北京市东城区2002年高三总复习练习(二)数学(理工农医类)学校______班级________姓名_______本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式:三角函数的和差化积公式正棱台、圆台的侧面积公式2cos2sin2sinsinlccS)'(21台侧2sin2cos2sinsin其中c'、c分别表示上、下底面周长,2cos2cos2coscosl表示斜高或母线长台体的体积公式:2sin2sin2coscoshSSSSV)(31台体其中S'、S分别表示上、下底面积,h表示高.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。(1)若角α与角β的终边关于y轴对称,则(A))(2zkk(B))(zkk(C))(22zkk(D))(2zkk(2)若圆锥的轴截面为直角三角形,则它的侧面展开图的圆心角为(A)2(B)2(C)23(D)π(3)入射光线沿直线x-2y+3=0射向直线l:y=x,被直线l反射后的光线所在直线的方程是(A)x+2y-3=0(B)x+2y+3=0(C)2x-y-3=0(D)2x-y+3=0(4)已知211tgtg,则)4(tg的值是(A)2(B)-2(C)21(D)21(5)若共轭双曲线的离心率分别为1e和2e,则(A)121ee(B)11121ee(C)12221ee(D)1112221ee(6)函数)1,1,0(||logabaabxya的图象只可能是(7)在极坐标系中,点A在曲线)4sin(2上,点B在曲线1cos上,则|AB|的最小值是(A)22(B)2(C)221(D)12(8)已知如图,∠C=90°AC=BC,M、N分别为BC和AB的中点,沿直线MN将△BMN折起,使二面角B′-MN-B为60°,则斜线B′A与平面ABC所成角的正切值为(A)52(B)53(C)54(D)53(9)已知θ为第二象限角,且2cos2sin,那么2cos2sin的取值范围是(A)(-1,0)(B))2,1((C)(-1,1)(D))1,2((10)已知函数)(xfy对任意实数都有f(-x)=f(x),f(x)=-f(x+1)且在[0,1]上单调递减,则(A))57()37()27(fff(B))37()27()57(fff(C))57()27()37(fff(D))27()37()57(fff(11)小王打算用70元购买面值分别为20元和30元的两种IC电话卡.若他至少买一张,则不同的买法一共有(A)5种(B)6种(C)7种(D)8种(12)已知平面α及以下三个几何体:①长、宽、高皆不相等的长方体②底面为平行四边形但不是矩形和菱形的四棱锥③正四面体这三个几何体在平面α上的射影可以是正方形的几何体是(A)①②(B)①③(C)②③(D)①②③第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项:1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。把答案填在题中横线上。(13)nba)(展开式中的第5项与第11项的二项展开式系数相等,则n=_____________.(14)在直角坐标平面内,到点(1,1)和直线x=-3距离相等的点的轨迹方程是_______.(15)在等差数列}{na与等比数列}{nb中,011ba,01212nnba(n=1,2,3……)则1na与1nb的大小关系是__________________.(16)如图,这是一个正方体的表面展开图,若把它再折回成正方体后,有下列命题:①点H与点C重合②点D与点M与点R重合③点B与点Q重合④点A与点S重合其中正确命题的序号是___________________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)已知复数1z,2z满足1||||21zz,izz232121,求21zz的值。(18)(本小题满分12分)解关于x的不等式:)1(log1logxxaa.其中a0,a≠1.(19)(本小题满分12分)如图,已知四棱锥P—ABCD中,底面四边形为正方形,侧面PDC为正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC中点。(Ⅰ)求证:PA//平面EDB;(Ⅱ)求证:平面EDB⊥平面PBC;(Ⅲ)求二面角D-PB-C的正切值.(20)(本小题满分12分)某房屋开发商出售一套50万元的住宅。可以首付5万元,以后每过一年付5万元,9年后付清;也可以一次付清,并优惠x%。问开发商怎样确定优惠率可以鼓励购房者一次付款.(按一年定期存款税后利率2%,一年一年续存方式计算.x取整数.计算过程中可参考以下数据:19.102.19,2.102.110,24.102.111)(21)(本小题满分12分)已知双曲线1:2222byaxC(a0,b0)的一条准线方程为59x,一个顶点一到一条渐近线的距离为512。(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)动点P到双曲C的左顶点A和右焦点F的距离之和为常数(大于|AF|),且APFcos的最小值为257,求动点P的轨迹方程.(22)(本小题满分14分)已知函数aaaxfx)(.(a0,a≠1)(Ⅰ)证明函数y=f(x)的图象关于点)21,21(对称;(Ⅱ)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值;(Ⅲ)若)()1(nfnfbn,求对任意自然数n,总有2nban成立的最小自然数a的值,并给出证明.北京市东城区2002年高三数学总复习练习(理工农医类)(二)参考答案及评分标准一、(1)A(2)B(3)C(4)D(5)D(6)B(7)A(8)B(9)D(10)B(11)C(12)D二、(13)14(14))1(8)1(2xy(15)11nnba(16)②④三、(17)解:设aiazsincos1,sincos2iz.由已知,得分3(2)23sinsin(1)21coscos22)2()1(,得4341sincossinsin2coscos2sincos2222。∴21)cos(。……………………8分可求得23)sin(。………………10分则)sin()cos(21izz.2321i。………………12分(用数形结合法作的,必须步骤完整,叙术清楚才能给满分)(18)解:原不等式等价于).1(loglogxaxaa当0a1时,原不等式等价于xaxxax1,01,0…………………………2分11,1,0axxx………………………4分当a0时,有1110a.∴此时不等式的解为111xa。……………………6分当a1时,原不等式等价于xaxxax1,01,0…………………………8分11,1,0axxx……………………10分当a1时,有.1110a∴此时不等式的解为1110ax.综上:当0a1时,原不等式的解为,111xa当a1时,原不等式的解为.1110ax………………12分(19)(Ⅰ)证:连AC交BD于O,连EO.由四边形ABCD为正方形,得O为AC中点在△PAC中,由中位线定理得EO//PA……………………2分又EO平面EDB,PA平面EDB,∴PA//平面EDB.…………………………………………4分(Ⅱ)证:由平面PDC⊥平面ABCD,BC⊥DC,得BC⊥平面PDC.又DE平面PDC,则BC⊥DE.E为PC的中点,△PDC为正三角形,∴DE⊥PC.BC∩PC=C,∴DE⊥平面PBC.又DE平面EDB,∴平面EDB⊥平面PBC.…………………………8分(Ⅲ)作EF⊥PB于F,连DF,由DE⊥平面PBC及三垂线定理得DF⊥PB.∠DFE是所求二面角的平面角.设BC=4,则PC=4.在等边△PDC中求出32DE.在Rt△PFE中,∠EPF=45°,PE=2,可求出2FE.∴6232FEDEDFEtg.……………………12分(20)解:由题意得)102.102.102.1(5%)1(02.150899x……………………4分102.1102.1%)1(02.110109x02.002.110102.1%1910x…………………………6分02.019.11012.18403.019.11.………………………………8分。∴x%15.97%.答:一次付款的优惠率应不低于是16%.…………………………12分(21)解:(Ⅰ)由已知得方程组(2).512(1),59222baabca由(1)得.59222baa(3))3()2(并化简,得ab34.(4)将(4)代入(3),解得a=3.∴b=4,c=5.116922yx为所求.…………5分(Ⅱ)由已知及椭圆定义得,点P的轨迹为椭圆.令椭圆的长轴长、短轴长和焦距分别为2a、2b和2c.可求得2c=5-(-3)=8.…………………………6分设|PA|=m,|PF|=n,∠APF=θ,由余弦定理,得mnnm264cos221264)(2642)(22mnnmmnmnnm……………………7分.1)2(264)(22nmnm将m+n=2a代入上式,得22232112644cosaaa.……………………9分当且仅当m=n=a是取等号.由已知得方程.2573212a解得252a……………………10分∴.916252b求出椭圆中心的坐标为(1,0).则1925)1(22yx为所求.……………………12分(22)(Ⅰ)证明:函数f(x)的定义域为全体实数.任意一点(x,y)关于点)21,21(对称的点的坐标为(1-x,-1-y)………………2分由已知,aaayx,则aaaaaayxxx11.aaaaaaaxfxx1)1(.aaaaaaaaxxxx∴-1-y=f(1-x).即函数y=f(x)的图象关于点)21,21(对称.……………………5分(Ⅱ)解:由(Ⅰ)有-1-f(x)=f(1-x),即f(x)+f(1-x)=-1.∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1.则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3…………………………9分(Ⅲ)解:.)()1(aanfnfbnn∴nnaba.…………………………………………………10分由已知,a≠1.当a=2时,22nn,当n=2时不成立.当a=3时,23nn对任意自然数n都成立.下面用数学归纳法证明.当n=1时,左=3,右=1,31,不等式成立.当n=2时,左=9,右=4,94,不等式成立.令n=k(k≥2,k∈N)时不等式成立,即.32kk则n=k+1时,213333kkk左,.12)1(22kkk右.2