复数专题训练(四)精选练习及答案

复数专题训练（四）班级________姓名__________记分___________28、（本小题满分12分）(续前)复数z1、z2满足|z1|=|z2|=1，z1、z2在复平面内的对应点分别为Z1、Z2，O为原点．（1）若z2-z1=-1，求arg12zz；(2)设argz1=α，argz2=β，若ΔOZ1Z2的重心对应复数31+151i，求tg(α+β)的值．29、（本小题满分12分）设z为复数，D为满足条件||z|-1|+|z|-1=0的点Z所构成图形的边界．（1）若复数ω=21z+1-2i(z∈D)，求ω对应点的轨迹方程；（2）若满足条件|z+21|=|z-23i|所构成的图形D/与D有两个公共点A、B，OA、OB的倾斜角分别为α、β（O为原点），求cos(α+β)的值．30、（本小题满分14分）设无穷数列{zn}满足z1=-1+i，zn在复平面上的对应点为Zn(n=1，2，…)，将向量nOZ沿逆时针方向旋转4，且使模扩大到原来的2倍就得到向量1nOZ．(1).求这个数列的通项公式；(2).已知数列的第n项为-32，求n；(3).将数列{zn}中的实数项的倒数按原顺序排成一个新数列{bn}，并设Sn=b1+b2+…+bn，求nlimSn．参考答案：DCCBAAADCCBDBDD16、10,017、{-2,0,2}18、82，419、(1)Z为实数(2)0或1或-i232120、32;21、2;22、(1)–1;(2)300o;(3)-23I;(4)__________23、以(－1,0)为圆心,2为半径的圆.24、解析：设Z1=cos＋isin,Z2=-4(cos＋isin)∵Z1－Z2=1－2i3,∴)2(32sin4sin)1(1cos4cos(1)2＋(2)2得1＋16－8cos(－)=13,∴cos(－)=21,sin(－)=23∴21ZZ=21ZZ=[cos(－)＋isin(－)]=8381)3321(41ii25、．解：由|z1|=1，则1z=1z1，|z2|=4，则2z=2z16，∴|z1-z2|2=|z1|2+|z2|2-1zz2-z12z=|1-23i|2=13，∴1zz2+z12z=4，即12zz+1621zz=4，∴16（21zz）2-421zz+1=0，∴21zz=8i31，ω=221zz3z4=21（1±3i）-3=-25±23i．26、解：（1）设x0为原方程一实根，则x02-2(1+i)x0+21ab-(a-b)i=0，所以,abx2,0ab21x2x0020消去x0得(a+2)2+(b-2)2=8，所以-22-2≤a≤22-2，2-22≤b≤2+22．（2）设a+2=22cosθ，b-2=22sinθ，则x0=2ab=2sin(θ-4)+2∈[0，4]，所以此方程实根的最大值为4，最小值为0．27、解：设z的辐角主值为θ，则2z、3z的辐角的主值均为θ．∵|z|=2，∴|2z|=4，|3z|=6，∴S3AOP=21|OA|·|OP3|·|sinθ|=3|sinθ|，S1AOP=21|OA|·|OP1|·|sinθ|=|sinθ|，∴S21APP+S32APP=S3AOP-S1AOP=2|sinθ|=2，∴|sinθ|=1，即θ=2或θ=23，故z=2i或z=-2i．28、．解：（1）因为|z1|=|z2|=1，所以|z||z|12=1，设12zz=cosθ+isinθ，θ=arg12zz，代入z2-z1=-1，得(cosθ+isinθ)z1-z1=-1，所以z1(cosθ+isinθ-1)=-1，所以|(cosθ-1)+isinθ|=1，即22sin)1(cos=1，cos22=1，cosθ=21，所以arg12zz=θ=3或35．（2）设z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，则3coscos=31，且3sinsin=151，即,51sinsin,1coscos解得tg2=51，所以tg(α+β)=125．29、解：由已知，曲线D为|z|=1．（1）由ω=21z+1-2i得：|ω-1+2i|=21|z|=21，所求轨迹方程为(x-1)2+(y+2)2=41．（2）由|z+21|=|z-23i|及|z|=1，得（z+21）（z+21）=（z-23i）(z+23i)，且zz=1，化简得(3i-1)z2+4z-1-3i=0，所以zA·zB=-i31i31=-54+53i，又由于zA=cosα+isinα，zB=cosβ+isinβ，所以zA·zB=cos(α+β)+isin(α+β)，所以cos(α+β)=-54．30、解：（1）由题设知zn+1=2(cos4+isin4)zn=(1+i)zn，所以|zn|是以-1+i为首项，公比为1+i的等比数列，所以zn=(-1+i)(1+i)n-1=i(1+i)n．（2）因为zn=i(1+i)n=i(2)n=(cos4n+isin4n)，要zn∈R，则cos4n=0，4n=kπ+2，n=4k+2(k=0，1，2，…)，所以{zn}的实数项为z2，z6，z10，…，z4k+2，…，所以n1nbb=-41，所以{bn}是首项为-21，公比q=-41的等比数列，所以nlimSn=41121=-52．