高考数学二轮复习平面向量及其运用

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高考数学二轮复习平面向量及其运用考点透析【考点聚焦】考点1:向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.考点2:向量的坐标运算、平面向量的数量积.考点3:向量的模与角的计算。.【考点小测】1.(浙江卷)设向量,,abc满足0abc,,||1,||2abab,则2||c(A)1(B)2(C)4(D)52.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足)||||(ACACABABOAOP,+,0,则P的轨迹一定通过△ABC的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心3.(广东卷)如图1所示,D是ABC的边AB上的中点,则向量CDA.12BCBAB.12BCBAC.12BCBAD.12BCBA4.(湖南卷)已知||2||0ab=?,且关于x的方程2||0xaxab++?有实根,则a与b的夹角的取值范围是()A.[0,6p]B.[,]3ppC.2[,]33ppD.[,]6pp5.(全国卷I)已知向量ab、满足1,4,ab,且2ab,则a与b的夹角为A.6B.4C.3D.26.(山东卷)设向量a=(1,-2),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为(A)(2,6)(B)(-2,6)(C)(2,-6)(D)(-2,-6)7.(上海卷)如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是()(A)AB=DC;(B)AD+AB=AC;(C)AB-AD=BD;(D)AD+CB=0.8.(北京卷)若三点(2,2),(,0),(0,)(0)ABaCbab共线,则11ab的值等于_________.129.(2005年全国卷Ⅱ)点P在平面上作匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为(10,-5)ADCB图1ABCD10.(湖南卷)已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A、B两点,且|AB|=3,则OBOA=.21【典型考例】【考型1】向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中,在复习中要充分理解平面向量的相关概念,熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算,掌握两向量共线、垂直的充要条件.例1:已知a是以点A(3,-1)为起点,且与向量b=(-3,4)平行的单位向量,则向量a的终点坐标是.思路分析:与a平行的单位向量e=±||aa方法一:设向量a的终点坐标是(x,y),则a=(x-3,y+1),则题意可知55185512101334229yx1yx13)()(或 解得)+()-(yxyx,故填(512,-51)或(518,-59)方法二与向量b=(-3,4)平行的单位向量是±51(-3,4),故可得a=±(-53,54),从而向量a的终点坐标是(x,y)=a-(3,-1),便可得结果.点评:向量的概念较多,且容易混淆,在学习中要分清、理解各概念的实质,注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.例2:已知|a|=1,|b|=1,a与b的夹角为60°,x=2a-b,y=3b-a,则x与y的夹角的余弦是多少?思路分析:要计算x与y的夹角θ,需求出|x|,|y|,x·y的值.计算时要注意计算的准确性.解:由已知|a|=|b|=1,a与b的夹角α为60°,得a·b=|a||b|cosα=21.要计算x与y的夹角θ,需求出|x|,|y|,x·y的值.∵|x|2=x2=(2a-b)2=4a2-4a·b+b2=4-4×21+1=3,|y|2=y2=(3b-a)2=9b2-6b·a+a2=9-6×21+1=7.x·y=(2a-b)·(3b-a)=6a·b-2a2-3b2+a·b=7a·b-2a2-3b2=7×21-2-3=-23,又∵x·y=|x||y|cosθ,即-23=3×7cosθ,∴cosθ=-1421点评:①本题利用模的性质|a|2=a2,②在计算x,y的模时,还可以借助向量加法、减法的几何意义获得:如图所示,设AB=b,AC=a,AD=2a,∠BAC=60°.由向量减法的几何意义,得BD=AD-AB=2a-b.由余弦定理易得|BD|=3,即|x|=3,同理可得|y|=7.【考型2】向量共线与垂直条件的考查例3.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足OCOAOB,其中,∈R且+=1,求点C的轨迹方程。.解:(法一)设C(x,y),则OC=(x,y),由OC=(x,y)=α(3,1)+β(-1,3)=(3α-β,α+3β)∴33yx,(可从中解出α、β)又∵α+β=1消去α、β得x+2y-5=0(法二)利用向量的几何运算,考虑定比分点公式的向量形式,结合条件知:A,B,C三点共线,故点C的轨迹方程即为直线AB的方程x+2y-5=0,例4.已知平面向量a=(3,-1),b=(21,23).(1)若存在实数k和t,便得x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,试求函数的关系式k=f(t);(2)根据(1)的结论,确定k=f(t)的单调区间.思路分析:①欲求函数关系式k=f(t),只需找到k与t之间的等量关系,k与t之间的等量关系怎么得到?②求函数单调区间有哪些方法?(导数法、定义法)导数法是求单调区间的简捷有效的方法?解:(1)法一:由题意知x=(23322t,223232t),y=(21t-3k,23t+k),又x⊥y故x·y=23322t×(21t-3k)+223232t×(23t+k)=0.整理得:t3-3t-4k=0,即k=41t3-43t.法二:∵a=(3,-1),b=(21,23),∴.a=2,b=1且a⊥b∵x⊥y,∴x·y=0,即-ka2+t(t2-3)b2=0,∴t3-3t-4k=0,即k=41t3-43t(2)由(1)知:k=f(t)=41t3-43t∴kˊ=fˊ(t)=43t3-43,令kˊ<0得-1<t<1;令kˊ>0得t<-1或t>1.故k=f(t)的单调递减区间是(-1,1),单调递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞).点评:第(1)问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法:一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标,再利用向量垂直的充要条件;二是直接利用向量垂直的充要条件,其过程要用到向量的数量积公式及求模公式,达到同样的求解目的(但运算过程大大简化,值得注意).第(2)问中求函数的极值运用的是求导的方法,这是新旧知识交汇点处的综合运用.例5:已知平面向量a=(3,-1),b=(21,23),若存在不为零的实数k和角α,使向量c=a+(sinα-3)b,d=-ka+(sinα)b,且c⊥d,试求实数k的取值范围.解:由条件可得:k=41(sinα-23)2-169,而-1≤sinα≤1,∴当sinα=-1时,k取最大值1;sinα=1时,k取最小值-21.又∵k≠0∴k的取值范围为1[,0)(0,1]2.点拨与提示:将例题中的t略加改动,旧题新掘,出现了意想不到的效果,很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.例6:已知向量)1,2(),2,1(ba,若正数k和t使得向量btakybtax1)1(2与垂直,求k的最小值.解:0)1(])1([02btakbtayxyx即0)1(112222batkbatbttak∵)1,2(),2,1(ba,∴|a|=3,|b|=3ba=-2+2,代入上式-3k+32112tttt当且仅当t=t1,即t=1时,取“=”号,即k的最小值是2.【考型3】向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合,题目新颖而又精巧,既符合在知识的“交汇处”构题,又加强了对双基的考查.例7.设函数f(x)=a·b,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,3sin2x),x∈R.(1)若f(x)=1-3且x∈[-3,3],求x;(2)若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(m﹤2)平移后得到函数y=f(x)的图象,求实数m、n的值.思路分析:本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能,解:(1)依题设,f(x)=(2cosx,1)·(cosx,3sin2x)=2cos2x+3sin2x=1+2sin(2x+6)由1+2sin(2x+6)=1-3,得sin(2x+6)=-23.∵-3≤x≤3,∴-2≤2x+6≤65,∴2x+6=-3,即x=-4.(2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象,即函数y=f(x)的图象.由(1)得f(x)=1)12(2sin2x∵m<2,∴m=-12,n=1.点评:①把函数的图像按向量平移,可以看成是C上任一点按向量平移,由这些点平移后的对应点所组成的图象是Cˊ,明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系,也就找到了此问题的解题途径.②一般地,函数y=f(x)的图象按向量a=(h,k)平移后的函数解析式为y-k=f(x-h)例8:已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0αβπ),(1)求证:a+b与a-b互相垂直;(2)若ka+b与a-kb的模大小相等(k∈R且k≠0),求β-α解:(1)证法一:∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)∴a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ),a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ)∴(a+b)·(a-b)=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)·(cosα-cosβ,sinα-sinβ)=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0∴(a+b)⊥(a-b)证法二:∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)∴|a|=1,|b|=1∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0∴(a+b)⊥(a-b)证法三:∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)∴|a|=1,|b|=1,记OA=a,OB=b,则|OA|=|OB|=1,又α≠β,∴O、A、B三点不共线.由向量加、减法的几何意义,可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形,其中OC=a+b,BA=a-b,由菱形对角线互相垂直,知(a+b)⊥(a-b)(2)解:由已知得|ka+b|与|a-kb|,又∵|ka+b|2=(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2=k2+1+2kcos(β-α),|ka+b|2=(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2=k2+1-2kcos(β-α),∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α)又∵k≠0∴cos(β-α)=0∵0αβπ∴0β-απ,∴β-α=2注:本题是以平面向量的知识为平台,考查了三角函数的有关运算,同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法,常用的方法有三种,一是根据数量积的定义证明,二是利用数量积的坐标运算来证明,三是利用向量运算的几何意义来证明.【考型4】向量运算的几何意义与解析几何由于向量既能体现“形”的直观位置特征,又具有“数”的良好运算性质,是数形结合与转换的桥梁和纽带,文科应重视由向量运算的几何意义求圆的方程和椭圆方程。例9:设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心,A(0,2),B(0,-2)且ABGM(λ∈R).(Ⅰ)求点C(x,y)的轨迹E的方程;(Ⅱ)过点(2,0)作直线L与曲线E交于点M、N两点,设ONOMOP,是否存在这样的直线L,使四边形OMPN是矩形?若存在

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