不等式性质测试卷

典型例题一例1比较33x与x3的大小，其中Rx．解：xx3)3(2332xx，3)23(])23(3[222xx，43)23(2x，043，∴xx332．说明：由例1可以看出实数比较大小的依据是：①baba0；②baba0；③baba0．典型例题二例2比较16x与24xx的大小，其中Rx解：)()1(246xxx1246xxx，)1()1(224xxx，)1)(1(42xx，)1)(1)(1(222xxx，)1()1(222xx，∴当1x时，2461xxx；当1x时，.1246xxx说明：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，贵州省是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．典型例题三例3Rx，比较)12)(1(2xxx与)21(x（12xx）的大小．分析：直接作差需要将)12)(1(2xxx与)21(x（12xx）展开，过程复杂，式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差．解：∵)12)(1(2xxx=)1(x（122xxx）)1(2)1)(1(2xxxxx，)1)(211()1)(21(22xxxxxx)1(21)1)(1(22xxxxx，∴)1)(21()12)(1(22xxxxxx021)1(21)1(212xxxx．则有Rx时，)12)(1(2xxx)21(x（12xx）恒成立．说明：有的确问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形后，再作差．典型例题四例4设Rx，比较x11与x1的大小．解：作差xxxx1)1(112，1）当0x时，即012xx，∴xx111；2）当01x，即1x时，012xx，∴xx111；3）当01x但0x，即01x或0x时，012xx，∴xx111．说明：如本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号．此时要注意分类合理恰当．典型例题五例5比较1618与1816的大小分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用作商法。解：1616162161816)289()21()89(161)1618(1618.1618,016,1)289()1,0(28918161816＜＞＜说明：求商法比大小的变形要围绕与1比大小进行．典型例题六例6设0,0＞＞ba，且ba，比较：baba与abba的大小。分析：比较大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性质进行变形，然后确定大小。解：baabbaabbababababa)(当0＞＞ba时，0,1＞＞baba，1)(＞baba当0＞＞ab时，0,10＜＜＜baba1)(＞baba1)(＞baba即1＞abbababa，又0＞abba，abaababa＞说明：求商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.典型例题七例7实数dcba、、、满足条件：①dcba,；②0cbca；③0dbda，则有()A．bdcaB．dbacC．dbcaD．bdac（天津市2001年南开中学期末试题）分析：先由条件②③分析出ba、与dc、的关系，根据条件利用①用数轴数形结合比出大小．解：∵0cbca，∴ba、与c同侧∵0dbda，∴ba、与d异侧∵dcba,∴把dcba、、、标在数轴上，只有下面一种情况由此得出bdac，∴此题选D．说明：比较大小时可以借助于数轴，利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置，这样容易看出几个数之间的大小关系，尤其是比较的个数较多时适用．典型例题八例8已知①11ba；②31ba，求：ba3的取值范围．分析：此题是给代数式的字母的范围，求另外代数式的范围．分为两步来进行：(1)利用待定系数法将代数式ba3用ba和ba表示．(2)利用不等式性质及题目条件确定ba3的范围．解：设：byxayxbaybaxba)()()()(32113yxyxyx由①+②×2得：231)(2)(21baba即：731ba．说明：此题的一种典型错误做法，如下：,31,11baba420a，即：20a02413,11babba即：02b830,20,630baba此解法的错误原因是因为a与b是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当ba取到最大值或最小值时，ba不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围．避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解题过程．典型例题九例9判断下列各命题的真假，并说明理由．（1）若22bcac，则.ba（2）若ba，则.11ba（3）若0,cba，则.bcac（4）若dcba,，则.dbca（5）若caba,0，则.2bca（6）若Nmba,，则.mmba分析：利用不等式的性质来判断命题的真假．解：（1）0222cbcacbabcacc22201，是真命题．（2）可用赋值法：2,3ba，有ba11，是假命题．也可这样说明：ababba11，∵ba，只能确定0ab，但ab的符号无法确定，从而ba11的符号确定不了，所以ba11无法得到，实际上有：.110,baabba.110,baabba（3）与（2）类似，由babcaccba011，从而bcacba是假命题．（4）取特殊值：.3,2,1,5dcba有dbca，∴是假命题．定理3的推论是同向不等式可相加，但同向不等式相减不一定成立．只有异向不等式可相减，即.,dbcadcba（5）bcabcabbcaabaaba22000，∴是真命题．（6）定理4成立的条件为必须是正数．举反例：2,4,3mba，则有.mmba说明：在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的条件．要说明一个命题是假命题可通过举反例．典型例题十例10求证：.0,011,bababa分析：把已知的大小关系转化为差数的正负，再利用不等式的性质完成推理．证明：利用不等式的性质，得00011110ababbaabbababa.0,0异号,bababa典型例题十一例11若dcba,，则下面不等式中成立的一个是（）（A）cbda（B）bdac（C）dbca（D）bcad解：由不等式的性质知：（A）、（B）、（C）成立的条件都不充分，所以选（D），其实（D）正是异向不等式相减的结果．.bcadcddcbaba说明：本的解法都是不等式性质的基本应用，对于不等式的基本性质要逐条掌握准确，以便灵活应用．典型例题十二例12若11，则下面各式中恒成立的是（）．（A）02（B）12（C）01（D）11分析本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看到，已知条件中含有两个内容，即11，11和，根据不等式的性质，可得11，0，继而得到22且0，故02，因此选A．典型例题十三例13若cba，则一定成立的不等式是（）A．cbcaB．acabC．cbcaD．cba111分析：A错，当0,cba时有cbca；同样B错；D没有考虑各数取零和正负号的关系，所以也不对．故选C，因为不等式两边同时加上一个任意数（此题是c），原不等式成立．说明：这类题可以采用特例法：令0c即得C成立．典型例题十四例14已知：0cfeba，＞，＞，求证：bceacf＜．分析：要证明的式子中，左右均为二项差，其中都有一项是两字母积的形式，因此在证明时，对两项积要注意性质的使用，对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理．证明：，＞，＞，＞bcaccba0．＜bcac又，＜ef∴由同向加性可得：bceacf＜．说明：此题还可采用异向减性来处理：．＜，＞，＜bceacfbcacef做这类题过程并不复杂，关键是记准性质，并能正确地应用．典型例题十五例15已知集合,,2||145|A2AyyxxBxxxRI，＜０，求：BA．分析：要求BA，需要先求集合A和B，从已知来看，A的范围容易求，B的元素由Ay可以推算，但在推算过程中，要注意运用不等式的性质．解：,01452RIxx且.72x.7201452xxxxxA.72,yAy,2||.524yxy.5||,5||4xx.55x.55xxB}.52{xxBA说明：本题中的条件RI，意在明确集合A中的元素为R，若去掉此条件，会出现不确定的情况．比如，72x的实数和72x的整数显然是有区别的．另外，这里集合B的元素是通过集合A的元素求出的，解题时，一定要看清．典型例题十六例16设a和b都是非零实数，求不等式ba和ba11同时成立的充要条件．分析：本题是求两个不等式同时成立的充要条件，因此，这两个不等式不能分开来讨论．如果分开讨论，则ba成立的条件就是ba本身；而ba11成立的条件则是a与b同号，且ba，但这个条件只是ba11的一个充分条件，并且与第一个不等式ba是矛盾的．所以必须研究这两个不等式同时成立的条件．显然，应该从求它们同时成立的必要条件入手．解：先求ba，ba11同时成立的必要条件，即当ba，ba11同时成立时，a与b应具备什么条件．由baba11,，得.0,0ababba由0ba可知0ab，再由0abab知0ab，即a与b异号，因此ba0是不等式ba与ba11同时成立的必要条件．再求ba，ba11同时成立的充分条件．事实上，当ba0时，必有ba，且01,01ba，因而ba11成立．从而ba0是不等式ba，ba11同时成立的充分条件．因此，两个不等式ba，ba11同时成立的充要条件是ba0．说明：本题结果表明，ba与ba11同时成立，其充要条件是a为正数，b为负数．这与ba11成立的条件0ab，ab不要混淆．解本题是从必要条件入手的，即若ba，ba11同时成立，则要研究从不等式ba11和ba看a与b的大小有什么关系，从中得出结论（ba0），再把这个结论作为一个充分条件去验证ba及ba11能否同时成立．从而解决了本题．典型例题十七例17已知函数caxxf2)(满足：.5)2(1,1)1(4ff则)3(f应满足（）（A）26)3(7f（B）15)3(4f（C）20)3(1f（D）335)3(328f分析：如果能用)1(f与)2(f将)3(f“线性”表示出：)2()1()3(nfmff，就可利用不等式的基本性质，由)