高考数学140分专项训练-30道压轴题及答案

1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点(,)0Fc（0c）的准线l与x轴相交于点A，2OFFA，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OPOQ，求直线PQ的方程；（3）设APAQ（1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明FMFQ.(14分)2．已知函数)(xf对任意实数x都有1)()1(xfxf，且当]2,0[x时，|1|)(xxf。（1）)](22,2[Zkkkx时，求)(xf的表达式。（2）证明)(xf是偶函数。（3）试问方程01log)(4xxf是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。当3．（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：1)3(22yx。（1）若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；（2）过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2为定值；（3）过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。4.以椭圆222yax＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，108642-2-4-6-8-10-15-10-551015xCyXOF试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.5已知，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a＋b＋c＝0.（Ⅰ）求证：f（x）及g（x（Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围.6已知过函数f（x）=123axx的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。（1）求a、b的值；（2）求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立；（3）令132txxxfxg。是否存在一个实数t，使得当]1,0(x时，g（x）有最大值1？7已知两点M（－2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，︱PH︱是2和PNPM的等比中项。（1）求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；（2）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。8．已知数列{an}满足aaaabaaaaaaannnnnn设,2),0(32211（1）求数列{bn}的通项公式；（2）设数列{bn}的前项和为Sn，试比较Sn与87的大小，并证明你的结论.9．已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线xy对称．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线1mxy与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围；（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，21FF为双曲线C的左，右两个焦点，从1F引21QFF的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．10.)(xf对任意Rx都有.21)1()(xfxf（Ⅰ）求)21(f和)()1()1(Nnnnfnf的值．（Ⅱ）数列na满足：na=)0(f+)1()1()2()1(fnnfnfnf，数列na是等差数列吗？请给予证明；（Ⅲ）令.1632,,1442232221nSbbbbTabnnnnn试比较nT与nS的大小．11.：如图，设OA、OB是过抛物线y2＝2px顶点O的两条弦，且OA→·OB→＝0，求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹.(13分)12.知函数f(x)＝log3(x2－2mx＋2m2＋9m2－3)的定义域为R(1)求实数m的取值集合M；(2)求证：对m∈M所确定的所有函数f(x)中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m的值和x的值.13.设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为),(,函数f(x)=.142xtx(1).求f()()f和的值。（2）。证明：f(x)在[],上是增函数。（3）。对任意正数x1、x2,求证：2)()(21212121xxxxfxxxxf14．已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项的和.对于任意的*nN，都有241nnSa.I、求数列na的通项公式.II、若2nntS对于任意的*nN恒成立，求实数t的最大值.15.(12分)已知点H（－3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足HP·PM=0，PM=－23MQ，（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过点T（－1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0,0），使得△ABE为等边三角形，求x0的值.16.（14分）设f1(x)=x12,定义fn+1(x)=f1［fn(x)］,an=2)0(1)0(nnff,其中n∈N*.(1)求数列｛an｝的通项公式；AOBxPy(2)若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n,Qn=144422nnnn,其中n∈N*,试比较9T2n与Qn的大小.17．已知a=（x,0），b=（1，y），（a+3b）（a–3b）．（I）求点（x，y）的轨迹C的方程；（II）若直线L：y=kx+m(m0)与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有|AD|=|BD|，试求m的取值范围．18．已知函数)(xf对任意实数p、q都满足()()(),fpqfpfq1(1).3f且（1）当nN时，求)(nf的表达式；（2）设),()(Nnnnfan求证：13;4nkka（3）设1(1)(),,()nnnkknfnbnNSbfn试比较11nkkS与6的大小．19．已知函数),10(log)(aaxxfa且若数列：),(),(,221afaf…，)(42),(Nnnafn成等差数列.（1）求数列}{na的通项na；（2）若}{,10naa数列的前n项和为Sn，求nnSlim；（3）若)(,2nnnafaba令，对任意)(,1tfbNnn都有,求实数t的取值范围.20．已知△OFQ的面积为.,62mFQOF且（1）设的夹角与求向量FQOFm,646正切值的取值范围；（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），2)146(,||cmcOF，当||OQ取得最小值时，求此双曲线的方程.（3）设F1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动点，且2|AB|=5|F1F|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.21、已知函数13)(2bxxxf是偶函数，cxxg5)(是奇函数，正数数列na满足11211)aaa(g)aa(f,annnnnn①求na的通项公式；②若na的前n项和为nS，求nnSlim.22、直角梯形ABCD中∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝2，AD＝23，BC＝21．椭圆C以A、B为焦点且经过点D．（1）建立适当坐标系，求椭圆C的方程；（2）若点E满足EC21AB，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且||||NEME，若存在，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由．23、．设函数,241)(xxf（1）求证：对一切)1()(,xfxfRx为定值；（2）记*),()1()1()2()1()0(Nnfnnfnfnffan求数列}{na的通项公式及前n项和.24.已知函数)(xf是定义在R上的偶函数.当X0时,)(xf=172xxx.(I)求当X0时,)(xf的解析式;(II)试确定函数y=)(xf(X0)在,1的单调性，并证明你的结论.(III)若21x且22x，证明：|)(1xf－)(2xf|2.25、已知抛物线xy42的准线与x轴交于M点，过M作直线与抛物线交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线与X轴交于D(X0,0)⑴求X0的取值范围。⑵△ABD能否是正三角形？若能求出X0的值，若不能，说明理由。26、已知□ABCD，A（-2，0），B（2，0），且∣AD∣=2⑴求□ABCD对角线交点E的轨迹方程。⑵过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，且∣MN∣=238，MN的中点到Y轴的距离为34，求椭圆的方程。⑶与E点轨迹相切的直线l交椭圆于P、Q两点，求∣PQ∣的最大值及此时l的方程。27．（14分）（理）已知椭圆)1(1222ayax，直线l过点A（－a，0）和点B（a，ta）（t＞0）交椭圆于M.直线MO交椭圆于N.（1）用a，t表示△AMN的面积S；（2）若t∈[1，2]，a为定值，求S的最大值.YDCEAOBXxyOAMNB28．已知函数f(x)=bx+cx+1的图象过原点，且关于点（-1，1）成中心对称.（1）求函数f(x)的解析式；（2）若数列{an}（n∈N*）满足：an0，a1=1，an+1=[f(an)]2，求数列{an}的通项公式an，并证明你的结论.30、已知点集},|),{(nmyyxL其中),1,1(),1,2(bnbxm点列),(nnnbaP在L中，1P为L与y轴的交点，等差数列}{na的公差为1，Nn。（1）求数列}{na，}{nb的通项公式；（2）若),2(||51nPPncnn求)(lim21nnccc；（3）若),()2()12()(Nkknbknanfnn是否存在Nk使得),(2)11(kfkf若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。21．经过抛物线24yx的焦点F的直线l与该抛物线交于A、B两点.(12分)（1）若线段AB的中点为(,)Mxy,直线的斜率为k,试求点M的坐标,并求点M的轨迹方程（2）若直线l的斜率2k,且点M到直线340xym的距离为15,试确定m的取值范围.1（1）解：由题意，可设椭圆的方程为()222122xyaa。由已知得,().22222acaccc解得,62ac所以椭圆的方程为22162xy，离心率63e。（2）解：由（1）可得A（3，0）。设直线PQ的方程为()3ykx。由方程组,()221623xyykx得()222231182760kxkxk，依题意()212230k，得6633k。设(,),(,)1122PxyQxy，则21221831kxxk，①212227631kxxk。②由直线PQ的方程得(),()112233ykxykx。于是()()[()]22121212123339yykxxkxxxx。③∵0OPOQ，∴12120xxyy。④由①②③④得251k，从而(,)566533k。所以直线PQ的方程为530xy或530xy（3，理工类考生做）证明：(,),(,)112233APxyAQxy。由已知得方程组(),,,.12122211222233162162xxyyxyxy注意1，解得2512x因(,),(,)1120FMxy，故(,)((),)1121231FMxyxy(,)(,)121122yy。而(,)(,)222122FQxyy，所以FMFQ。2①f(x)=12kx(2k≦x≦2k+2,k∈Z)②略⑶方程在[1，4]上有4个实根3①x2=4y②x1x2=-4⑶P(±2,1)SM