参数方程、极坐标

学科：数学教学内容：参数方程、极坐标一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构1.直线的参数方程(1)标准式过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是atyyatxxsincos00(t为参数)(2)一般式过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=ab的直线的参数方程是btyyatxx00(t不参数)②在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a2+b2=1,②即为标准式，此时，｜t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b2≠1，则动点P到定点P0的距离是22ba｜t｜.直线参数方程的应用设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是sintyycostxx00(t为参数)若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则(1)P1、P2两点的坐标分别是(x0+t1cosα,y0+t1sinα)(x0+t2cosα,y0+t2sinα)；(2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜;(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则t=221tt中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜221tt｜(4)若P0为线段P1P2的中点，则t1+t2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是sinrbycosrax(是参数)φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，∈［0,2π］(见图)(2)椭圆椭圆2222byax=1(a＞b＞0)的参数方程是sincosbyax(为参数)椭圆2222byax=1(a＞b＞0)的参数方程是sincosaybx(为参数)3.极坐标极坐标系在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式)0(,sincos222xxytgyxyxρ　　　　ρρ三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例1在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解：将圆的方程化为参数方程：sin51cos52yx(θ为参数)则圆上点P坐标为(2+5cosθ，1+5sinθ)，它到所给直线的距离为d=223430sin15cos20=｜4cosθ+3sinθ+6｜=5·｜（54cosθ+53sinθ）+56｜=5｜cos(φ-θ)+56｜，其中cosφ=54，sinφ=53.故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例2极坐标方程表示的曲线C1∶ρ=f(θ),C2∶ρ=-f(π＋θ)必定是()A.关于直线θ=2对称B.关于极点对称C.关于极轴对称D.同一曲线解：因(ρ，θ)与(-ρ，π+θ)表示相同的点，故选D.(三)综合例题赏析例3椭圆sin51cos3yx(Φ是参数)的两个焦点坐标是()A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得25)1(9)3(22yx=1∴a2=25,b2=9,得c2＝１６,c=4.∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)∴在xOy坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).应选B.例4参数方程)sin1(212sin2cosyx(0＜θ＜2π)表示()A.双曲线的一支，这支过点(1，21)B.抛物线的一部分，这部分过(1，21)C.双曲线的一支，这支过(-1，21)D.抛物线的一部分，这部分过(-1，21)解：由参数式得x2=1+sinθ=2y(x＞0)即y=21x2(x＞0).∴应选B.例5曲线的参数方程为13322tytx(0≤t≤5)则曲线是()A.线段B.双曲线的一支C.圆弧D.射线解消去t2得，x-2=3(y-1)是直线又由0≤t≤5,得2≤x≤77,故为线段应选A.例6下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是()A.tytxB.tytx2coscosC.ttytgtx2cos12cos1D.ttytgtx2cos12cos1解：普通方程x2-y中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.C.中y=tt22sin2cos2=ctg2t=ttg21=21x，即x2y=1，故排除C.∴应选D.例7曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化成直角坐标方程为()A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4解：将ρ=22yx，sinθ=22yxy代入ρ=4sinθ，得x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4.∴应选B.例8极坐标ρ=cos(4-θ)表示的曲线是()A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为ρ=21(cosθ+sinθ)；2ρ2=ρcosθ+ρsinθ，∴普通方程为2(x2+y2)=x+y，表示圆.应选D.例9在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是()A.ρsinθ=2B.ρcosθ=2C.ρcosθ=-2D.ρcosθ=-4解：如图.⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥OX,OA为直径，｜OA｜=4,l和圆相切，l交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l上任意一点，则有cosθ=2OPOB，得ρcosθ=2，∴应选B.例10极坐标方程4sin2θ=3表示曲线是()A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解：由4sin2θ=3,得4·222yxy＝3,即y2=3x2，y=±3x,它表示两相交直线.∴应选B.【同步达纲练习】(一)选择题1.点P的直角坐标为(1，-3)，则点P的极坐标为()A.(2，3)B.(2，34)C.(2，-3)D.(-2，-34)2.直线：3x-4y-9=0与圆：sin2cos2yx，(θ为参数)的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3.若(x，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M的直角坐标和极坐标，t表示参数，则下列各组曲线：①θ=6和sinθ=21；②θ=6和tgθ=33，③ρ2-9=0和ρ=3；④tytx213222和tytx21322.其中表示相同曲线的组数为()A.1B.2C.3D.44.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=0，则M，N两点位置关系是()A.重合B.关于极点对称C.关于直线θ=2D.关于极轴对称5.实数x,y，θ满足x+yi=(cosθ+isinθ)(3cosθ+isinθ),当θ变化时，点(x,y)的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆6.经过点M(1，5)且倾斜角为3的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是()A.tytx235211B.tytx235211C.tytx235211D.txty2152317.将参数方程2222222222mmmbymmmmax(m是参数，ab≠0)化为普通方程是()A.2222byax=1(x≠a)B.2222byax=1(x≠-a)C.2222byax=1(x≠a)D.2222byax=1(x≠-a)8.把极坐标方程ρ=2sin(3+θ)化为直角坐标方程为()A.(x-23)2+(y-21)2=1B.y2=2(x-23)C.(x-23)(y-21)=0D.2222)21()23(yx＝19.参数方程21yttx(t为参数)所表示的曲线是()A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线10.双曲线sec212ytgx(θ为参数)的渐近线方程为()A.y-1=±21(x+2)B.y=±21xC.y-1=±2(x+2)D.y+1=±2(x-2)11.直线atyatxsincos(t为参数)与圆sin2cos24yx(θ为参数)相切，则直线的倾斜角为()A.6或65B.4或63C.3或32D.-6或-6512.已知曲线ptyptx222(t为参数)上的点M，N对应的参数分别为t1，t2，且t1+t2=0，那么M，N间的距离为()A.2p(t1+t2)B.2p(t21+t22)C.│2p(t1-t2)│D.2p(t1-t2)213.若点P(x，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy，y2-x2)也在单位圆上运动，其运动规律是()A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向14.已知过曲线sin4cos3yx(θ为参数，且0≤θ≤π)上一点P与原点O的直线PO的倾斜角为4，则P点坐标是()A.(3，4)B.(223，22)C.(-3，-4)D.(512，512)15.直线ρ=sincos23与直线l关于直线θ=4(ρ∈R)对称，则l的方程是()A.ρ=sincos23B.ρ=cossin23C.ρ=cossin23D.ρ=sincos23(二)填空题16.双曲线1121ttyttx的中心坐标是.17.参数方程cos1sincos1cosyx(θ为参数)化成普通方程为.18.极坐标方程ρcos(θ-6)=1的直角坐标方程是.19.抛物线y2=2px(p＞0)的一条过焦点的弦被焦点分成m、n长的两段，则nm11=.(三)解答题20.设椭圆sin32cos4yx(θ为参数)上一点P，若点P在第一象限，且∠xOP=3，求点P的坐标.21.曲线C的方程为ptyptx222(p＞0，t为参数)，当t∈［-1，2］时，曲线C的端点为A，B，设F是曲线C的焦点，且S△AFB=14，求P的值.22.已知过点P(1，-2)，倾斜角为6的直线l和抛物线x2=y+m(1)m取何值时，直线l和抛物线交于两点?(2)m取何值时，直线l被抛物线截下的线段长为3234.23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线tgyx3sec48(θ为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为49，求这椭圆上的点到双曲线渐近