿、设集合1,2,3,4,5I。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有A．50种B．49种C．48种D．47种普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅱ卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2．第Ⅱ卷共2页，请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。3．本卷共10小题，共90分。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。⒀、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于_______________。⒁、设2zyx，式中变量xy、满足下列条件21xy3223xy1y则z的最大值为_____________。⒂、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种。（用数字作答）⒃、设函数cos30fxx。若/fxfx是奇函数，则__________。三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。⒄、（本小题满分12分）ABC的三个内角为ABC、、，求当A为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。⒅、（本小题满分12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为23，服用B有效的概率为12。（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。⒆、（本小题满分12分）如图，1l、2l是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在1l上，C在2l上，AMMBMN。（Ⅰ）证明AB⊥NB；（Ⅱ）若60OACB，求NB与平面ABC所成角的余弦值。⒇、（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，有一个以10,3F和20,3F为焦点、离心率为32的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与xy、轴的交点分别为A、B，且向量OMOAOB。求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）OM的最小值。（21）、（本小题满分14分）已知函数11axxfxex。（Ⅰ）设0a，讨论yfx的单调性；（Ⅱ）若对任意0,1x恒有1fx，求a的取值范围。（22）、（本小题满分12分）设数列na的前n项的和14122333nnnSa，1,2,3,n（Ⅰ）求首项1a与通项na；（Ⅱ）设2nnnTS，1,2,3,n，证明：132niiT一、选择题:1.B2.D3.A4.B5.C6.B7.C8.A9.D10.B11.B12.B二、填空题:13.π314.1115.240016.π6三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.解:由A+B+C=π,得B+C2=π2－A2,所以有cosB+C2=sinA2.cosA+2cosB+C2=cosA+2sinA2=1－2sin2A2+2sinA2=－2(sinA2－12)2+32当sinA2=12,即A=π3时,cosA+2cosB+C2取得最大值为3218.解:(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只,i=0,1,2,Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只,i=0,1,2,依题意有:P(A1)=2×13×23=49,P(A2)=23×23=49.P(B0)=12×12=14,P(B1)=2×12×12=12,所求概率为:P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)=14×49+14×49+12×49=49(Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,49).P(ξ=0)=(59)3=125729,P(ξ=1)=C31×49×(59)2=100243,P(ξ=2)=C32×(49)2×59=80243,P(ξ=3)=(49)3=64729ξ的分布列为:数学期望:Eξ=3×49=43.19.解法一:(Ⅰ)由已知l2⊥MN,l2⊥l1,MN∩l1=M,可得l2⊥平面ABN.由已知MN⊥l1,AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB.又AN为AC在平面ABN内的射影.∴AC⊥NB（Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB,∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.∵Rt△ANB≌Rt△CNB,∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.在Rt△NHB中,cos∠NBH=HBNB=33AB22AB=63.解法二:如图,建立空间直角坐标系M－xyz.令MN=1,则有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),(Ⅰ)∵MN是l1、l2的公垂线,l1⊥l2,∴l2⊥平面ABN.l2平行于z轴.故可设C(0,1,m).于是AC→=(1,1,m),NB→=(1,－1,0).∴AC→·NB→=1+(－1)+0=0∴AC⊥NB.(Ⅱ)∵AC→=(1,1,m),BC→=(－1,1,m),∴|AC→|=|BC→|,又已知∠ACB=60°,∴△ABC为正三角形,AC=BC=AB=2.在Rt△CNB中,NB=2,可得NC=2,故C(0,1,2).连结MC,作NH⊥MC于H,设H(0,λ,2λ)(λ0).∴HN→=(0,1－λ,－2λ),MC→=(0,1,2).HN→·MC→=1－λ－2λ=0,∴λ=13,ξ0123P1257291002438024364729ABMNCl2l1HABMNCl2l1Hxyz∴H(0,13,23),可得HN→=(0,23,－23),连结BH,则BH→=(－1,13,23),∵HN→·BH→=0+29－29=0,∴HN→⊥BH→,又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.又BN→=(－1,1,0),∴cos∠NBH=BH→·BN→|BH→|·|BN→|=4323×2=6320.解:椭圆方程可写为:y2a2+x2b2=1式中ab0,且a2－b2=33a=32得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为:x2+y24=1(x0,y0).y=21－x2(0x1)y'=－2x1－x2设P(x0,y0),因P在C上,有0x01,y0=21－x02,y'|x=x0=－4x0y0,得切线AB的方程为:y=－4x0y0(x－x0)+y0.设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得x=1x0,y=4y0.由OM→=OA→+OB→得M的坐标为(x,y),由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为:1x2+4y2=1(x1,y2)(Ⅱ)|OM→|2=x2+y2,y2=41－1x2=4+4x2－1,∴|OM→|2=x2－1+4x2－1+5≥4+5=9.且当x2－1=4x2－1,即x=31时,上式取等号.故|OM→|的最小值为3.21.解(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得f'(x)=ax2+2－a(1－x)2e－ax.(ⅰ)当a=2时,f'(x)=2x2(1－x)2e－2x,f'(x)在(－∞,0),(0,1)和(1,+∞)均大于0,所以f(x)在(－∞,1),(1,+∞).为增函数.(ⅱ)当0a2时,f'(x)0,f(x)在(－∞,1),(1,+∞)为增函数.(ⅲ)当a2时,0a－2a1,令f'(x)=0,解得x1=－a－2a,x2=a－2a.当x变化时,f'(x)和f(x)的变化情况如下表:x(－∞,－a－2a)(－a－2a,a－2a)(a－2a,1)(1,+∞)f'(x)＋－＋＋f(x)↗↘↗↗f(x)在(－∞,－a－2a),(a－2a,1),(1,+∞)为增函数,f(x)在(－a－2a,a－2a)为减函数.(Ⅱ)(ⅰ)当0a≤2时,由(Ⅰ)知:对任意x∈(0,1)恒有f(x)f(0)=1.(ⅱ)当a2时,取x0=12a－2a∈(0,1),则由(Ⅰ)知f(x0)f(0)=1(ⅲ)当a≤0时,对任意x∈(0,1),恒有1+x1－x1且e－ax≥1,得f(x)=1+x1－xe－ax≥1+x1－x1.综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)1.22.解:(Ⅰ)由Sn=43an－13×2n+1+23,n=1,2,3，…,①得a1=S1=43a1－13×4+23所以a1=2.再由①有Sn－1=43an－1－13×2n+23,n=2,3，4,…将