高考数学函数与不等式综合问题测试

专题六函数与不等式综合问题1．已知实数a、b满足：关于x的不等式22|||2416|xaxbxx对一切xR均成立．⑴请验证2a，8b满足题意；⑵求出所有满足题意的实数a、b，并说明理由；⑶若对一切2x，均有不等式15)2(2mxmbaxx成立，求实数m的取值范围．2．函数()fx的定义域为R，并满足以下条件：①对任意xR，有()0fx；②对任意x，yR，有()()yfxyfx；③113f．⑴求(0)f的值；⑵求证：()fx在R上是单调增函数；⑶若0abc，且2bac，求证：()()2()fafcfb．3．已知函数x11)x(f(0)x．⑴当0ab，且()()fafb时，求证：1ab；⑵是否存在实数a、b()ab，使得函数()yfx的定义域、值域都是[,]ab，若存在，则求出a、b的值，若不存在，请说明理由．⑶若存在实数数a、b()ab，使得函数()yfx的定义域为[,]ab时，值域为[,]mamb(0)m，求m的取值范围．1．解：（I）当有时,8,2ba.|1642||82|2|82|||2222xxxxxxbaxx（II）在2,4|1642|||22xxxxbaxx中取.8,2,024,0416,0|24|,0|416|bababababa所以所以得因此满足题意的实数a，b只能是a=－2,b=－8.（III）,15)2(82),2(15)2(22mxmxxxmxmbaxx所以由)1(742xmxx即.).3(2214)1(2214)1(174.174,222时等号成立当而成立均有不等式对一切xxxxxxxxmxxxx∴实数m的取值范围是]2,(.2．解法一：（1）令2,0yx，得：2)]0([)0(ff1)0(0)0(ff（2）任取1x、),(2x，且21xx.设,31,312211pxpx则21pp21)]31([)]31([)31()31()()(2121ppffpfpfxfxf)()()(,1)31(2121xfxfxfppf在R上是单调增函数（3）由（1）（2）知1)0()(fbf1)(bfbabfbcbfaf)]([)()(bcbfbcbfcf)]([)()(bcabcbabfbfbfcfaf)]([2)]([)]([)()(而)(2)]([2)]([222222bfbfbfbbaccabbbca)(2)()(bfcfaf……………………14分解法二：（1）∵对任意x、y∈R，有yxfxyf)]([)(xfxfxf)]1([)1()(∴当0x时0)]1([)0(ff∵任意x∈R，0)(xf1)0(f（2）1)]31([)313()1(,1)31(3ffffxfxf)]1([)(是R上单调增函数即)(xf是R上单调增函数；（3）cacafbffcfaf)]1([2)]([)]1([)()(而)(2)]1([2)]1([222222bfffbbaccabca)(2)()(bfcfaf3．解：（I）∵x0，∴1.x0,1x1,1x,x11)x(f∴f(x)在（0，1）上为减函数，在(1,)上是增函数．由0ab，且f(a)=f(b)，可得0a1b和b1-11a1．即2b1a1．∴2ab=a+bab2．故1ab，即ab1．（II）不存在满足条件的实数a，b．若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=x11)x(f的定义域、值域都是[a，b]，则a0．1.x0,1x1,1x,x11)x(f①当)1,0(b,a时，1x1)x(f在（0，1）上为减函数．故.a)b(f,b)a(f即a.1b1,b1a1解得a=b．故此时不存在适合条件的实数a，b．②当),1[b,a时，1f(x)1x在(1,)上是增函数．故.b)b(f,a)a(f即b.b11,aa11此时a，b是方程01xx2的根，此方程无实根．故此时不存在适合条件的实数a，b．③当)1,0(a，),1[b时，由于]b,a[1，而]b,a[0)1(f，故此时不存在适合条件的实数a，b．综上可知，不存在适合条件的实数a，b．（III）若存在实数a，b（ab），使得函数y=f(x)的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．则a0，m0．①当)1,0(b,a时，由于f(x)在（0，1）上是减函数，故11mb,a11ma.b．此时刻得a,b异号，不符合题意，所以a，b不存在．②当)1,0(a或),1[b时，由（II）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．故只有),1[b,a．∵x11)x(f在),1[上是增函数，∴.mb)b(f,ma)a(f即mb.b11,maa11a，b是方程01xmx2的两个根．即关于x的方程01xmx2有两个大于1的实根．设这两个根为1x，2x．则1x+2x=m1，1x·2x=m1．∴.0)1x)(1x(,01)x(1)(x,02121即.02m1,04m1解得41m0．故m的取值范围是41m0．