北京市东城区2002届高三理科数学二模试题

北京市东城区2002年高三总复习练习（二）数学（理工农医类）学校______班级________姓名_______本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式：三角函数的和差化积公式正棱台、圆台的侧面积公式2cos2sin2sinsinlccS)'(21台侧2sin2cos2sinsin其中c'、c分别表示上、下底面周长，2cos2cos2coscosl表示斜高或母线长台体的体积公式：2sin2sin2coscoshSSSSV)(31台体其中S'、S分别表示上、下底面积，h表示高.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。（1）若角α与角β的终边关于y轴对称，则（A）)(2zkk（B）)(zkk（C）)(22zkk（D）)(2zkk（2）若圆锥的轴截面为直角三角形，则它的侧面展开图的圆心角为（A）2（B）2（C）23（D）π（3）入射光线沿直线x-2y+3=0射向直线l:y=x，被直线l反射后的光线所在直线的方程是（A）x+2y-3=0（B）x+2y+3=0（C）2x-y-3=0（D）2x-y+3=0（4）已知211tgtg，则)4(tg的值是（A）2（B）-2（C）21（D）21（5）若共轭双曲线的离心率分别为1e和2e，则（A）121ee（B）11121ee（C）12221ee（D）1112221ee（6）函数)1,1,0(||logabaabxya的图象只可能是（7）在极坐标系中，点A在曲线)4sin(2上，点B在曲线1cos上，则|AB|的最小值是（A）22（B）2（C）221（D）12（8）已知如图，∠C=90°AC=BC，M、N分别为BC和AB的中点，沿直线MN将△BMN折起，使二面角B′-MN-B为60°，则斜线B′A与平面ABC所成角的正切值为（A）52（B）53（C）54（D）53（9）已知θ为第二象限角，且2cos2sin，那么2cos2sin的取值范围是（A）(-1,0)（B）)2,1(（C）(-1,1)（D）)1,2(（10）已知函数)(xfy对任意实数都有f(-x)=f(x),f(x)=-f(x+1)且在[0,1]上单调递减，则（A）)57()37()27(fff（B）)37()27()57(fff（C）)57()27()37(fff（D）)27()37()57(fff（11）小王打算用70元购买面值分别为20元和30元的两种IC电话卡.若他至少买一张，则不同的买法一共有（A）5种（B）6种（C）7种（D）8种（12）已知平面α及以下三个几何体：①长、宽、高皆不相等的长方体②底面为平行四边形但不是矩形和菱形的四棱锥③正四面体这三个几何体在平面α上的射影可以是正方形的几何体是（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。（13）nba)(展开式中的第5项与第11项的二项展开式系数相等，则n=_____________.(14)在直角坐标平面内，到点（1,1）和直线x=-3距离相等的点的轨迹方程是_______.（15）在等差数列}{na与等比数列}{nb中，011ba,01212nnba（n=1,2,3……）则1na与1nb的大小关系是__________________.(16)如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：①点H与点C重合②点D与点M与点R重合③点B与点Q重合④点A与点S重合其中正确命题的序号是___________________.（注：把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)已知复数1z,2z满足1||||21zz，izz232121,求21zz的值。（18）（本小题满分12分）解关于x的不等式：)1(log1logxxaa.其中a0,a≠1.(19)（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P—ABCD中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC中点。(Ⅰ)求证：PA//平面EDB；(Ⅱ)求证：平面EDB⊥平面PBC；(Ⅲ)求二面角D-PB-C的正切值.(20)(本小题满分12分)某房屋开发商出售一套50万元的住宅。可以首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后付清；也可以一次付清，并优惠x%。问开发商怎样确定优惠率可以鼓励购房者一次付款.(按一年定期存款税后利率2%，一年一年续存方式计算.x取整数.计算过程中可参考以下数据：19.102.19,2.102.110,24.102.111)(21)(本小题满分12分)已知双曲线1:2222byaxC(a0,b0)的一条准线方程为59x，一个顶点一到一条渐近线的距离为512。(Ⅰ)求双曲线C的方程；(Ⅱ)动点P到双曲C的左顶点A和右焦点F的距离之和为常数(大于|AF|)，且APFcos的最小值为257，求动点P的轨迹方程.(22)(本小题满分14分)已知函数aaaxfx)(.（a0,a≠1）(Ⅰ)证明函数y=f(x)的图象关于点)21,21(对称；(Ⅱ)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值；(Ⅲ)若)()1(nfnfbn，求对任意自然数n，总有2nban成立的最小自然数a的值，并给出证明.北京市东城区2002年高三数学总复习练习(理工农医类)(二)参考答案及评分标准一、（1）A（2）B（3）C（4）D（5）D（6）B（7）A（8）B（9）D（10）B（11）C（12）D二、（13）14（14）)1(8)1(2xy（15）11nnba（16）②④三、（17）解：设aiazsincos1，sincos2iz.由已知，得分3(2)23sinsin(1)21coscos22)2()1(，得4341sincossinsin2coscos2sincos2222。∴21)cos(。……………………8分可求得23)sin(。………………10分则)sin()cos(21izz.2321i。………………12分（用数形结合法作的，必须步骤完整，叙术清楚才能给满分）（18）解：原不等式等价于).1(loglogxaxaa当0a1时，原不等式等价于xaxxax1,01,0…………………………2分11,1,0axxx………………………4分当a0时，有1110a.∴此时不等式的解为111xa。……………………6分当a1时，原不等式等价于xaxxax1,01,0…………………………8分11,1,0axxx……………………10分当a1时，有.1110a∴此时不等式的解为1110ax.综上：当0a1时，原不等式的解为,111xa当a1时，原不等式的解为.1110ax………………12分（19）（Ⅰ）证：连AC交BD于O，连EO.由四边形ABCD为正方形，得O为AC中点在△PAC中，由中位线定理得EO//PA……………………2分又EO平面EDB，PA平面EDB，∴PA//平面EDB.…………………………………………4分（Ⅱ）证：由平面PDC⊥平面ABCD，BC⊥DC，得BC⊥平面PDC.又DE平面PDC，则BC⊥DE.E为PC的中点，△PDC为正三角形，∴DE⊥PC.BC∩PC=C，∴DE⊥平面PBC.又DE平面EDB，∴平面EDB⊥平面PBC.…………………………8分（Ⅲ）作EF⊥PB于F，连DF，由DE⊥平面PBC及三垂线定理得DF⊥PB.∠DFE是所求二面角的平面角.设BC=4，则PC=4.在等边△PDC中求出32DE.在Rt△PFE中，∠EPF=45°，PE=2，可求出2FE.∴6232FEDEDFEtg.……………………12分（20）解：由题意得)102.102.102.1(5%)1(02.150899x……………………4分102.1102.1%)1(02.110109x02.002.110102.1%1910x…………………………6分02.019.11012.18403.019.11.………………………………8分。∴x%15.97%.答：一次付款的优惠率应不低于是16%.…………………………12分（21）解：(Ⅰ)由已知得方程组(2).512(1),59222baabca由(1)得.59222baa(3))3()2(并化简，得ab34.(4)将(4)代入(3)，解得a=3.∴b=4,c=5.116922yx为所求.…………5分（Ⅱ）由已知及椭圆定义得，点P的轨迹为椭圆.令椭圆的长轴长、短轴长和焦距分别为2a、2b和2c.可求得2c=5-(-3)=8.…………………………6分设|PA|=m,|PF|=n,∠APF=θ，由余弦定理，得mnnm264cos221264)(2642)(22mnnmmnmnnm……………………7分.1)2(264)(22nmnm将m+n=2a代入上式，得22232112644cosaaa.……………………9分当且仅当m=n=a是取等号.由已知得方程.2573212a解得252a……………………10分∴.916252b求出椭圆中心的坐标为（1，0）.则1925)1(22yx为所求.……………………12分（22）（Ⅰ）证明：函数f(x)的定义域为全体实数.任意一点（x,y）关于点)21,21(对称的点的坐标为（1-x,-1-y）………………2分由已知，aaayx，则aaaaaayxxx11.aaaaaaaxfxx1)1(.aaaaaaaaxxxx∴-1-y=f(1-x).即函数y=f(x)的图象关于点)21,21(对称.……………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）有-1-f(x)=f(1-x),即f(x)+f(1-x)=-1.∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1.则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3…………………………9分（Ⅲ）解：.)()1(aanfnfbnn∴nnaba.…………………………………………………10分由已知，a≠1.当a=2时，22nn，当n=2时不成立.当a=3时，23nn对任意自然数n都成立.下面用数学归纳法证明.当n=1时，左=3，右=1，31，不等式成立.当n=2时，左=9，右=4，94，不等式成立.令n=k(k≥2，k∈N)时不等式成立，即.32kk则n=k+1时，213333kkk左，.12)1(22kkk右.2