6.4不等式的解法

学科：数学教学内容：6.4不等式的解法【基础知识精讲】1.解不等式的基本思想我们已学过的一元一次不等式、一元二次不等式的解法是学习本节的基础.在解其它类型的不等式时，通过转化，将它们等价变形为一次、二次不等式(组).转化思想为：如果不等式是超越不等式，则把它等价变形为代数不等式；如果代数不等式是无理不等式，则把它等价变形为有理不等式；如果有理不等式是分式不等式，则把它等价变形为整式不等式；如果整式不等式是高次不等式，则把它等价变形为一次、二次不等式(组).注意：每一步变形，都应是不等式的等价变形.2.不等式的解法①一元一次不等式的解法一元一次不等式axb的解集情况是：1°当a0时，解集为｛x｜xab｝2°当a0时，解集为｛x｜xab｝3°当a＝0时，b≥0时，解集为b0时，解集为R.②一元二次不等式的解法：设a0，x1，x2是方程.ax2+bx+c＝0的两实根，且x1x2，则一元二次不等式的解集如下表所示：类型解集ax+bx+c0ax2+bx+c≥0ax2+bx+c0ax2+bx+c≤0Δ0｛x｜xx1或xx2｝｛x|x≤x1或x≥x2｝｛x｜x1xx2｝｛x｜x1≤x≤x2｝Δ＝0｛x｜x≠-ab2,x∈R｝R｛x｜x＝-ab2｝Δ0RR注：当a0时，可在不等式两边乘-1转化为二次项系数为正的情况，再按上表进行.③高次不等式的解法：高次不等式用根轴法求解，其步骤是：1°将f(x)的最高次项的系数化为正数.2°将f(x)分解为若干个一次因式的积.3°将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次穿过每一个根点画曲线.4°根据曲线显现出f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集.④分式不等式的解法：先将不等式整理成)()(xgxf0或)()(xgxf≥0的形式，再转化为整式不等式求解.即)()(xgxf0f(x)·g(x)0)()(xgxf≥00)(0)()(xgxgxf⑤无理不等式的解法：转化为有理不等式求解.)(xfg(x)2)]x(g[)x(f0)x(g或0)x(f0)x(g)(xfg(x)2)]([)(0)(0)(xgxfxfxg)(xf)(xg)x(g)x(f0)x(f0)x(gf(x)g(x)≥0⑥指数不等式的解法.1°同底法af(x)ag(x))()(1)()(10xgxfaxgxfa　　　　　　　2°取对数法af(x)bg(x)babaxgxfaxgxfalog)()(10log)()(1　　　　　　　3°换元法⑦对数不等式的解法.1°同底法0)()()(10)()()(10loglog)()(xgxgxfaxfxgxfaxgaxfa2°换元法3.本节学习要求(1)解各种变型的不等式，关键要把它们变形为一次、二次不等式(组).(2)求函数的定义域、值域、二次方程的根的分布、讨论参变量的取值范围等均可化为解不等式的问题.通过本节学习，培养学生的运算能力，使学生理解掌握等价转化的致学思想方法.【重点难点解析】知识的学习应遵循人类的认识规律和知识本身的渐近性、逻辑性.因此，建议同学们在学习本节时，应复习初中的一元一次不等式、一元二次不等式的解法，在此基础上，继续学习高次不等式、分式不等式、无理不等式、指数不等式及对数不等式的解法.例1解关于x的不等式：2)1(xxa1(a≠1)分析这是一个分式不等式，应先移项，再通分进行因式分解变形.切忌两边同乘以(x-2)而转化为整式不等式，因为(x-2)的正负未知.另外，注意对参数a的正确的分类讨论.解：原不等式等价于2)2()1(xxxa0即为2)2()1(xaxa0［(a-1)x-(a-2)］(x-2)0(a-1)(x-12aa)(x-2)0①当a1时，式①(x-12aa)(x-2)0∵12aa-2＝-11a-10∴1a2a2.∴原不等式的解集为(-∞，12aa)∪(2,+∞).当a1时，式①(x-12aa)(x-2)0由2-12aa＝1aa知当0a1时，1a2a2，则原不等式解集为(2，12aa)当a＝0时，原不等式(x-2)20，解集为.当a0时，12aa2，则原不等式解集为(12aa,2).综上所述：当a0时，原不等式解集为(12aa,2)当a＝0时，原不等式解集为.当0a1时，原不等式解集为(2，12aa)当a1时，原不等式解集为(-∞，12aa)∪(2,+∞)点评：本题需要两级分类，第一级按a1和a1分为两级，多数学生都能做到，在a1的情况下，又要按两根12aa与2的大小关系分为a0,a＝0和0a1三类，这时就有不少学生找不到分类的依据，甚至缺乏分类讨论的意识.例2解不等式222322xxxxx分析此题是分式不等式，可按分式不等式的解法求解.即需先移项通分，整理成)()(xgxf　0的形式，再转化为它们的整式不等式求解.解：移项整理，将原不等式转化为：)1)(3()1)(2(2xxxxx0∵x2+x+10恒成立.∴原不等式等价于)1)(3(2xxx0解之，得原不等式解集为｛x｜-1x2或x3｝.注：此题也可用列表法或数轴标根法求解，但用根轴法更简捷.例3解不等式log2)12(x·log21)22(1x-2.分析此题为对数不等式，(可通过换元)，由log21)22(1x＝21log)]12(2[1x＝-1-log2)12(x，所以可通过换元令t＝log2)12(x，则可转化为代数不等式求解.解：原不等式可化为：log2)12(x·［-1-log2)12(x］-2令log2)12(x＝t,则上面不等式可化为：t(-1-t)-2.即t2+t-20即(t+2)(t-1)0∴-2t1从而有-2log2)12(x1则2-22x-12即452x3∴log245xlog23∴log25-2xlog23∴原不等式解集为｛x｜log25-2xlog23｝【难题巧解点拨】例1关于x的二次方程x2+(m-1)x+1＝0在区间［0，2］上有解，求实数m的取值范围.分析此题为含参的一元二次方程解的情况，可由二次方程的实根分布来解.则可设f(x)＝x2+(m-1)x+1题意即为f(x)＝0在［0，2］上有解，其中包括两种情况：1°有一解，2°有两解.解：设f(x)＝x2+(m-1)x+1x∈［0，2］，则：(1)f(x)＝0在区间［0，2］上有一解：因为f(0)＝10所以只需f(2)≤0即4+2(m-1)+1≤0m≤-23(2)f(x)＝0在区间［0，2］上有二解.则有0)2(12322100fmm△综上由(1)(2)可知：m≤-1.例2若关于x的方程4x+a·2x+a+1＝0有实数解，求实数a的取值范围?解法一：令t＝2x(t0)，则原方程化为t2+at+a+1＝0(1)则问题转化为方程(1)在(0，+∞)上有实数解，求a的取值范围.由0)1(0的较大根大于方程△即020)1(42△aaa解得：a≤2-22解法二：令t＝2x(t0)，则原方程化为t2+at+a+1＝0，变形为：a＝-tt112＝-12)1(2tt＝-［(t-1)+12t］＝-［(t+1)+12t-2］≤-(22-2)＝2-22例3已知f(x)是定义在区间(-∞，4)上的减函数，是否存在实数m，使得f(m-sinx)≤f(m21-47+cos2x)对定义域内的一切实数x均成立.若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由.解：假设存在实数m，依题意得22)21(sin21214sinsincos47214sinxmmxmxxmmxm∵sinx的最小值为-1，且-(sinx-21)2的最大值为0，要满足题意，则须有：212330212114mmmmmm或∴m的取值范围是｛m｜m＝21或23≤x≤3｝【命题趋势分析】平时要求：1.按解各类不等式的解法来求解不等式.2.含参的不等式问题，能对参数进行正确的分类讨论.3.应用不等式可求函数的定义域、值域、讨论函数的单调区间、讨论函数的一元二次方程根的存在和根的分布.【典型热点考题】例1实数m在什么范围时方程x2+(m-3)x+m＝0的两根满足：(1)都是正根；(2)都在(0，2)内.解：(1)依题意，满足00304)3(2mmmm△时，即m∈(0,1)时两根均为正.(2)设f(x)＝x2+(m-3)x+m，则32031190)2(0)0(22300mmmmmffm或△32m≤1，即m∈(32，1)时，两根都在(0，2)内.例2关于实数x的不等式｜x-21(a+1)2｜≤21(a-1)2与x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0(a∈R)的解集分别为A和B，求使AB的a的取值范围.解：由｜x-21(a+1)2｜≤21(a+1)2得2a≤x≤a2+1,∴A＝｛x｜2a≤x≤a2+1,a∈R｝.由x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0，可得(x-2)［x-(3a+1)］≤0，当3a+1≥2即a≥31时，B＝｛x｜2≤x≤3a+1a∈R｝，当3a+12即a31时，B＝｛x｜3a+1≤x≤2a∈R｝,∴当a≥31时，若AB，则有131222aaa，解不等式组得1≤a≤3.当a31时，若AB，则有211221322aaaaa，解不等式组得：a＝-1，故使AB的a的取值范围是｛a｜1≤a≤3或a＝-1｝.例3设y＝]1)(2[2122logxxxbaba(a0,b0)，求使y为负值的x的取值范围.解：要y0，只要a2x+2(ab)x-b2x0，即b2x［(ba)2x+2·(ba)x-1］0,∵b2x0,∴［(ba)x］2+2(ba)x-10.解这个关于(ba)x的二次不等式得：(ba)x2-1或(ba)x-2-1，但(ba)x0，∴只有(ba)x2-1,∴当a＝b0时，x∈R.当ab0时，ba1，两边取以ba为底的对数，得x)12(logba.当0ab时，0ba1，两边取以ba为底的对数，得x)12(logba，因此x的取值范围是：当a＝b0时，x∈R.当ab0时，x∈()12(logba,+∞).当0ab时，x∈(-∞，)12(logba).【同步达纲练习】A一、选择题1.若x满足x12与x1-3则x的取值范围是()A.-31x21B.x21C.x-31D.0x212.函数y＝)23(31logx的定义域为()A.｛x｜x≥-3｝B.｛x｜-3≤x≤23｝C.｛x｜1≤x＜23D.｛x｜x≥-1｝3.与不等式xx45≥0同解的不等式是()A.(x-5)(4-x)≥0B.lg(x-4)≤0C.xx45≥0D.lg(x-5)≥04.设0a1，给出下面四个不等式：①)1(2logaa)1(3logaa②2aa(2a)a③(2a)aaa④aa2aa其中不成立的有()A.0个B.1个C.2个D.3个5.已知方程mx2-2(m+2)x+(m+5)＝0有两个不同的正根，则m的取值范围是()A.m4B.0m4C.m-5或0m4D.m-2或0m4二、填空题6.不等式21x≥x的解集为.7.不等式(31)82x3-2x的解集为.8.不等式lg)22(2xx1的解集为.三、解答题9.