北京市海淀区高三年级2005—2006学年度试卷(数学理科)

北京市海淀区高三年级2005—2006学年度试卷数学(理科)2005．12一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U=|2，4，6，8，10}，集合A={2，4，6}，B={4，8|则A∩(CUB)=A.|4}B.|4,6|C.|6}D.|2,6|2.(ii131)2=A.i3B.i3C.i3D.i33.函数y=)1(11xx的反函数是A.y=x2-2x+2(x＜1)B.y=x2-2x+2(x≥1)C.y=x2-2x(x＜1)D.y=x2-2x(x≥1)4.若﹁p是﹁q的必要不充分条件，则p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件5.若将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有A.24种B.36种C.48种D.72种6.函数y=)23(log31x的定义域是A.[1,+∞]B.,32C.132，D.,1327.若ba11＜＜0，则下列不等式①a+b＜ab;②|a|＞|b|;③a＜b;④2＞baab中，正确的不等式有A.1个B.2个C.3个D.4个8.若函数f(x)=).1(,log),1(,221＞xxxx则y=f(1-x)的图象可以是二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.9.某地区有A、B、C三家养鸡场，鸡的数量分别为12000只，8000只，4000只，为了预防禽流感，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为120只的样本检查疫情，则从A、B、C三家鸡场分别抽取的个体数为_____________只，_____________只，______________只.10.若(1+ax)5展开式中x3的系数为-80，则实数a=____________________.11.若等差数列{an}中，公差d=2，且a1+a2…+a100=200，则a5+a10+a15+…+a100的值是__________.12.nlim(12112131211nnnnnnn)的值为________________.13.函数f(x)=241x(x∈R)，若x1+x2=1，则f(x1)+f(x2)=__________，又若n∈N+，则fnnfnnfnfn121_______________.14.抛一枚均匀硬币，正、反每面出现的概率都是21，反复这样的投掷.数列|an|定义如下：an=.n,n,次投掷出现反面第次投掷出现正面第1,1txjy若Sn=a1+a2+…+an(n∈N+)，则事件“S8=2”的概率为_________，事件“S2≠0，且S8=2”的概率为_______________.三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.(本小题共13分)设关于x的不等式|x-a|＜2(a∈R)的解集为A，不等式212xx＜1的解集为B.(Ⅰ)求集合A、B；(Ⅱ)若AB，求实数a的取值范围.16.(本小题共14分)已知函数f(x)=x2eax,其中a＞0，e为自然对数的底数.(Ⅰ)求f′(x);(Ⅱ)求f(x)的单调区间；(Ⅲ)求函数f(x)在区间［0，1］上的最大值.17.(本小题共13分)某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为51，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元.某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券.设该顾客购买餐桌的实际支出为ξ(元).(Ⅰ)求ξ的所有可能取值；(Ⅱ)求ξ的分布列；(Ⅲ)求Eξ.18.(本小题共14分)已知函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立，f(1)=0.(Ⅰ)求f(0)的值；(Ⅱ)求f(x)的解析式；(Ⅲ)若函数g(x)=(x+1)f(x)-a［f(x+1)-x］在区间(-1，2)上是减函数，求实数a的取值范围.19.(本小题共14分)已知等差数列{an}(n∈N+)的第2项为8，前10项的和为185.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按取出顺序组成一个新数列{bn}，试求数列{bn}的前n项和Sn；(Ⅲ)设Tn=n(9+an)，试比较Sn与Tn的大小，并说明理由.20.(本小题共12分)已知函数f(x)=214823xbxaxx，定义域为［-1，1］(Ⅰ)若a=b=0，求f(x)的最小值；(Ⅱ)若对任意x∈［-1，1］，不等式6≤f(x)≤5+26xx均成立，求实数a,b的值.数学参考答案及评分标准(理科)一、选择题(每小题5分，共40分)1.D2.D3.B4.A5.B6.D7.B8.C二、填空题(每小题5分，共30分)9.604020(对一个给2分，对二个给4分，对三个给5分)10.-211.12012.-113.121421n(第一空2分，第二空3分)14.12813327(第一空2分，第二空3分)三、解答题(本大题共6小题，共80分)15.(本小题共13分)解：(Ⅰ)由不等式|x-a|＜2，则-2＜x-a＜2a-2＜x＜a+2∴A=｛x|a-2＜x＜a+2｝.…………………………………………3分由不等式1212＜xx，则23xx＜0…………………………………………5分即：(x-3)(x+2)＜0解得：-2＜x＜3∴B={x|-2＜x＜3|…………………………………………7分(Ⅱ)由AB,则3222aa…………………………………………10分解得：0≤a≤1.…………………………………………13分即AB时，a∈［0,1］(不写等号，只给12分)16.(本小题共14分)解：(Ⅰ)f′(x)=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax。…………………………………………3分(Ⅱ)∵a＞0,eax＞0当2x+ax2＞0时，得x＜-a2或x＞0，…………………………………………6分当2x+ax2＜0时，得-a2＜x＜0.…………………………………………9分所以，函数f(x)在区间(-∞，-a2)内为增函数，在区间(02,a)内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数……………11分(Ⅲ)函数f(x)在区间［0,+∞］内为增函数，∴f(x)在［0,1］上的最大值为f(1)=ea.……………………………………14分17.(本小题共13分)解：(Ⅰ)ξ的所有可能取值为3400,2400,1400,400.…………………………………2分(Ⅱ)P(ξ=3400)=(54)3=12564…………………………………………7分P(ξ=2400)=C13(51)(54)2=12548…………………………………………6分P(ξ=1400)=C23(51)2(54)=12512…………………………………………8分P(ξ=400)=C33(51)3=1251…………………………………………10分ξ的分布列为…………………………………………11分ξ340024001400400P1256412548125121251(Ⅲ)Eξ=3400×12564+2400×12548+1400×12512+400×1251=2800.……………13分18.(本小题共14分)解：(Ⅰ)令x=1,y=0得f(0)=-2…………………………………………4分(Ⅱ)令y=0，由(Ⅰ)可得f(x)=x2+x-2…………………………………………7分(Ⅲ)g(x)=(x+1)f(x)-a［f(x+1)-x］=x3+(2-a)x2-(2a+1)x-2…………………………………………8分g(x)=3x2+2(2-a)x-(2a+1)…………………………………………9分∵g(x)在(-1，2)上是减函数∴0(2)0(-1)gg即012-)-4(21201-2-)-(223aaaa……………………………………12分解不等式组得a≥619.…………………………………………14分∴综上，当函数g(x)在区间(-1，2)上是减函数时，a∈［，619).(没有等号扣2分)19.(本小题共14分)解：(Ⅰ)设数列|an|首项、公差分别为a1、d.则由已知得a1+d=8①,10a1+d2910=185②…………………………………………2分联立①②解得a1=5，d=3.…………………………………………4分所以：an=3n+2(n∈N*)(Ⅱ)bn=an2(n∈N*).Sn=b1+b2+…+bn=a12+a12+…+a2n=na1+［(21-1)d+(22-1)d+…+(2n-1)d］=n(a1-d)+2(2n-1)d=3·2n+1+2n-6(n∈N*).…………………………………………9分(Ⅲ)由Tn=n(9+an)=3n2+11nn3n2+11n3·2n+1+2n-6114823422360484929851301966174390………猜想n＜4时，Ta＞Sn;n≥4时，Ta＜Sn.…………………………………………10分n=1,2,3,已证，(1)n=4已证，(2)假设当n=k时，Tk＜Sk(k∈N*，且k≥4)成立.即3·2k+1+2k-6＞3k2+11k(k∈N*，且k≥4)成立.当n=k+1时，Sk-1=3·2(k+1)+1+2(k+1)-6=3·2k+1+2k-6+3·2k+1+2＞3k2+11k+3·2k+1+2因为k≥4，所以2k=(1+1)k=C0k+C1k+C2k+…+Ckk＞k+2所以Sk+1＞3k2+11k+3·2·(k+2)+2=3(k+1)2+11(k+1)=Tk+1这就是说，当n=k+1时，不等式成立.根据(1)和(2)，可知对任意n≥4(n∈N*)Tn＜Sn都成立.………………………14分综上，当n＜4时，Tn＞Sn;n≥4时，Tn＜Sn(n∈N*).20.(本小题共12分)解：(Ⅰ)当a=b=0时f(x)=21483xxf′(x)=223)2(144816xxx…………………………………………2分记h(x)=16x3+48x2-14令h(x)=0,得x=4217，x=4217,或x=21.若x∈42171,或121,，则f′(x)＞0,即f(x)在42171,和121,上为增函数.若x∈214217,，则f′(x)＜0，即f(x)在214217,上为减函数，∴f(21)=6为极小值.又f(-1)=6，∴f(x)在［-1,1］上的最小值为f(-1)=f(21)=6.∴f(x)≥6，当x=-1或21时，f(x)取到最小值6.……………………………6分(Ⅱ)6≤f(x)≤5+26xx6≤214823xbxaxx≤5+26xx6(x+2)≤8x3+ax2+6x+14≤6x+160≤8x3+ax2+(b-6)x+2≤4…………………………………………8分即)(#42)6(8(*)02)6(82323xbaxxxbaxx在不等式(*)中，取x=-1，21，得-8+a-(b-6)+2≥01+02)6(2141ba即a-b≥0,41a+21b≥0亦即-a+b≤0(1)02141ba(2)在不等式(#)中，取x=1，-21，得8+a+(b-6)+2≤4-1+41a-21(b-6)+2≤4即a+b≤0,ba2141≤0亦即a+b≤0(3)-41a+b21≥0(4)(1)+(3)，得b≤0(2)+(4)，得b≥0∴b=0将b=0代入(2)，得a≥0将b=0代入(3)，得a≤0∴a=0当a=0，b=0时，6≤f(x)≤5+2