高考数学模拟考试题2

高考数学模拟考试题（理科卷2）时量120分钟总分150分一、选择题（每小题5分，共50分）1．非空集合A、B满足BA，U是全集，则下列式子：①BBA，②ABA，③（AU）B＝U，④（AU）（BU）＝U中成立的是（）．A．①，②B．③，④C．①，②，③D．①，②，③，④2．已知OM＝（3，-2），ON＝（-5，-1），则21MN等于（）．A．（8，1）B．（-8，1）C．（-8，-1）D．4(，21）3．函数)3(log1sinlxy的定义域是（）．A．（2，3）B．[2，)3C．（2，]3D．（2，＋∞）4．如果数列}{na的前n项和))(49(41*NnSnnnn，那么这个数列（）．A．是等差数列而不是等比数列B．是等比数列而不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列5．锐二面角l的棱l上一点A，射线AB，且与棱成45°角，又AB与成30°角，则二面角l的大小是（）．A．30°B．45°C．60°D．90°6．有6个人分别来自3个不同的国家，每一个国家2人。他们排成一行，要求同一国家的人不能相邻，那么他们不同的排法有（）．A．720B．432C．360D．2407．直线经过点A（2，1），B（1，2m）两点)(Rm，那么直线l的倾斜角取值范围是（）．A．[0，)πB．[0，2π(]4π，)πC．0[，]4πD．4π[，2π()2π，)π8．下列函数中同时具有性质：（1）最小正周期是π，（2）图象关于3πx对称，（3）在6π[，]3π上是增函数的是（）．A．)6π2sin(xyB．)3π2cos(xyC．)6π2sin(xyD．)6π2cos(xy9．设下表是某班学生在一次数学考试中数学成绩的分布表分数[0，80)[80，)90[90，100)[100，)110[110，)120[120，)130[130，)140[140，150]人数256812642那么分数在[100，110]中和分数不满110分的频率和累积频率分别是（）．A．0.18，0.47B．0.47，0.18C．0.18，1D．0.38，110．已知)3π2sin(3)(xxf，则以下选项正确的是（）．A．f（3）＞f（1）＞f（2）B．f（3）＞f（1）＞f（2）C．f（3）＞f（2）＞f（1）D．f（1）＞f（3）＞f（2）二、填空题：本大题共5小题；每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上11．已知直线ax+by+1=0中的a，b是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2}中的2个不同的元素，并且直线的倾斜角大于60°，那么符合这些条件的直线的共有A．8条B．11条C．13条D．16条12．某学校共有学生4500名，其中初中生1500名，高中生3000名，用分层抽样法抽取一个容量为300的样本，那么初中生应抽取名．13．不等式(x－2)x2－2x－3≥0的解集是．14．若（1＋x＋31x）10＝∑40i=1aix10－i，则a10＝．15．给出下列四个命题：①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；③对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线都平行；④对两条异面的直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等；其中正确的命题序号为（请把所有正确命题的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本题满分12分)已知数列}{na满足na0，且对一切n∈N+，有∑ni=1a3i=S2n，其中Sn=∑ni=1ai，对一切n∈N+，有a2n+1－an+1=2Sn；求数列}{na的通项公式；17．（本小题满分12分）已知向量a=(3sinωx，cosωx)，b=(cosωx，cosωx)，其中ω＞0，记函数()fx=a·b，已知)(xf的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）当0＜x≤π3时，试求f(x)的值域．18．（本小题满分12分）对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．（Ⅰ）求下列事件的概率：①A：甲正好取得两只配对手套；②B：乙正好取得两只配对手套；（Ⅱ）A与B是否独立？并证明你的结论．19．(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°＜α＜90°），点1B在底面上的射影D落在BC上．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）当α为何值时，AB1⊥BC1，且使D恰为BC中点？（Ⅲ）若α=arccos13，且AC=BC=AA1时,求二面角C1—AB—C的大小．20．（本小题满分12分）已知函数f(x)=(x－a)(x－b)(x－c)．（Ⅰ）求证：f′(x)=(x－a)(x－b)＋(x－a)(x－c)＋(x－b)(x－c)；（Ⅱ）若f(x)是R上的增函数，是否存在点P，使f(x)的图像关于点P中心对称？如果存在，请求出点P坐标，并给出证明；如果不存在，请说明理由．C1ABCDA1B121．(本题满分12分)已知正方形的外接圆方程为x2+y2－24x+a=0，A、B、C、D按逆时针方向排列，正方形一边CD所在直线的方向向量为(3，1)．（Ⅰ）求正方形对角线AC与BD所在直线的方程；（Ⅱ）若顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B，求抛物线E的方程．数学参考答案与评分标准一、1．C2．D3．A4．B5．B6．D7．B8．C9．A10．A二、填空题：本大题共5小题；每小题4分，共20分．11.16条12．10013.{x|x=－1或x≥3}，14.210115.（2）、（4）三、解答题：本大题共6小题；共80分．16．(Ⅰ)由∑ni=13ia=Sn2，(1)由∑n＋1i=13ia=Sn＋12，(2)(2)－(1)，得22131nnnSSa=(Sn+1+Sn)(Sn+1－Sn)=(2Sn+an+1)an+1．∵an+10，∴an＋12－1na=2Sn．……………………………12分17．（Ⅰ）()fx=3sinωxcosωx＋cos2ωx……………………2分=32sin2ωx＋12(1+cos2ωx)=sin(2ωx+π6)+12………………………4分∵ω0，∴T=π=2π2ω，∴ω=1．………………………6分（Ⅱ）由（1），得()fx=sin(2x+π6)+12,∴0＜x≤π3,∴π6＜2x+π6≤5π6．…………………………9分∴()fx∈[1，32]．…………………………12分18．(Ⅰ)①P（A）=C15·2·A28A410=19．………………………4分②()PB=C15·2·A28A410=19．………………………8分(Ⅲ)P（AB）=C25·2·C12·2A410=163,()()PAPB=181，∴()()PAPB≠()PAB，故A与B是不独立的．………………………14分19.（Ⅰ）∵B1D⊥平面ABC，AC平面ABC，∴B1D⊥AC,又AC⊥BC,BC∩B1D=D．∴AC⊥平面BB1C1C．…………………………3分(Ⅱ)∵AC⊥平面BB1C1C，要使AB1⊥BC1，由三垂线定理可知，只须B1C⊥BC1，…………………………5分∴平行四边形BB1C1C为菱形，此时，BC=BB1．又∵B1D⊥BC,要使D为BC中点，只须B1C=B1B，即△BB1C为正三角形，∴∠B1BC=60°．…………………………7分∵B1D⊥平面ABC，且D落在BC上，∴∠B1BC即为侧棱与底面所成的角．故当α=60°时，AB1⊥BC1，且使D为BC中点．………………………8分（Ⅲ）过C1作C1E⊥BC于E，则C1E⊥平面ABC．过E作EF⊥AB于F，C1F，由三垂线定理，得C1F⊥AB．∴∠C1FE是所求二面角C1—AB—C的平面角．……………………10分设AC=BC=AA1=a，在Rt△CC1E中，由∠C1BE=α=1arccos3，C1E=322a．在Rt△BEF中，∠EBF=45°，EF=22BE=322a．∴∠C1FE=45°，故所求的二面角C1—AB—C为45°．………………14分解法二：（1）同解法一………………3分（Ⅱ）要使AB1⊥BC1，D是BC的中点，即11BCAB=0，|BB1→|=|B1C→|，∴11()0ACCBBC，||||11CBBC=0，∴||||1BCBB．∴1BBBCBC，故△BB1C为正三角形，∠B1BC=60°；∵B1D⊥平面ABC，且D落在BC上，……………………7分∴∠B1BC即为侧棱与底面所成的角．故当α=60°时，AB1⊥BC1，且D为BC中点．…………………8分（Ⅲ）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，经过C点且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（a，0，0），B（0，a，0），C（0，－34a，322a），平面ABC的法向量n1=（0，0，1），设平面ABC1的法向量n2=（x，y，z）．由ABn2=0，及1BCn2=0，得－x＋y=0，－43y＋223z=0.∴n2=（22，22，1）．……………………10分cosn1,n2＝112+12+1=22，故n1,n2所成的角为45°，即所求的二面角为45°．………………………14分20.（Ⅰ）∵f(x)=(x－a)(x－b)(x－c)＝ｘ3－（a+b+ｃ)x2＋(ab+bc+ac)x－abc……………3分f′(x)=3x2－2(a+b+ｃ)x＋(ab+bc+ac)=[x2－(a+b)x＋ab]＋[x2－(a+c)x＋ac]＋[x2－(b+c)x＋bc]=(x－a)(x－b)＋(x－a)(x－c)＋(x－b)(x－c)．……………………………6分（Ⅱ）∵f(x)是R上的单调函数，∴f′(x)≥0，对x∈R恒成立，即3x2－2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)≥0对x∈R恒成立．∴△≤0,4(a+b+c)2－12(ab+bc+ca)≤0，∴(a－b)2＋(a－c）2＋(b－c)2≤0，∴a=b=c．∴f(x)=(x－a)3，∴f(x)关于点(a，0)对称．………………………9分证明如下：设点P(x，y)是f(x)=(x－a)3图像上的任意一点，y=(x－a)3，点P关于点(a，0)对称的点P′(2a－x，－y)，∵(2a－x－a)3=(2a－x)3=－(x－2a)3=－y，∴点P′在函数f(x)=(x－a)3的图像上，即函数f(x)=(x－a)3关于点(a，0)对称．…………………………………………………………14分21．(Ⅰ)由（x－12）2+y2=144－a(a144),可知圆心M的坐标为(12，0)，…………………………2分依题意，∠ABM=∠BAM=π4，kAB=13,MA、MB的斜率k满足|k－131＋13k|=1,解得ACk=2，BDk=－12．…………………………………4分∴所求BD方程为x+2y－12=0，AC方程为2x－y－24=0．……………6分(Ⅱ)设MB、MA的倾斜角分别为θ1，θ2，则tanθ1＝2，tanθ2＝－12，设圆半径为r，则A（12＋525,55rr），B（12－255r，55r），……9分再设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由于A，B两点在抛物线上，∴（55r）2=2p(12－255r)（255r）2=2p（12＋55r）∴r=45，p=2．得抛物线方程为y2＝4x。……………………………………14分