北京市海淀区高三数学(文科)第二学期期中练习参考答案与评分标准2001.5一、选择题:(1)C;(2)D;(3)B;(4)C;(5)A;(6)B;(7)C;(8)C;(9)B;(10)C;(11)D;(12)D.二、填空题:(13)12;(14);12|xx(15)2,0;(16)123,122,242(写出一个即可)三、解答题:(17)解(I):设z=a+bi(a,Rb)∴abibaz2222………………………………1分由已知,有22222baab,可解出11ba或11ba∴iz11或iz12………………………………………………………………………3分∴4arg1z,45arg2z………………………………………………………………………5分∴)4sin4(cos21iz或)45sin45(cos22iz……………………………………7分(Ⅱ):当iz1时,可得iz22,izz12∴A(1,1),B(0,2),C(1,–1)∴11221ABCS………………………………………………………………………10分∴当iz1时,可得iz22,izz312∴A(–1,–1),B(0,2),C(–1,–3)∴11221ABCS综上ABC的面积为1.………………………………………………………………………12分(18)(I)证明:∵ABC是正三角形,AF是BC边中线,∴AF⊥BC.∵D、E分别是AB、AC的中点,∴DE∥BC,∴AF⊥DE.又AF∩DE=G,∴GA⊥DE,FG⊥DE,又GA∩FG=G,∴DE⊥平面FGA.……………………4分又DE平面DECB,∴平面FGA⊥平面DECB.…………6分(Ⅱ)解:∵GA⊥DE,GF⊥DE,∴∠GFA是二面角BDEA的平面角.………………………………………7分∵平面GFA⊥平面BCED,作OA⊥AG于O,∴OA⊥平面BCED.设BDEA,连结EO并延长交AD于H,∴EH⊥AD.∵AG⊥DE,.∴O是正三角形ADE的垂心也是中心.∵AD=DE=AE=2a,∴aAGGA43,aOG123.在OGARt中,31cosGAOGGOA.∵GOAGFA,∴31coscosGOAGFA.即当GFA的余弦值为31时,EA与BD互相垂直.…………………12分(19)解(I):∵当2n时,43nS,na,1232nS成等差数列,∴1232432nnnSSa,………………………………………………1分∴43nnSa(2n).由11a,可得4)1(322aa,∴212a.………………………………2分同理,可求出413a,814a.…………………………………………4分(Ⅱ):当2n时,∵43nnaS①,∴4311nnaS②,②–①得nnnaaa113.∴211nnaa为常数,……………………………………………………6分∴2a,3a,4a,…,na,…成等比数列,其中首项212a,21q.……………………………………………………………………………7分∴通项)2()21()21(211)(n112nannn.……9分(Ⅲ):∵)(13221nnnaaaaaaS∴)(lim1lim32nnnnaaaS=34311)21(1211…………………………………………12分(20)解(I):∵)(xfy是以5为周期的周期函数,∴)1()15()4(fff.∵函数)(xfy(11x)是奇函数,∴)4()1()1(fff.∴0)4()1(ff.……………………………………………………………6分(Ⅱ):当4,1x时,由题意,可设5)2()(2xaxf(0a),由0)4()1(ff,得05)24(5)21(22aa,∴2a.∴5)2(2)(2xxf(41x).……………………………………12分(21)解(I):由已知数据,易知)(tfy的周期T=12,………………………………1分∴62T.由已知,振幅A=3,b=10,………………………………………………………3分∴106sin3ty.…………………………………………………………………4分(Ⅱ):由题意,该船进出港时,水深应不小于5.115.65(米),∴5.11106sin3t.………………………………………………………………6分即216sint.解得,652662ktk(Zk),∴512112ktk(Zk).………………………………………………8分在同一天内,取0k或1,∴51t或1713t.…………………………10分答:该船可在当日凌晨1时进港,17时离港,它在港内至多停留16小时。………………………………………………………………………………………12分(22)解(I):∵522ODCDCD,又圆D与圆C外切(O为原点),∴圆D半径325r.……………………………………………………2分此时,A、B坐标分别为(0,0),(0,6).又PA在x轴上,PB斜率k=2,∴2APBtg.………………………………………………………………5分(Ⅱ):设D点坐标为(0,a),圆D的半径为r,则2216)2(ar①……6分∴A、B两点坐标为),0(ra,),0(ra.设PA、PB的斜率分别为1k、2k,∴31rak,32rak.………………………………………………8分∴229633133rarrarararaAPBtg②由①得16)2(22ra代入②,得68923346rrrAPBtg.而68r为单调增函数……………………………………………………10分由圆D与圆C外切,知,2r,………………………………………12分∴APBtg取值范围是512,23即APBtg的最大值是512.………………………………………………14分注:其它正确解法可按相应步骤给分.