高考数学(理科)模拟试题(四)

高考数学（理科）模拟试题（四）一、选择题：（每小题5分，共40分）1、设集合U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,3,5},则CU(A∩B)等于()(A){1,2,4}(B){4}(C){3,5}(D)Ф2、已知sin=54，sin20,则tan2的值等于()(A)724(B)724(C)2524(D)25243、函数21xy的大致图象只能是（）（A）(B)(C)(D)4、双曲线的两条准线分顶点间距离为三等分，则双曲线的离心率为()(A)3(B)3(C)23(D)65、设A=}21|{xx，B=}|{axx,若AB，则实数a的取值范围是()(A),2(B),2(C)1,(D),16．如图，非零向量bOBa,OA,且BC⊥OA，C为垂足，设向量OCa，则λ的值为t()（（（A.2abaB.babaC.2bbaD.baba7、已知直线l平面，直线m平面，给出下列命题：若∥，则lm②若，则l∥mxyoxyoxyoxyo③若l∥m，则④若lm，则∥其中正确的命题是（）（A）③④（B）①③（C）②④（D）①②8、在某次数学测验中，记座号为)4,3,2,1(nn的同学的考试成绩为)(nf，若}100,98,90,88,85,70{)(nf，且满足)4()3()2()1(ffff，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有（）种(A)15(B)20(C)30(D)35二、填空题：（每小题5分，共30分）9、若a与b的夹角为1500，4||,3||ba，则|2|ba10、抛物线)20(cot2xy的焦点坐标是)161,0(，则tan11、△ABC中，BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C的值为12、22023xxdx。13、一个正整数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：则第9行中的第4个数是14、在以下三题中选做一道(1)过点A(2,3)的直线的参数方程232xttyt为参数，若此直线与直线30xy相交于点B，则AB＝。(2)已知222coscoscos1，则sinsinsin的最大值为。(3)若BE、CF是ABC的高，且ABCBECFSS四边形，则A＝。第1行1第2行23第3行4567……………三、解答题(满分80分)15、(本小题满分14分)已知A、B是△ABC内角，①若A、B)2,4(,求证：tanA•tanB1，②若B=32，求sinA+sinC的取值范围。16.(本小题满分14分)在一次军事演习中，某军同时出动了甲、乙、丙三架战斗机对一军事目标进行轰炸，已知甲击中目标的概率是43；甲、丙同时轰炸一次，目标未被击中的概率为121；乙、丙同时轰炸一次，都击中目标的概率是41.(1)求乙、丙各自击中目标的概率；(2)求目标被击中的概率.17.(本小题满分14分)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1上，F为BB1中点，且FD⊥AC1，(1)试求1DCAD的值；(2)求二面角F-AC1-C的大小;(3)求点C1到平面AFC的距离.18.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(n∈N*)，满足向量1nnAA与向量nnCB共线，且点Bn(n,bn)(n∈N*)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a1，b1与n来表示an;(2)设a1=a，b1=-a,且12a≤15，求数列{an}中的最小项。19.(本小题满分12分)已知定点F(0,a)(a≠0)，点P、M分别在x，y轴上，满足FP·MP＝0，点N满足PM＋PN＝0.(1)求N点的轨迹方程C；(2)过F作一条斜率为k的直线l，l与曲线C交于A、B两点，设G(0,-a),∠AGB=θ，求证：0θ≤2。20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=mx3-x的图象上，以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为4，(1)求m,n的值；(2)是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)≤k-1991对于x∈[-1,3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由;(3)求证：|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+t21)(x∈R，t0).参考答案一．选择题1－8ABBBAABA二．填空题9．210．1411．25712．4313．25914．(1)25(2)269(3)090三．解答题15．①证1tantan1tan1tan)2,4(,BABABA②解：1,23sinsin1)3sin(2332333032)3sin(cos23sin21)3sin(sinsinsin的取值范围是CAAAABAAAAACA16(12分)解：(1)记甲、乙、丙各自独立击中目标的事件分别为A、B、C.则由已知，得P(A)=43,P(A·C)=P(A)P(C)=41[1-P(C)]=121,∴P(C)=32…3分由P(B·C)＝P(B)P(C)=41，得32P(B)=41，∴P(B)＝83.…………8分(2)目标被击中的概率为1-P(A·B·C)＝1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=1-(1-43)(1-83)(1-32)=9691,…10分答:(1)乙、丙各自击中目标的概率分别为83，32;(2)目标被击中的概率为9691.…12分17.(12分)解(方法1)(1)连AF，FC1，∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱且各棱长都等于2，又F为BB1中点，∴Rt△ABF=Rt△C1B1F，∴AF=FC1.又在△AFC1中，FD⊥AC1，所以D为AC1的中点，即1DCAD=1.………4分(2)取AC的中点E，连接BE及DE，易得DE与FB平行且相等，∴四边形DEBF是平行四边形，∴FD与BE平行.∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,∴△ABC是正三角形,∴BE⊥AC，∴FD⊥AC.又∵FD⊥AC1，∴FD⊥平面ACC1，所以二面角F-AC1-C的大小为90°，…9分(3)运用等积法求解，AC＝2，AF＝CF＝5，可求S△ACF＝2，VF-ACC1=VB-ACC1=31×3×=332，VF-ACC1=VC1-ACF=31S△ACF×h，求得h=3.12分18.(14分)解：(1)∵点Bn(n,bn)(n∈N*)都在斜率为6的同一条直线上，∴nnbbnn)1(1=6，即bn+1-bn=6,于是数列{bn}是等差数列，故bn=b1+6(n-1).…………3分∵nn1nn1CBAA111与又,b,CB,aa,AAnnnnnn共线.∴1×(-bn)-(-1)(an+1-an)=0,即an+1-an=bn…………5分∴当n≥2时，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+b1+b2+b3+…+bn-1=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2)…………7分当n=1时，上式也成立.所以an=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2).…………8分(2)把a1=a,b1=-a代入上式，得an=a-a(n-1)+3(n-1)(n-2)=3n2-(9+a)n+6+2a.∵12a≤15,∴46927a,∴当n=4时，an取最小值，最小值为a4=18-2a.14分19.(14分)解：(1)∵0PNPM，∴P为MN的中点.设N(x,y)，则M(0，-y),P(02,x).于是FP(a,x2)，y,xMP2.∵,MPFP0∴(2x)2-ay=0.即N点的轨迹方程为x2=4ay………5分(2)由题意知，直线l的方程为y=kx+a,代入x2=4ay得x2-4akx-4a2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4ak,x1x2=-4a2.………7分∴y1+y2=(kx1+a)+(kx2+a)=k(x1+x2)+2a=4ak2+2a,y1y2=(kx1+a)(kx2+a)=k2x1x2+ak(x1+x2)+a2=-4a2k2+4a2k2+a2=a2…9分∵G(0，-a),∴GA=(x1,y1+a),GB(x2,y2+a).∴GBGA=x1x2+(y1+a)(y2+a)=x1x2+y1y2+a(y1+y2)+a2=-4a2+a2+a(4ak2+2a)+a2=4a2k2≥0,即|GA|·|GB|cosθ≥0，∴cosθ≥0,故0≤θ≤2.……12分又点G(0，-a)不在直线l上，∴A、B、G三点不共线.故0θ≤2.………14分20.(14分)解：(1)f′(x)=3mx2-1,依题意，得tan4=f′(1)，即1=3m-1,m=32.∴f′(x)=32,n=－31.(2)令f′(x)=2x2-1=0,得x=±22.当-1x-22时，f′(x)=2x2-10;当22x3时，f′(x)=2x2-10.又f(-1)=31,f(-22)=32,f(22)=-32,f(3)=15.因此，当x∈[-1,3]时-32≤f(x)≤15;………6分要使得不等式f(x)≤k-1991对于x∈[-1,3]恒成立，则k≥１５+1991=2006.………8分所以，存在最小的正整数k=2006,使不得等式f(x)≤k-1991对于x∈[-1,3]恒成立.(3)(方法1)：|f(sin)+f(cosx)|=|(32sin3x-sinx)+(32cos3x-cosx)|=|32(sin3x+cos3x)-(sinx+cosx)|=|(sinx+cosx)[32(sin2x-sinxcosx+cos2x)-1]|=|sinx+cosx|·|-32sinxcosx-31|=31|sinx+cosx|3=31|)4sin(x2|3≤322.………11分又∵t0,∴t+t21≥.tt,141222∴2f(t+t21)[32(t2+241t)-31≥]223223132.综上可得，|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+t21)(x∈R,t0).………14分(方法2)由(2)知，函数f(x)在[-1,-22]上是增函数；在[-22,22]上是减函数；在[22，1]上是增函数；又f(-1)=31,f.f,f,31132223222所以，当x∈[-1,1]时，-32≤f(x)≤32,即|f(x)|≤32.∵sinx,cosx∈[-1,1],∴|f(sinx)|≤32,|f(cosx)|≤32.∴|f(sinx)+f(cosx)|≤|f(sinx)|+|f(cosx)|≤32+32≤322………11分又∵t0.∴t+,t1221且函数f(x)在[1，+∞]上是增函数.∴2f(t+t21)≥2f(2)=2[32(2)3-2]=322.综上可得，|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+t21)(x∈R,t0).………14分