高考数学高等学校招生全国统一考试25

高考数学高等学校招生全国统一考试25本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第I卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CknPk(1－P)n－k一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共60。（1）(1－i)2·i=（A）2－2i（B）2+2i（C）－2（D）2（2）已知函数)(.)(.11lg)(afbafxxxf则若（A）b（B）－b（C）b1（D）－b1（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|=（A）7（B）10（C）13（D）4（4）函数)1(11xxy的反函数是（A）y=x2－2x+2(x1)（B）y=x2－2x+2(x≥1)（C）y=x2－2x(x1)（D）y=x2－2x(x≥1)球的表面积公式S=42R其中R表示球的半径，球的体积公式V=334R，其中R表示球的半径（5）73)12(xx的展开式中常数项是（A）14（B）－14（C）42（D）－42（6）设A、B、I均为非空集合，且满足ABI，则下列各式中错误．．的是（A）(A)∪B=I（B）(IA)∪(IB)=I（C）A∩(IB)=（D）(IA)∪(IB)=IB（7）椭圆1422yx的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则||2PF=（A）23（B）3（C）27（D）4（8）设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（A）[－21，21]（B）[－2，2]（C）[－1，1]（D）[－4，4]（9）为了得到函数)62sin(xy的图象，可以将函数xy2cos的图象（A）向右平移6个单位长度（B）向右平移3个单位长度（C）向左平移6个单位长度（D）向左平移3个单位长度（10）已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则ST等于（A）91（B）94（C）41（D）31（11）从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（A）12513（B）12516（C）12518（D）12519（12）cabcabaccbba则,2,2,1222222的最小值为（A）3－21（B）21－3（C）－21－3（D）21+3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.（13）不等式|x+2|≥|x|的解集是.（14）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为.（15）已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项1,n=1,an=,n≥2.（16）已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是.①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）求函数xxxxxxf2sin2cossincossin)(2244的最小正周期、最大值和最小值.（18）（本小题满分12分）一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.（19）（本小题满分12分）已知,Ra求函数axexxf2)(的单调区间.（20）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.（I）求点P到平面ABCD的距离，（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.（21）（本小题满分12分）设双曲线C：1:)0(1222yxlayax与直线相交于两个不同的点A、B.（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：（II）设直线l与y轴的交点为P，且.125PBPA求a的值.（22）（本小题满分14分）已知数列1}{1aan中，且a2k=a2k－1+(－1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式.高考数学学校招生全国统一考试25答案一、选择题（1）D（2）B（3）C（4）B（5）A（6）B（7）C（8）C（9）B（10）A（11）D（12）B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.（13）{x|x≥－1}（14）x2+y2=4（15）2!n（16）①②④三、解答题（17）本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xxxxxxxfcossin22cossin)cos(sin)(22222212sin41)cossin1(21)cossin1(2cossin122xxxxxxx所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41.（18）本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C×0.52×0.62+12C×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)=22C×0.52×0.62+12C12C×0.52×0.4×0.6+22C×0.52×0.42=0.37.P(ξ=3)=22C12C×0.52×0.4×0.6+12C22C×0.52×0.42=0.2P(ξ=4)=0.52×0.42=0.04于是得到随机变量ξ的概率分布列为：ξ01234P0.090.30.370.20.04所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.（19）本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.解：函数f(x)的导数：.)2(2)(22axaxaxeaxxeaxxexf（I）当a=0时，若x0，则)(xf0，若x0,则)(xf0.所以当a=0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.（II）当,02,02,02xaxaxxa或解得由时由.02,022xaaxx解得所以，当a0时，函数f(x)在区间（－∞，－a2）内为增函数，在区间（－a2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III）当a0时，由2x+ax20，解得0x－a2,由2x+ax20，解得x0或x－a2.所以当a0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数.（20）本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结PE.∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，∵PA=PD，∴OA=OD，于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE·sin60°=23233，即点P到平面ABCD的距离为23.（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点GPBBP.连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(CA由此得到：0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(PBBCPBGABCPBGA于是有所以的夹角BCGAPBBCPBGA,.等于所求二面角的平面角，于是,772||||cosBCGABCGA所以所求二面角的大小为772arccos.解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，FG=21BC.∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，∴∠AGF是所求二面角的平面角.∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=23.在Rt△PEG中，EG=21AD=1.于是tan∠GAE=AEEG=23,又∠AGF=π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－arctan23.（21）（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组.1,1222yxyax有两个不同的实数解.消去y并整理得（1－a2）x2+2a2x－2a2=0.①.120.0)1(84.012242aaaaaa且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122的取值范围为即离心率且且eeeaaaaae（II）设)1,0(),,(),,(2211PyxByxA.125).1,(125)1,(,125212211xxyxyxPBPA由此得由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222aaaaxaaxaax所以由得消去所以（22）本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.解：（I）a2=a1+(－1)1=0,a3=a2+31=3.a4=a3+(－1)2=4,a5=a4+32=13,所以，a3=3,a5=13.(II)a2k+1=a2k+3k=a2k－1+(－1)k+3k,所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k,同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,……a3－a1=3+(－1).所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],由此得a2k+1－a1=23(3k－1)+21[(－1)k－1],于是a2k+1=.1)1(21231kka2k=a2k－1+(－1)k=2123k(－1)k－1－1+(－1)k=2123k(－1)k=1.{an}的通项公式为：当n为奇数时，an=;121)1(232121nn当n为偶数时，.121)1(2322nnna